人教B版高中数学必修四高一作业设计：3.1.1两角和与差的余弦

第三章三角恒等变换
§3．1和角公式
3．1．1两角和与差的余弦
课时目标
1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．能利用两角和与差的余弦公式进行三角函数式的化简和求值．
1．两角差的余弦公式：
Cα－β：cos(α－β)＝________________________________________________________．
2．两角和的余弦公式：
在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝________________________________________________
＝________________________________________________________________________．
一、选择题
1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )
A ．－12
B ．1
2
C ．0
D ．1
2．化简cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α得( ) A ．cos αB ．cos β
C ．cos (2α＋β)
D ．sin (2α＋β)
3．化简cos (45°－α)cos (α＋15°)－sin (45°－α)sin (α＋15°)得( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32 4．若cos (α－β)＝55，cos 2α＝10
10
，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A ．π6
B ．π4
C ．3π4
D ．5π
6
5．若sin (π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos (θ－φ)的值是( )
A ．－55
B ．55
C ．115
25
D ． 5
6．若sin α＋sin β＝1－
32，cos α＋cos β＝1
2
， 则cos (α－β)的值为( ) A ．12B ．－32C ．3
4D ．1
二、填空题
7．若cos (α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2
＝________．
8．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝1
2，则tan αtan β＝________．
9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos (α－β)的值是________．
10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝10
10
，则α－β的值为________．
三、解答题
11．已知tan α＝43，cos (α＋β)＝－11
14
，α、β均为锐角，求cos β的值．
12．已知cos (α－β)＝－45，sin (α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π
2
<α＋β<2π，
求β的值．
能力提升
13．已知cos (α－β2)＝－19，sin (α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β
2
的
值．
14．已知α、β、γ∈⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β
－α的值．
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
第三章 三角恒等变换 §3．1 和角公式
3．1．1 两角和与差的余弦
答案
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β 2．cos αcos (－β)＋sin α·sin (－β) cos αcos β－sin αsin β 作业设计 1．C 2．B
3．A [原式＝cos (α－45°)cos (α＋15°)＋sin (α－45°)sin (α＋15°)
＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos (－60°)＝1
2．]
4．C [sin (α－β)＝－255(－π
2<α－β<0)．
sin 2α＝
310
10
， ∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]
＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)
＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＝－22，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π
4．]
5．B [∵sin (π＋θ)＝－35，∴sin θ＝3
5
，
∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－4
5．
∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，
∴sin φ＝－5
5
．
∴cos (θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪
⎫－55＝55．] 6．B [由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋sin β＝1－3
2
①cos α＋cos β＝1
2 ②
①2
＋②2
⇒cos (α－β)＝－
3
2
．] 7．83
解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos (α－β)＝8
3
．
8．15
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
3
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1
2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin α sin β＝112cos αcos β＝5
12，
∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
5
．
9．－12
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋sin β＝－sin γ ①
cos α＋cos β＝－cos γ ②
①2
＋②2
⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1
⇒cos (α－β)＝－1
2．
10．－π
4
解析 ∵α、β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，π2，
∴cos α＝255，sin β＝310
10
，
∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π
2，0．
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22
，
∴α－β＝－π
4
．
11．解 ∵α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，π2，tan α＝43，
∴sin α＝437，cos α＝1
7
．
∵α＋β∈(0，π)，cos (α＋β)＝－11
14，
∴sin (α＋β)＝53
14
．
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋
5314
×437＝12． 12．解 ∵π2<α－β<π，cos (α－β)＝－4
5
，
∴sin (α－β)＝3
5
．
∵32π<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－35
， ∴cos (α＋β)＝4
5
．
∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×3
5＝－1． ∵π2<α－β<π，3
2π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2
． 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π
2．
∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β
2
<0．
∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2
． 又cos (α－β2)＝－1
9
<0，
sin (α2－β)＝2
3>0，
∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2
． ∴sin (α－β2
)＝
1－cos 2
(α－β2)＝459
．
cos (α2－β)＝
1－sin 2(α
2－β)＝53．
∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)]
＝cos (α－β2)cos (α2－β)＋sin (α－β2)sin (α
2
－β)
＝(－19)×53＋459×23＝75
27．
14．解 由已知，得
sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．
平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝1．
∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝1
2，
∴β－α＝±π
3
．
∵sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，∴β－α＝π
3
．。