向量的减法运算

→ (2)(AD
－B→P
)＋(B→C
－P→C
)＝A→D
＋P→B
＋B→C
＋C→P
＝A→D
＋(P→B
＋
→ BC
＋C→P
)＝A→D
＋0＝A→D
.
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第六章 平面向量及其应用
23
探究点 3 用已知向量表示其他向量 如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形，点 B 是该平行四边形外一
点，且A→B ＝a，A→C ＝b，A→E ＝c，试用向量 a，b，c 表示向量C→D ，B→C ， → BD .
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第六章 平面向量及其应用
7
2．在△ABC 中，若A→B ＝a，A→C ＝b，则B→C ＝( )
A．a＋b
B．a－b
√C．b－a
D．－a－b
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第六章 平面向量及其应用
8
3．若非零向量 m 与 n 是相反向量，则下列不正确的是( )
√A．m＝n
C．|m|＝|n|
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第六章 平面向量及其应用
19
(1)向量减法运算的常用方法
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第六章 平面向量及其应用
20
(2)向量和、差式的化简技巧 ①如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉 括号． ②可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． ③化简向量的差时，注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终 点．
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第六章 平面向量及其应用
34
3．(多选)下列式子可以化简为A→B 的是( )
√A．A→C ＋C→D －B→D
B．A→C －C→B
C．O→A ＋O→B
√D．O→B －O→A
解析：A→C ＋C→D －B→D ＝A→D －B→D ＝A→D ＋D→B ＝A→B ，O→B －O→A ＝
→ AB
第六章 平面向量及其应用
6．2.2 向量的减法运算
数学
第六章 平面向量及其应用
1
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
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第六章 平面向量及其应用
2
学习指导
核心素养 1.数学抽象：相反向量的概念及向
通过实例，掌握向量减法的运算， 量减法的概念的理解．
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第六章 平面向量及其应用
26
如图所示，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B ； (2)用 b，c 表示D→B ； (3)用 a，b，e 表示E→C ； (4)用 c，d 表示E→C .
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第六章 平面向量及其应用
27
解：(1)D→B ＝D→E ＋E→A ＋A→B ＝d＋e＋a.
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第六章 平面向量及其应用
29
已知|A→B |＝6，|A→D |＝9，求|A→B －A→D |的取值范围．
【解】 因为||A→B |－|A→D ||≤|A→B －A→D |≤|A→B |＋|A→D |，且|A→D |＝9，
→ |AB
|＝6，所以 3≤|A→B
－A→D
|≤15.
当A→D 与A→B 同向时，|A→B －A→D |＝3； 当A→D 与A→B 反向时，|A→B －A→D |＝15. 所以|A→B －A→D |的取值范围为[3，15].
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝_0_
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第六章 平面向量及其应用
4
2.向量的减法
定义
求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当 于加上这个向量的相__反__向__量__
作法
已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作O→A ＝a，
→ OB
＝b，则B→A
，故 A，D 选项正确．
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第六章 平面向量及其应用
35
4．已知 O 为▱ABCD 内一点，O→A ＝a，O→B ＝b，O→C ＝c，试用 a，b， c 表示O→D . 解：方法一：
如图所示，O→D ＝O→A ＋A→D ＝a＋B→C ＝a＋(O→C －O→B )＝a＋c－b.
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B．m＝－n D．m 与 n 方向相反
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第六章 平面向量及其应用
9
4．化简O→P －Q→P ＋P→S ＋S→P 的结果等于________． 答案：O→Q
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第六章 平面向量及其应用
10
探究点1 向量减法运算及其几何意义 [问题探究] 向量的减法是加法的逆运算，向量减法三角形法则是什么？ 探究感悟：使两向量的起点移到同一点，这时连接两个向量的终点并指 向被减向量的终点的向量即为两个向量的差．
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第六章 平面向量及其应用
21
化简下列向量：
→ (1)OM
－O→N
＋M→P
－N→A
；
→ (2)(AD
－B→P
)＋(B→C
－P→C
).
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第六章 平面向量及其应用
22
解：(1)O→M －O→N ＋M→P －N→A ＝N→M ＋M→P －N→A ＝N→P －N→A
＝A→P .
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第六章 平面向量及其应用
11
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
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第六章 平面向量及其应用
12
【解】 如图所示，以 A 为起点分别作向量A→B 和A→C ，使A→B ＝a，A→C ＝b.连接 CB，得向量C→B ＝a－b，再以 C 为起点作向量C→D ，使C→D ＝ c.连接 DB，得向量D→B .则向量D→B 即所求作的向量 a－b－c.
