河北省邢台市高三数学第一次模拟考试 理 新人教A版(1)

2014年邢台市普通高考模拟考试理科数学试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1.已知全集U={x|x ＞0}，集合M={x |2
20x x ->}，则CUM= A. {x |x ≥2} B. {x |x ＞2} C. {x |x ≤0或x ≥2} D.
{x |0＜x ＜2}
2.,a b R ∈,则“2a b =”是“复数12a bi
i +-为纯虚数”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 抽样条件
D.既不充分也不必要条件
3. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>> 的渐近线与圆
22(2)1x y -+=相交，则双曲线的离心率的取值范围是 A. （1，3） B.（233, +∞） C. （1，23
3
） D.（3， +∞）
4.已知等差数列
{}
n a 的前n 项和为Sn,若
S10=2
3803
(6),2x dx a a ++⎰则=
A. 3
B. 6
C.9
D. 12 5. 阅读如图的程序框图，若输入n=6，则输出k 的值为
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
6.若函数()sin()3sin()(,0)
2f x x x x R π
πωωω=-+∈>
满足()2,()0f f αβ=-=，且|α-β|的最小值为π
2
, 则函数
()f x 的单调增区间为
A. [2k π-5π6 ,2k π+π6](k ∈Z)
B. [2k π-5π12 ,2k π+π
12](k ∈Z)
C. [k π - π3 , k π+π6](k ∈Z)
D. [k π- 5π12 ,k π+ π
12
](k ∈Z)
7.设1F 、2F 分别是椭圆22
11612x y += 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若∆PF1F2为直角三角
形，则∆PF1F2的
面积等于
A. 4 3
B. 6
C. 12或6
D. 43或6
8.4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部都被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有
A. 18种
B. 36种
C. 72种
D. 108种
9.数列
{}
n a 的首项为1，数列
{}
n b 为等比数列，且
1
n n n a b a +=
，若10116b b ⋅=则20a =
A. 12
B. 1
3
C. 1
D. 2 10.设函数y =()f x 的定义域为D,若对于任意1212,,=2x x D x x a ∈+且，恒有12()()2b
f x f x +=，则称
点(,)a b 为函数y =()f x 的对称中心.研究并利用函数
32
()3sin()f x x x x π=--的对称中心，可得
1240264027(
)()()()2014201420142014f f f f ++++=L
A. 4027
B. -4027
C. 8054
D. -8054
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中点，F 是侧面BCC1B1内（包括边）
的动点，且A1F ∥平面D1AE ，记A1F 与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法 错误的是
A. 点F 的轨迹是一条线段
B. A1F 与BE 不在同一平面
C. tan θ≤2 2
D.A1F 与D1E 不可能平行
12.函数11(,2)
()1
(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩ ,则函数F()x ()1x f x =-的零点个数为
A.4
B. 5
C.6
D.7
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量→a =(2, 1), →a ·→b =10, |→a +→b |=52，则|→
b |=_________.
14. 已知实数,x y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x －2y －2≤02x －y ＋2≥0
, 在目标函数2z x y =+的最小值为 15.四棱锥P-ABCD 的三视图如右图所示，该四棱锥的五个顶点都在一个球
面上，E,F 分别是棱AB,CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为 22,则该球面表面积为
16.已知点(,)()
n P n n a N *
∈是函数
24
()x f x x +=
图像上的点，
数列
{}
n b 满足
n n b n
a λ=+，若数列
{}
n b 是递增数列，则正
实数λ的取值范围是_______
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分）
已知
,,
a b c分别是∆ABC的三个内角A、B、C的对边，2bcosC=2a-c.
(I)求B；
(II)若点M为边BC的中点，AM=2 3 ,求a+c的值.
18.(本小题满分12分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、、p的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．
19.(本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E,F分别是BC，PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设AB=2，若H为PD上的动点，直线EH与平面PAD所成最大角的正切值为
6
2
，求二
频率
面角E-AF-C 的余弦值．
20.(本小题满分12分）
已知中心在原点O ，焦点F1，F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2,2)，且抛物线
26y x =-的焦点为F1.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(II)垂直于OC 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，当以线段AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程和圆P 的方程.
