山西省太原市第六十六中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题

……外…………○…学校…
…
内
…
…
…
…
○
…
绝密★启用前 山西省太原市第六十六中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13 B ．13- C ．3 D ．3- 2．在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（ ） A ．2 B C D 3．过点()0,1-且垂直于直线12y x =的直线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =- C ．22y x =-+ D ．21y x =+ 4．用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．与圆()()22121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（ ） A ．()()22121x y -+-= B ．()()22121x y +++= 2222
…
…
…
订
…
…
…
…
※
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
…
…
…
订
…
…
…
…
6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）
A．若mα
P，n⊂α，则m n
P B．若mα
⊥，αβ
∥，则mβ
⊥
C．若mα
P，αβ
⊥，则mβ
⊥D．若mα
P，nα
P，则m n
P
7．已知直线1:30
l mx y
+-=与直线
2
:0
l x y m
--=平行，则它们之间的距离是（）
A B．4 C．D．2
8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三
尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖
臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）
A．6B．9C．18D．27
9．已知实数x，y满足条件
20,
220,
3,
x y
x y
x
+-≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≤
⎩
则3
z x y
=-的最小值为（）
A．6B．
10
3
C．
9
2
-D．
10
3
-
10．已知正方体1111
ABCD A B C D
-中，M，N分别为AB，
1
AA的中点，则异面直
线1
C M与BN所成角的大小为（）
A．30°B．45︒C．60︒D．90︒
11．已知()
A，()
0,1
B，点C为圆22410
x y y
+++=上任意一点，则ABC
∆
面积的最大值为（）
A B C D
12．将边长为2的正ABC
∆沿着高AD折起，使120
BDC
∠=o，若折起后A B C D
、、、
四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）
A．
7
2
πB．7πC．
13
2
πD．
13
3
π
………外……………○…………_
_
_班级：__
___
_
__…
…
…
内
…
…
…
…
…○
…
…
…
…
第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．圆22220x y x y +++=的半径为______________. 14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为________.
15．已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为____________. 16．如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________. 三、解答题 17．已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点. （1）求直线AC 的方程； （2）求AC 边上的高所在直线的方程. 18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点. （1）求证：EF P 平面11ADD A ；
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
○
…
…
…
…
不
※
※
要
※
※
在
※
※
装
※
※
订
答
※
※
题
※
※
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
○
…
…
…
…
19．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+m=0．
（1）若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线x+2y+n=0与圆C2的相交弦长为，求实数n的值．
20．如图，在四棱锥P ABCD
-中，AD CD
⊥，AD BC
∥,224
AD BC CD
===,
PC=PAD
∆是正三角形.
（1）求证：CD PA
⊥；
（2）求AC与平面PCD所成角的正弦值.
21．如图，在四棱锥P ABCD
-中，AD CD
⊥，AD BC
∥，224
AD BC CD
===,
PC=PAD
∆是正三角形.
（1）求证：CD PA
⊥；
（2）求二面角P BC A
--的大小.
22．已知圆22
:4
O x y
+=，点P是直线:280
l x y
--=上的动点，过点P作圆O的
切线PA，PB，切点分别为A，B.
（1）当PA=P的坐标；
（2）当APB
∠取最大值时，求APO
∆的外接圆方程.
23．已知圆22
:4
O x y
+=，点P是直线:280
l x y
--=上的动点，过点P作圆O的
切线PA，PB，切点分别为A，B.
（1）当PA=P的坐标；
原点O）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由斜率的定义求解即可
【详解】 由斜率的定义得212121312
y y k x x -+===---， 故答案为：直线AB 的斜率为3-
故选：D
【点睛】
本题考查直线的斜率的定义，属于基础题
2．B
【解析】
【分析】
可结合两点间距离公式求解
【详解】
由两点间距离公式得
l =故选：B
【点睛】
本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题
3．A
【解析】 【分析】
由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可
【详解】
由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1212k -==-，再由点斜式可得()201y x =---，
化简得21y x =--
故选：A
【点睛】
本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解析式，属于基础题
4．D
【解析】
【分析】
对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切
【详解】
当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形 故选：D
【点睛】
本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题
5．C
【解析】
【分析】
可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可
【详解】
圆()()22
121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()22121x y ++-=
故选：C
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题
6．B
【解析】
【分析】
由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一
P
定垂直；D项可能性很多，不一定m n
【详解】
对A，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：
对B，根据平行的递推性，可得正确，如图：
对C，可随机举一反例，如图：
直线与 斜交；
对D，直线有可能相交，如图：
故选：B
【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题
7．A
【解析】
【分析】
先利用两直线平行的性质求出的m 值，再利用两平行线间的距离公式求出结果.
【详解】
解：由题意可知，0m ≠
因为直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行， 所以1311m m
-=≠--， 解得1m =-,
所以两直线分别为12:30,:10l x y l x y -+=-+=，
=故选：A
【点睛】 此题考查两直线平行的性质和平行线间的距离公式，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可
【详解】
由三视图，画出图形，如图：
则该鳖臑的体积为：11343632
V =⨯⨯⨯⨯= 故选：A
【点睛】
本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题
9．C
【解析】
【分析】 可将目标函数转化为33x z y =
-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可 【详解】
根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33
x z y =-，要使z 取到最小值，则截距3z -取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入3z x y =-得92z =-
故选：C
【点睛】
本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题
10．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成
角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'N M =，16C M =，
1'C N =2
1122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒ 故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
11．C
【解析】
【分析】
可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解
【详解】
如图所示：
要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，
再加上半径即可，圆22410x y y +++=可转化为()2
223x y ++=，圆心为()0,2-，
AB
k==
，则直线方程为1
y x
=+
，圆心到直线的距离
d==
max
h d r
=+=
，2
AB==
，则1
=2
2
ABC
S
∆
⨯=
故选：C
【点睛】
本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题
12．B
【解析】
【分析】
通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．
【详解】
△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，
底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到
2 1.
r r
=⇒=
见图示：
AD是球的弦，
，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴
OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径
该球的表面积为：4π×OD2=7π；
故选B ．
【点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
13
【解析】
【分析】
将一般式化为标准式即可求得
【详解】
由()()2222220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =
【点睛】
本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题
14．3
. 【解析】
【分析】
先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。

