名师一号(必修5) 3.3.1

第6页 共 44 页
2.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次不等式表 示的平面区域的公共部分. 示的平面区域的公共部分
第7页 共 44 页
3.二元一次不等式表示平面区域的判断方法 二元一次不等式表示平面区域的判断方法 (1)由于对在直线 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点 同一侧的所有点(x,y),实数 由于对在直线 同一侧的所有点 实数 Ax+By+C的符号相同 所以只需在此直线的某一侧取一个 的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个 的符号相同 特殊点(x 的正负即可判断Ax+By+C>0 特殊点 0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断 从 的正负即可判断 表示直线哪一侧的平面区域.当 表示直线哪一侧的平面区域 当C≠0时,常把原点作为此特 时 常把原点作为此特 殊点.如果特殊点 殊点 如果特殊点(x0,y0)使Ax0+By0+C>0,则Ax+By+C>0 如果特殊点 使 则 的平面区域是含点(x 的区域,则不含点 的平面区域是含点 0,y0)的区域 则不含点 0,y0)的区域为 的区域 则不含点(x 的区域为 Ax+By+C<0表示的区域 当C=0时,常取 表示的区域.当 常取(0,1)或(1,0)作为测 表示的区域 时 常取 或 作为测 试点. 试点
第11页 共 44 页
第12页 共 44 页
(2)将y≤-2x+3变形为 将 变形为2x+y-3≤0,首先画出 首先画出2x+y-3=0(画成实 变形为 首先画出 画成实 取点(0,0),代入 代入2x+y-3,有2×0+0-3=-3<0,∴2x+y-3<0 线),取点 取点 代入 有 × ∴ 表示的平面区域是直线2x+y-3=0的左下方的平面区域 的左下方的平面区域. 表示的平面区域是直线 的左下方的平面区域 表示的区域是直线2x+y-3=0以及左下方的平面 ∴2x+y-3≤0表示的区域是直线 表示的区域是直线 以及左下方的平面 区域,如上图 所示 区域 如上图(2)所示 如上图 所示. 规律技巧:对于不是标准形式的二元一次不等式 要作出它所 规律技巧 对于不是标准形式的二元一次不等式,要作出它所 对于不是标准形式的二元一次不等式 表示的平面区域,可以先把它化为标准形式 再作图 表示的平面区域 可以先把它化为标准形式,再作图 如本 可以先把它化为标准形式 再作图,(如本 的解答)也可以直接作出 如本题(2)中先作出直线 题(2)的解答 也可以直接作出 如本题 中先作出直线 的解答 也可以直接作出,如本题 中先作出直线y=2x+3,再将原点 再将原点(0,0)代入 代入y≤-2x+3中适合 于是含有原点的 中适合,于是含有原点的 再将原点 代入 中适合 区域即为不等式y≤-2x+3所表示的区域 所表示的区域. 区域即为不等式 所表示的区域
第3页 共 44 页
3.二元一次不等式 组)的解集 二元一次不等式(组 的解集 二元一次不等式 满足二元一次不等式(组 的 和 的取值构成有序数对 的取值构成有序数对(x,y),所 满足二元一次不等式 组)的x和y的取值构成有序数对 所 有序 数对 集合 称为 (x,y) 构成的 有这样的________数对 数对________构成的 构成的________称为 有这样的 二元一次不等式(组 的解集 的解集.有序实数对可以看成直角坐标 二元一次不等式 组)的解集 有序实数对可以看成直角坐标 坐标 于是 二元一次不等式(组 的 平面内点的________,于是 二元一次不等式 组)的 于是,二元一次不等式 平面内点的 解集 就可以看成直角坐标平面内的点构成的集合. ________就可以看成直角坐标平面内的点构成的集合 就可以看成直角坐标平面内的点构成的集合
