高中数学北师大版必修5课时作业：第1章 数列 11 Word版含答案

§11 专题二——数列求通项
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1
a n －2
(n ≥3)，则a 5等于( )
A.
5512 B.133
C ．4
D ．5
2．在等差数列{a n }中，a 1＝－35，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋24
3．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为3的等比数列，则a n 等于( )
A.3n
＋12 B.3n
＋32
C.3n
－12 D.3n
－32
4．若等比数列{a n }对于一切自然数n 都有a n ＋1＝1－2
3S n ，其中S n 是此数列的前n 项和，
又a 1＝1，则其公比q 为( )
A ．1
B ．－2
3
C.13 D ．－13
5．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2010等于( ) A ．－1 B ．5 C ．1 D ．－4
6．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1a n ＝n ＋1
n
，(n ∈N ＋)，则此数列是( ) A ．等差数列 B ．等比数列
C ．既是等差数列，又是等比数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a2 015＝________.
8．福娃“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n＝________.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)．
9．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.
三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分)
10．{a n}的各项均为正数，且满足a n＋1＝a n＋2a n＋1，当a1＝2时，求{a n}的通项公式．
11.已知等差数列{a n}的公差d不为0，设S n＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1.
(1)若q＝1，a1＝1，S3＝15，求数列{a n}的通项公式；
(2)若a1＝d且S1，S2，S3成等比数列，求q的值．
已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.
(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；
(2)求数列{a n}的通项公式．
一、选择题
1．A 根据递推公式可得：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝55
12.
2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75， ∴a 7＝25.
a 1＝－35，∴d ＝10.
∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45.
3．C a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n ＝
1×1－3
n
1－3＝3n
－12
.
4．C a n ＋1＝1－23S n ，a n ＝1－2
3S n －1
相减得：a n ＋1－a n ＝－2
3a n
∴
a n ＋1a n ＝1
3
. 5．D 计算得，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，…，可得数列{a n }是以6为周期的周期数列，又知2010除以6余0，所以a 2010＝a 6＝－4.
6．A 由a n ＋1a n ＝n ＋1n ，知a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×32×…×n n －1
＝n ，故{a n }是等差数列．
二、填空题 7．1 009
解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝12.故{a n }是首项是2公差为1
2的等差数列．∴a 2 015
＝a 1＋2 014d ＝2＋2 014×1
4
＝1 009.
8．食指 4n －1
解析：注意到数1,9,17,25，…，分别都对应着大拇指，且1＋8×(251－1)＝2001，因此数到2008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3,7,11,15，…，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1.
9.
n ·n ＋1
2
＋1
解析：由a n ＋1＝a n ＋n ＋1得a n ＋1－a n ＝n ＋1 ∴有a 2－a 1＝2
a 3－a 2＝3
……
a n －a n －1＝n
累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， ∴a n ＝2＋3＋…＋n ＋2＝
n ·n ＋1
2
＋1
n ＝1也符合上式．
三、解答题
10．∵a n ＋1＝(a n ＋1)2
，∴a n ＋1＝a n ＋1. ∴{a n }是以2为首项，公差为1的等差数列． ∴a n ＝2＋(n －1)×1. ∴a n ＝(n ＋2－1)2
.
11．(1)由题设知，S 3＝a 1＋(a 1＋d )q ＋(a 1＋2d )q 2
.
将q ＝1，a 1＝1，S 3＝15代入上式，解得d ＝4.所以，a n ＝4n －3，n ∈N *
. (2)当a 1＝d 时，S 1＝d ，S 2＝d ＋2dq ，S 3＝d ＋2dq ＋3dq 2
.
因为S 1，S 2，S 3成等比数列，所以S 2
2＝S 1S 3，即(d ＋2dq )2
＝d (d ＋2dq ＋3dq 2
)． 注意到d ≠0，整理得q 2
＋2q ＝0.因为q ≠0， 解得q ＝－2.
12．(1)法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.所以
a n ＋1＋1a n ＋1
＝2(n ∈N *
)．所以数列{a n ＋1}是等比数列． 法二：∵
a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1
＝2(n ∈N *
)，∴数列{a n ＋1}是等比数列． (2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2·2n －1
＝2n
，即a n ＝2n
－1.。