【详解】
设圆锥底面半径为r ， 则由题意得12023180
r ππ=⋅⋅，解得1r =. ∴底面圆的面积为2S r ππ==.
又圆锥的高
h ==
故圆锥的体积11333
V Sh π=
=⨯⨯=. 【点睛】
此题考查圆锥体积的计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。

15．()2220x y a
a +=>
【解析】
【分析】
可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得
【详解】
如图：
不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>
故答案为：()2220x y a a +=>
【点睛】
本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题
16．⎣⎦ 【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =I ，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面
11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，
1A M ===，同理，在直角11A B N ∆中，求得1A N =所以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于
,M N 处时1A P 最长，1AO ===
11A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是42⎡⎢⎣
⎦，.
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】
本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
17．（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.
【解析】
【分析】
（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；
（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解；
【详解】
（1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,
x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C .
∴直线AC 的方程为3110x y +-=；
（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13
AC k =-， ∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，
∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.
【点睛】
本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）要证直线EF P 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；
（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可；
【详解】
（1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴P ，11AB C D =，
∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =.
∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥，
∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，
∴EF P 平面11ADD A ；
（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.
∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，
∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，
∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，
∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，
∴EF ⊥平面11A B CD .
【点睛】
本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题
19．（1）5；（2）n =﹣3n =﹣3
【解析】
【分析】
（1）求得两圆的圆心坐标和半径，根据两圆相外切，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，圆心2(3,0)C ，半径为2R =,在结合点到
直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ，半径为1r =，
圆22
2:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ，半径为R =，
因为圆1C 与2C 相外切，所以12C C r R =+，即31=5m =.
（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，可得圆心2(3,0)C ，半径为2R =,
由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =
1==，即3n +=
解得3n =-+3n =-【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及合理利用直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．（1）证明见解析；（2【解析】
【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；
（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得
【详解】
（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，
∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，
∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；
（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，
∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，AE =，
由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，
∴AE ⊥平面PCD ，
∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，
∵AD CD ⊥，∴AC =
=,
∴sin 5
AE ACE AC ∠=
=. 【点睛】
本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题
21．（1）证明见解析；（2）60o .
【解析】
【分析】
（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；
（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可
【详解】
（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，
∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，
∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；
（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，
∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，PE =
∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，
∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，
∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，
∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，
∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，
由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥，
∴tan PE PBE BE
∠=
=60PBE ∠=︒. 【点睛】
本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题 22．（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）22
4816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【解析】
【分析】
（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角
形，故有OP =P 的坐标； （2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12
OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】
（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，
∵PA =
4OP ==， ∴22
16,280,
x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，
由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半
径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题
23．（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-
⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【解析】
【分析】
（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角
形，故有OP =P 的坐标；
（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()
()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,
x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解 【详解】
（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，
∵PA =
4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴()0,4P -或1612,5
5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，
∵00280x y --=，∴0028x y =+，
∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩ 则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或0,0x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题。