21.(本小题满分12分）
已知函数
211
()ln ,2f x a x a R x x =+
+∈ .
(I)讨论函数()f x 的单调性；
(II) 证明：
2
(1)()2ln 3x x e x x ---+<
．
请考生从22〜24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲
如图，PA 是O e 的切线，PE 过圆心0，AC 为O e 的直径，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，连接AB 、CD.
(Ⅰ) 求证:∠PAD=∠CDE;
E
D
C
B
A
O
P
（II ）求证：2PA BD
PC PE AD =
⋅
23.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
倾斜角为α的直线l 经过点
P(8,2),直线l 和曲线C ：(2sin x y θθθ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩为参数）交于不同的
两点M1,M2. (I)将曲线
1
C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；
(II)求|PM1|·|PM2|的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数
()313
f x x ax =-++
(I )若a =1，解不等式()f x ≤5；
(II )若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.
2014年邢台市普通高考模拟考试 理科数学参考答案及评分标准
(Ⅱ)记BAM θ∠=，其中
2
03θπ
<< 由正弦定理得1
2
sin sin()sin
33a
c AM
ππθ
θ==+，
4sin()3c πθ∴=+，8sin a θ=………8分
8sin 4sin()47sin()
3a c π
θθθα∴+=++=+，
其中
5cos 714α=
21
sin 14α= ……10分 θα∴+可以取到2π
47)47a c θα∴+=+≤
因此a c +的最大值为7 ……………………12分 18．解析：(Ⅰ)第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，
所以高为0.3
0.06
5=
频率分布直方图如下：
第一组的人数为120
2000.6=，频率
为
0.0450.2⨯=，所以
200
10000.2n =
=
第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以
195
0.65300p =
=
第四组的频率为0.0350.15⨯=，第四组的人数为10000.15150⨯=
所以1500.460a =⨯= ………………6分 (Ⅱ)因为
[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比值为
60:30=2:1，
所以采用分层抽样法抽取18人，[)40,45岁中有12人，[)45,50岁中有6人，随机
变量
X 服从超几何分布。

0312
12612633
1818515
(0),(1)20468C C C C P X P X C C ======，
213012612633
18183355
(2),(3)68204C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量的分布列为
X 0
1
2
3
P
5204 1568 3368 55204
………10分
∴数学期望
5153355012322046868204EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= (12)
· · · · ·
………………2分
分
19.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=o
，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又BC AD P ，因此AE AD ⊥.………2分
因为PA ABCD ⊥平面，AE ABCD ⊂平面，所以PA AE ⊥.而
PA PAD ⊂平面，
AD PAD ⊂平面且PA AD A =I ，所以AE PAD ⊥平面，又PD PAD ⊂平面. 所以AE PD ⊥ …………………4分 （Ⅱ）解：H 为PD 上任意一点，连接,AH EH .由（Ⅰ）知AE PAD ⊥平面， 则EHA ∠为直线EH 与平面PAD 所成的角. =3Rt EAH AE 在△中，
所以 当AH 最短时，EHA ∠最大， 即 当AH PD ⊥时，EHA ∠最大.
此时 6
tan 2AE EHA AH ∠=
=
2AH =.又2AD =，所以45ADH ∠=o 所以 2PA = (6)
分
解法一：因为PA ABCD ⊥平面，PA PAC ⊂平面， 所以 PAC ABCD ⊥平面平面.
过E 作EO AC ⊥于O ，则EO PAC ⊥平面， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，
则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， ………8分
在Rt △AOE 中，
3sin 302EO AE =⋅=
o ，3
cos302AO AE =⋅=o ,………10分
又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，
32sin 454SO AO =⋅=
o ,
又
223930484SE EO SO =+=
+=
在Rt △ESO 中，
15
cos 5SO ESO SE ∠=
=
即所求二面角的余弦值为15
5 ……………12分
解法二：由（Ⅰ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，又,E F 分别为,BC PC 的中点，所以(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -,
31(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(
,,1)2D P E F ，
所以
31(3,0,0),(,,1)
2AE AF ==u u u r u u u r ………8分 设平面AEF 的一个法向量为
111(,,),
x y z =m
11
1130,
0, 31
0,0.22x AE AF x y z ⎧=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩u u u r u u u r 则因此m m
11,(0,2,1)
z =-=取则m ………10分
,BD PA PA AC A ⊥=I 因为
所以BD AFC ⊥平面，故 BD u u u r
为平面AFC 的一个法向量.
