高考数学二轮复习 第四讲 化归与转化思想课件检测题

(zhèngquè)的．但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能
栏 目
变更主元，转变其他变量在问题中的地位，就能使问题迎刃而
链 接
解．本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，将主元进行
转化，使问题变成关于p的一次不等式，问题实现了从高维向低
维的转化，解题简单易行．
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G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
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Z主 干考点 (kǎo diǎn) 梳理
栏 目 链 接
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
考点1 化归与转化的思想(sīxiǎng)方法
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困
难，通过(tōngguò)观察、分析、类比、联想等思维过程，
选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一
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G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
点评： 把一个原本是求和的问题，转化到各项的逐
一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是学
生所熟悉的．在对问题的化归过程中进一步挖掘了
栏 目
链
问题的内涵(nèihán)，通过对问题的反思、再加工后，
接
使问题直观、形象，使解答更清新．
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∵x∈0，π2 ，∴0≤sin x≤1，∴1≤y≤54，
即 1≤cos2x＋sin x≤54. 根据新定义的运算可知
栏 目 链 接
f(x)＝cos2x＋sin x，x∈0，π2 ，
∴
π
fx－
2
＝－
sinx－π2 －122＋5 Nhomakorabea4＝
－
cos
x＋21 2
＋54，x∈π2 ，π.
∴函数 fx－π2 的最大值是54.
化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过
转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题 栏
就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学
目 链
问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过
接
程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题
向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，
G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
跟踪 (训gē练nz1ō．ng已) 知函数(hánshù)f(x)＝2x，等差数列{an}的公
差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则
log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝___－__6___．
栏 目
链
接
解析 由f(x)＝2x和f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4知a2＋a4＋
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
4．若 f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减
函数，则 b 的取值范围是( C )
栏
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
目 链
接
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
件去应用三棱锥体积公式(gōngshì)，则可走出困境．
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
解析 如图，连接 EB，EC，由 PA⊥BC，PA
⊥ED，ED∩BC＝D，可得 PA⊥截面 ECB.这样，
截面 ECB 将原三棱锥切割成两个分别以 ECB
为底面，以 PE，AE 为高的小三棱锥，而它们
随堂讲义·第一部分(bùfen) 知识复习专 题
专题八 思想方法专题 第四讲 化归与转化思想
第一页，共31页。
化归与转化的思想在2015年高考(ɡāo kǎo)中必然考到， 主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题 转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化 为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题 是高考(ɡāo kǎo)中解决问题的重要思想方法．
≤2}，B＝{y|y＝3x(x＞0)}＝{y|y＞1}，则 A∪B＝
栏
目
{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}．根据新运算，得 A#B
链 接
＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1 或 x＞2}．
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
3．定义一种运算 a b＝ab，，aa≤＞bb，，令 f(x)＝
例 3x2＋px＞4x＋p－3 对一切 0≤p≤4 均成
立，试求实数 x 的取值范围．
栏
解析 ∵x2＋px＞4x＋p－3，
目 链
接
∴(x－1)p＋x2－4x＋3＞0.
令 g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对 0≤p
≤4 均有 g(p)＞0，只要有gg（ （04） ）＞ ＞00， ，
∴x 的取值范围为{x＞3 或 x＜－1}．
a6＋a8＋a10＝2，
log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝log2f(a1)＋log2f(a2)＋… ＋log2f(a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8 ＋a10)－5×2＝－6.
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G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
链 接
在问题中的地位，就能使问题迎刃而解．本题中，若
视x为主元来处理，既繁且易出错，将主元进行转化，
使问题变成关于p的一次不等式，问题实现了从高维向
低维的转化，解题简单易行．
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
跟踪
(gēnzōng)
训练3．已知函数(hánshù)y＝f(x)，y＝g(x)的导函
接
b＜x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，即 f(x)＝－12x2＋bln(x
＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．
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栏 目 链 接
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
突破点1 数列(shùliè)问题化归为函数问题解 决
某厂2012年生产利润逐月增加，且每月增加的利润
x0时，由图象(tú xiànɡ)知f′(x)＞g′(x)，即F′(x)＞0，F(x)是
相同(xiānɡ tónɡ)，但由于厂方正在改造建设，1月份投入
资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月
栏 目
链
增加，且每月增加投入的百分率相同(xiānɡ tónɡ)，到12月
接
投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同(xiānɡ tónɡ)，
则全年总利润AM与全年总投入N的大小关系是( )
求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an
＝a1＋(n－1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的
栏
一些点列．等比数列的通项公式bn＝a1qn－1是关于n的指数
目 链
函数，其图象是指数函数上的一些点列．
接
在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi，则S12＞ T12，即M＞N.