第Hale Waihona Puke 页 共 44 页4.平面区域 平面区域 一般地,在平面直角坐标系中 二元一次不等式 一般地 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 在平面直角坐标系中 二元一次不等式Ax+By+C>0表 表 示直线____________某一侧所有点组成的平面区域 直线 示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,直线 某一侧所有点组成的平面区域 边界 这时 Ax+By+C=0称为这个平面区域的 称为这个平面区域的________.这时 在平面 这时,在平面 称为这个平面区域的 虚线 以表示 直角坐标系中,把直线 画成________,以表示 直角坐标系中 把直线Ax+By+C=0画成 把直线 画成 不含边界;而不等式 表示的平面区域包括边界, 不含边界 而不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界 而不等式 表示的平面区域包括边界 实线 把边界画成________. 把边界画成
第2页 共 44 页
课前热身
(学生用书 68) 学生用书P 学生用书
1.二元一次不等式 二元一次不等式 两 含有________个未知数 且含有未知数的项的次数最高为 个未知数,且含有未知数的项的次数最高为 含有 个未知数 一 ________的不等式称为二元一次不等式 的不等式称为二元一次不等式. 的不等式称为二元一次不等式 2.二元一次不等式组 二元一次不等式组 由几个______________组成的不等式组称为二元一次不等 由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次不等 式组. 式组
第16页 共 44 页
− x + 2 y − 4≤0, 变式训练2 : 画出不等式组 表示的平面区域. x + 3 > 0, y + 1 > 0
第17页 共 44 页
不等式-x+2y-4≤0即x-2y+4≥0表示直线 表示直线x-2y+4=0上及右 解:不等式 不等式 即 表示直线 上及右 下方的点的集合.不等式 表示直线x=-3右侧 不含边 右侧(不含边 下方的点的集合 不等式x+3>0表示直线 不等式 表示直线 右侧 的点的集合.不等式 表示直线y+1=0即y=-1上方 界)的点的集合 不等式 的点的集合 不等式y+1>0表示直线 表示直线 即 上方 (不含边界 的点的集合 综上可得 原不等式组表示的平面 不含边界)的点的集合 综上可得,原不等式组表示的平面 不含边界 的点的集合.综上可得 区域为上图所表示的阴影部分. 区域为上图所表示的阴影部分
第9页 共 44 页
典例剖析
(学生用书 68) 学生用书P 学生用书
题型一 二元一次不等式表示的平面区域
第10页 共 44 页
画出下列不等式表示的平面区域. 例1:画出下列不等式表示的平面区域 画出下列不等式表示的平面区域 (1)2x+y-10<0;(2)y≤-2x+3. 分析:先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应的直线 然 分析 先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应的直线,然 先在直角坐标系内作出二元一次不等式对应的直线 后取特殊点,判断不等式所表示的平面区域 后取特殊点 判断不等式所表示的平面区域. 判断不等式所表示的平面区域 解:(1)先画出直线 先画出直线2x+y-10=0(画成虚线 取点 画成虚线),取点 代入2x+y先画出直线 画成虚线 取点(0,0),代入 代入 10,有2×0+0-10=-10<0, 有 × 表示的区域是直线2x+y-10=0的左下方的平面 ∴2x+y-10<0表示的区域是直线 表示的区域是直线 的左下方的平面 区域,如下图 所示 区域 如下图(1)所示 如下图 所示.