又
(3,3,0)
BD =-u u u r ，所以
15
cos ,BD BD BD ⋅==⋅u u u r
u u u r u u u r m m m .
因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为15
.………12分
20解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22441a b +=， ①
∵抛物线246y x =-的焦点为1F ，∴6c =， ② (2)
分
又222
a b c =+， ③ 由①、②、③得2
2
12,6a b ==，
所以椭圆E 的方程为22
1
126x y += ……………………4分
（Ⅱ）依题意，直线OC 的斜率为-1，由此设直线l 的方程为y x m =-+， 代入椭圆
E 的方程，得22
342120x mx m -+-=，
由△
222
1612(212)8(18)0m m m =--=->，得 218m < ……………….6分 记
11(,)
A x y 、
22(,)
B x y ，
则212124212,33m m x x x x -+==
，
圆P 的圆心为1212
(
,)22x x y y ++，
半径212121222()422r x x x x x =
-=+-， (8)
分
当圆P 与y 轴相切时，
12
2x x r +=
，
即22
2(212)439m m -=，
2
918,3m m =<=±， ……………….10分
当3m =时，直线l 的方程为3y x =-+， 此时，
124
x x +=，圆心为（2，1），半径为2，
圆P 的方程为
()()2
2
214
x y -+-=；
同理，当3m =-时，直线l 的方程为3y x =--，
此时，124x x +=-，圆心为（-2，-1），半径为2，
222(1)4P x y +++=圆的方程为() ……………………………………12分
21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞ 2233111()a ax x f x x x x x --'=--= …………2分 当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞内单调递减 …………4分
当0a >时，114(0,)2a x a ++∈，()0f x '<，()f x 单调递减；
114(,)a x ++∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增 (6)
分
（Ⅱ）当2a =时，由（1）可知()f x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增
min 3()(1)2f x f ∴==，21132ln 22x x x ++≥ (8)
分 即
2132ln 22x x x ++≥，232ln 22x x x ∴--≤- 令2
()(1)2,02x
x g x x e x x -=--+> 而()(2)(1)x g x x e -'=-+，
易知2x =时，()g x 取得最大值,即
21()(2)2g x g e ≤=+ ………10分 ∴
222132(1)22ln 2ln (1)()22223x x x x x e x x x x x e x e ----++--=+--<+-< …………………12分
22.解：（Ⅰ） 由PA 是圆O 的切线，因此PAD ∠=ACD ∠，
在等腰OCD ∆中，OD OC =，可得ACD CDE ∠=∠，
所以
PAD CDE ∠=∠. ……………… 5分
（Ⅱ） EC PBD PEC ∆∆连结，由与相似可知，
PB BD PE CE =，由切割线定理可知， 2PA PB PC =⋅，则
2PA PB PC =，又EC AD =，可得 2PA BD PC PE AD =⋅. ……10分
23. 解:（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22
1
324x y +=
直线l 的参数方程为8cos ()2sin x t y t ααα=+⎧⎨=+⎩为参数 ……………………………5分
（Ⅱ）将l 的参数方程为代入曲线C 的方程得：
()228+cos 8(2sin )32t t αα++=
1212264||||[8,64]17sin PM PM t t α∴⋅==∈+ ……………………………………10分
24.解: （Ⅰ）当1a =时，不等式为3135x x -++≤
当13x ≤
时，不等式即1335x x -++≤，12x ≥- 1123x ∴-≤≤
当
13x >时，不等式即3135x x -++≤，34x ≤ 1334x ∴<≤ 综上，不等式的解集为1324x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩
⎭ ……………………………………5分 （Ⅱ）
1(3)23()3131
(3)43a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩
当3a <-时，()f x 单调递减，无最小值；
当33a -≤≤时，()f x 在区间1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在
1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 1
3x ∴=处取得最小值
当3a >时，()f x 单调递增，无最小值；
综上，33a -≤≤ …………………………………………………………10分。