2020年四川省宜宾市江安第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2020年四川省宜宾市江安第二中学高三数学理下学期
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
（A）8 （B）18 （C）26 （D）80
参考答案：
C
第一次循环，第二次循环，第三次循环
，第四次循环满足条件输出，选C.
2. 函数上是增函数，则实数的最大值为
A.3
B.4
C.5
D.6
参考答案：
B
3. 设集合，则=
A．(－5,3) B．(－∞,3) C．(－1,3) D．(0,3)
参考答案：
C
4. 设集合M={y|y=x—x|,x∈R},N={x||x—|<,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为（）
A．（0,1） B．（0,1] C．[0,1） D．[0 ,1]
参考答案：
C
5. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40), [40,60), [60,80), [80,100),若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是
A．45 B．50 C．55 D．60
参考答案：
B
6. “”是“”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
7. 已知则tanβ=( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题．
【分析】把所求的角β变为α﹣（α﹣β），然后利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：由，
则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]=．
故选C．
【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度的变换．
8. 已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面
有
( ）
A．5对 B．6对 C．7
对 D．8对
参考答案：
C
9.
已知集合则为（）
A． B． C． D．
参考答案：
答案:A
10. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则(A∪B)∩C=
（A）{2}（B）{1，2，4}（C）{1，2，4，6}（D）{1，2，3，4，6}
参考答案：
B
由题意可得，A∪B={1，2，4，6}，则(A∪B)∩C={1，2，4}.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知对任意实数，有.若
，则________.
参考答案：
考点：二项式定理
【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
12. 现有一个由长半轴为2，短半轴为1的椭圆绕其长轴按一定方向旋转180°所形成的“橄榄球面”．已知一个以椭圆的长轴为轴的圆柱内接于该橄榄球面，则这个圆柱的侧面积的
最大值是．
参考答案：
4π
解：由题意作截面图如图，
在图中坐标系下，设圆柱与橄榄球面在第一象限内的切点为P（a，b）（a＞0，b＞0），
则椭圆方程为．
因为P在椭圆上，所以．
所以．
当且仅当，即时“=”成立．
而圆柱的底面半径等于b ，母线长等于2a ，
所以圆柱的侧面积
S=4πab ．则S的最大值等于4π．
故答案为4π．
本题考查了椭圆的运用，考查了利用基本不等式求最值，体现了数形结合的解题思
设，则的最大值等于 .
参考答案：
14. 已知，直线互相垂直，则的最小值为__________.
参考答案：
4
15. 等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式
．
参考答案：
16. （5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx
与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．
参考答案：
﹣1≤m≤1+e
【考点】：函数的值域．
【专题】：函数的性质及应用．
【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g （x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，
令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．
解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，
∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，
即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，
令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，
x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，
x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，
故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．
∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，
∴﹣1≤m≤e+1．
故答案为：﹣1≤m≤1+e
【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．
17. 已知是等比数列，，则.
参考答案：
1
设数列的首项为，公比为，则依题意，有，解得，所
以.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相切，求a的值．
参考答案：
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】（1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为x=3，符合题意．而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为3x﹣4y﹣5=0，即可得到答案．
（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．
【解答】解：（1）∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，
∴圆心C（1，2），半径r=2，
①当过M点的直线的斜率不存在时，方程为x=3，
由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3﹣1=2=r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0．
根据题意，可得=2，解得k=，此时切线方程为y﹣1=（x﹣3），即3x ﹣4y﹣5=0
综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0．
（2）由题意，直线ax﹣y+4=0到圆心的距离等于半径，
可得，解之得a=0或．
【点评】本题给出直线与圆相切，求切线的方程与参数a的值．着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
19. （本小题满分12分）
已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足
（I）求动点N的轨迹E的方程；
（II）过点F且斜率为k的直线，与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得成立，请说明理由，
参考答案：
（I）y2=4x（Ⅱ）见解析
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
（Ⅰ）设N（x，y），则由，得P为MN的中点．
∴，M（﹣x，0）．
∴，．
∴，即y2=4x．
∴动点N的轨迹E的方程y2=4x．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，消去x得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=﹣4．
假设存在点C（m，0）满足条件，则，，
∴
=
=
=．
∵，
∴关于m的方程有解．
∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．
【思路点拨】（Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入?可求动点N的轨迹E的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则
，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到，代入坐标后得到关于m的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案．
20. 已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x＜3}．
（1）分别求A∩B，（?R B）∪A；
（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据指数不等式的解法，得出集合B，再结合交集、并集或补集的定义求出A∩B，（C R B）∪A即得；
（2）题目中条件：“C?B”说明集合C是集合B的子集，由此列端点的不等关系解得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x＜3}={y|4≤y＜8}．
∴A=[3，6），B=[4，8）
∵A∩B=[4，6），C R B=（﹣∞，4）∪[8，+∞）
（C R B）∪A=（﹣∞，6）∪[8，+∞）
（2）∵A?B，
∴
∴4≤a≤7．
∴实数a的取值范围4≤a≤7．
【点评】此题是中档题．考查集合的包含关系判断及应用，以及指数不等式和含参数的不等式的解法，同时也考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．
21. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线
的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？
（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为，，，当时，求的值．
参考答案：
（Ⅰ），该曲线为椭圆;（Ⅱ）．
22. 已知，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像有交点，求a的取值范围. 参考答案：
（1）不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，故；当时，不等式化为成立，故；
当时，不等式化为，解得，故，
综上得若，不等式解集为
（2）因为，
所以.
要使函数f(x)的图象与函数g(x)的图像有交点，需，故a的取值范围是.。