数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多
元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转
化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
考点3 等价(děngjià)转化和非等价(děngjià)转化
转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充
解析 ∵f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)＝－x＋x＋b 2＜0 在(－1，＋∞)上恒成立，即 b＜x(x
栏
＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设 g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1
目 链
在(－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞－1，∴当 b≤－1 时，
2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x＞0)}，则 A#B 为( D )
栏
目
链
接
A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1 或 x≥2} D．{x|0≤x≤1 或 x＞2}
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Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
解析 ：A＝{x|y＝ } 2x－x2 ＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x
(ɡāo kǎo) 热点突 破
跟踪
(训g2ē练．nz一ōn个g)几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的
体积为 V，并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4
的正方体，则 V，n 的值分别是( B )
栏 目
链
接
A．V＝32，n＝2 C．V＝332，n＝6
B．V＝634，n＝3 D．V＝16，n＝4
第二十一页，共31页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
解析 根据三视图，可知此几何体为一个四棱
栏
锥，其体积为634.
目 链 接
第二十二页，共31页。
G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
突破点3 函数与不等式中变换主元将二次函数问题 (wèntí)化归为一次函数解决
的底面积相等，高 PE＋AE＝PA＝l，所以
栏 目
VPABC＝VPECB＋VAECB＝31S△ECB·
AE＋
1 3S△
链 接
ECB·PE＝13S△ECB·PA＝13·12BC·ED·PA＝16l2h.
点评： 辅助截面(jiémiàn)ECB的添设使问题转化为
已知问题，迎刃而解．
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G 高考
栏 目
链
个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过
接
(tōngguò)新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一
思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
考点2 化归与转化(zhuǎnhuà)的思想方法应用的主要方向
化归与转化思想的实质(shízhì)是揭示联系，实现转
第二十三页，共31页。
G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
点评： 在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主
要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在 解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在
很多情况下是正确的．但在某些特定条件下，此路往
栏
目
往不通，这时若能变更(biàngēng)主元，转变其他变量
A．M>N
B．M<N
C．M＝N
D．无法确定
第十五页，共31页。
G高
考(ɡāo
kǎo)热点 解析 每月的利润组成一个(yī ɡè)等差数列{an}，且公差d
突 破 ＞0，每月的投入资金组成一个(yī ɡè)等比数列{bn}，且公比
q＞1.a1＝b1，且a12＝b12，比较S12与T12的大小．若直接
要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，
进行不等价转化，应附加限制(xiànzhì)条件，以保持等价性，
栏
目
或对所得结论进行必要的验证．
链
接
第六页，共31页。
Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
考点(kǎo diǎn)自测
1．若动直线 x＝a 与函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x
的图象分别交于 M，N 两点，则|MN|的最大值为( B )
栏
A．1
B. 2
C. 3
D．2
目 链
接
解析
|MN|＝|sin x－cos x|＝
2sinx－π4 ，最大值为
2.
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Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
2．下图所示的韦恩图中，A，B 是非空集合，定义集 合 A#B 为阴影部分表示的集合．若 x，y∈R，A＝{x|y＝
突破2 立体几何问题通过转化(zhuǎnhuà)得以解决
例 2 在三棱锥 P-BC 中，已知 PA⊥BC，PA＝BC＝
l，PA，BC 的公垂线 ED＝h.求证：三棱锥 PABC 的体积
V＝16l2h.
栏 目 链
接
思路点拨：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC
以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条
(cos2x＋sin x)
45，且 x∈0，π2 ，则函数 fx－π2 的
栏 目 链 接
最大值是( A )
5 A.4
B．1
C．－1
D．－54
第十页，共31页。
Z主 干考点
(kǎo
解析 设 y ＝ cos2x ＋ sin x ＝ － sin2x ＋ sin x ＋ 1 ＝ －
diǎn) 梳理
sin
x－122＋54，
跟踪
(gēn4z．ōn已g知) 函数(hánshù)y＝f(x)，y＝g(x)的导函数(hánshù)的图 象如训下练图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
D
栏 目 链 接
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
解析： 令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，当x＜
数(hánshù)的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(xD)的
图象可能是( )
栏 目
链
接
第二十五页，共31页。
G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要 地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题
时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确