二元一次不等式(组 §3.3 二元一次不等式 组) 与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 二元一次不等式 组 与平面区域
第1页 共 44 页
学生用书P 自学导引 (学生用书 68) 学生用书 1.了解二元一次不等式的几何意义 了解二元一次不等式的几何意义. 了解二元一次不等式的几何意义 2.会画二元一次不等式表示的平面区域 会画二元一次不等式表示的平面区域. 会画二元一次不等式表示的平面区域
第8页 共 44 页
(2)一般地 二元一次不等式 一般地,二元一次不等式 一般地 二元一次不等式Ax+By+C>0或Ax+By+C<0在平 或 在平 面直角坐标系内表示直线l:Ax+By+C=0某一侧的所有点 某一侧的所有点 面直角坐标系内表示直线 组成的平面区域.在直线 外任取两点 组成的平面区域 在直线l外任取两点 在直线 外任取两点P(x1,y1),Q(x2,y2),若 若 P,Q在l的同一侧 则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号 若P,Q 在 的同一侧 的同一侧,则 同号;若 与 同号 异侧,则 异号.这个规律可概 在l异侧 则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号 这个规律可概 异侧 与 异号 括为“同侧同号,异侧异号”.利用这个规律 只要在直线 的 异侧异号” 利用这个规律,只要在直线 括为“同侧同号 异侧异号 利用这个规律 只要在直线l的 某一侧取一个点(x 的正负,就可知 某一侧取一个点 0,y0),由Ax0+By0+C的正负 就可知 由 的正负 Ax+By+C>0表示直线 哪一侧的平面区域 表示直线l哪一侧的平面区域 表示直线 哪一侧的平面区域.
第13页 共 44 页
变式训练1:画出不等式 表示的平面区域. 变式训练 画出不等式-3x+2y+6≤0表示的平面区域 画出不等式 表示的平面区域 原不等式等价于3x-2y-6≥0,画出直线 画出直线3x-2y-6=0, 解:原不等式等价于 原不等式等价于 画出直线 取点(0,0)代入 代入3x-2y-6,得-6<0.所以原点不在 所以原点不在3x-2y-6≥0表示 取点 代入 得 所以原点不在 表示 的区域内,所以不等式 的区域内 所以不等式-3x+2y+6≤0表示的平面区域如下图 所以不等式 表示的平面区域如下图 所示. 所示
第5页 共 44 页
学生用书P 名师讲解 (学生用书 68) 学生用书 1.二元一次不等式表示的平面区域 二元一次不等式表示的平面区域 含有两个未知数,并且未知数的次数都是一次的不等式叫做 含有两个未知数 并且未知数的次数都是一次的不等式叫做 二元一次不等式.使不等式成立的未知数的值叫做它的 二元一次不等式 使不等式成立的未知数的值叫做它的 就是一个二元一次不等式,它的解是一些数 解.3x-2y+1>0就是一个二元一次不等式 它的解是一些数 就是一个二元一次不等式 因此,它的解集不能用数轴上一个区间表示 对(x,y),因此 它的解集不能用数轴上一个区间表示 而应是 因此 它的解集不能用数轴上一个区间表示,而应是 平面上的一个区域. 平面上的一个区域
第14页 共 44 页
题型二 二元一次不等式组表示的平面区域
x<3 2 y≥x 例2 : 用平面区域表示不等式组 的解集. 3 x + 2 y≥6 3 y < x + 9
第15页 共 44 页
不等式x<3表示直线 表示直线x=3左侧点的集合 不等式 左侧点的集合,不等式 解:不等式 不等式 表示直线 左侧点的集合 不等式2y≥x即x即 2y≤0表示直线 表示直线x-2y=0上及左上方点的集合 不等式 上及左上方点的集合.不等式 表示直线 上及左上方点的集合 3x+2y≥6,即3x+2y-6≥0表示直线 3x+2y-6=0上及右上方点 即 表示直线 上及右上方点 的集合.不等式 表示直线x-3y+9=0右 的集合 不等式3y<x+9,即x-3y+9>0表示直线 不等式 即 表示直线 右 下方点的集合.综上可得 不等式组表示的平面区域是如上 下方点的集合 综上可得,不等式组表示的平面区域是如上 综上可得 图所示的阴影部分. 图所示的阴影部分 规律技巧:要想求出不等式组的解集我们要知道每一个二元 规律技巧 要想求出不等式组的解集我们要知道每一个二元 一次不等式的解集是什么,最后求出其公共部分 将公共部 一次不等式的解集是什么 最后求出其公共部分,将公共部 最后求出其公共部分 分表示出来,此公共部分即为所求的不等式组的解集 分表示出来 此公共部分即为所求的不等式组的解集. 此公共部分即为所求的不等式组的解集