＝a－b.如图所示
如果把两个向量 a，b 的起点放在一起，则 a－b 可以表示为 几何意义
从向量 b 的终__点__指向向量 a 的_终__点_的向量
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第六章 平面向量及其应用
5
1．相反向量的两个要素是什么？ 提示：方向相反，长度相等． 2．移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式适用．
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第六章 平面向量及其应用
13
求作两个向量的差向量的2种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－ b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向 量为连接两个向量的终点，并指向被减向量的终点的向量．
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第六章 平面向量及其应用
32
1．在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则A→D －A→C ＝( )
A．C→B
B．B→C
√C．C→D
D．D→C
解析：在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意
义可得A→D －A→C ＝C→D .
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第六章 平面向量及其应用
6
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相反向量就是方向相反的向量．( × ) (2)向量A→B 与B→A 是相反向量．( √ ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( √ ) (4)向量 a 与向量 b 的差与 b 与 a 的差互为相反向量．( √ ) (5)相反向量是共线向量．( √ )
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第六章 平面向量及其应用
30
当向量a，b不共线时，向量a，b对应的线段分别与向量a＋b，a－b对应 的线段构成三角形，由“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边”可以得到||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
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第六章 平面向量及其应用
31
若 向 量 a 与 b 满 足 |a| ＝ 5 ， |b| ＝ 12 ， 则 |a ＋ b| 的 最 小 值 为 ____________，|a－b|的最大值为____________． 解析：由向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个 向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17. 答案：7 17
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第六章 平面向量及其应用
36
方法二：O→D ＝O→A ＋A→B ＋B→C ＋C→D ＝O→A ＋B→C ＋(A→B ＋C→D )＝O→A ＋B→C ＋0 ＝O→A ＋(B→O ＋O→C )＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.
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第六章 平面向量及其应用
37
word部分：
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第六章 平面向量及其应用
14
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
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第六章 平面向量及其应用
15
解：方法一：如图①所示，在平面内任取一点 O，作O→A ＝a，A→B ＝b，
则O→B ＝a＋b，再作O→C ＝c，则C→B ＝a＋b－c.
方法二：如图②所示，在平面内任取一点 O，作O→A ＝a，A→B ＝b，则O→B ＝a＋b，再作C→B ＝c，连接 OC，则O→C ＝a＋b－c.
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第六章 平面向量及其应用
38
本部分内容讲解结束
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33
2．下列运算中正确的是( )
A．O→A －O→B ＝A→B
B．A→B －C→D ＝D→B
√C．O→A －O→B ＝B→A
D．A→B －A→B ＝0
解析：根据向量减法的几何意义，知O→A －O→B ＝B→A ，所以 C 正确，A
错误；B 显然错误； 对于 D，A→B －A→B 应该等于 0，而不是 0.
→ (OM
＋M→B
)＝A→O
＋O→B
＝A→B
.
方法二：原式＝A→B ＋M→B ＋B→O ＋O→M
＝A→B ＋(M→B ＋B→O )＋O→M ＝A→B ＋M→O ＋O→M ＝A→B ＋0
＝
→ AB
.
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第六章 平面向量及其应用
18
(2)方法一：原式＝D→B －D→C ＝C→B . 方法二：原式＝A→B －(A→D ＋D→C ) ＝A一页
第六章 平面向量及其应用
16
探究点 2 向量减法的运算
化简下列各式：
→ (1)(AB
＋M→B
)＋(－O→B
－M→O
)；
→ (2)AB
－A→D
－D→C
.
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第六章 平面向量及其应用
17
【解】 (1)方法一：原式＝A→B ＋M→B ＋B→O ＋O→M ＝(A→B ＋B→O )＋
并理解其几何意义．
2. 直 观 想 象 ： 向 量 减 法 的 几 何 意
义．
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第六章 平面向量及其应用
3
1．相反向量
定义 与向量a长度_相__等_，方向_相__反_的向量，叫做a的相反向量，记作_－__a_
规定
零向量的相反向量仍是零向量
结论
a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝_a_ a＋(－a)＝(－a)＋a＝_0_
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第六章 平面向量及其应用
24
【解】 因为四边形 ACDE 是平行四边形， 所以C→D ＝A→E ＝c，B→C ＝A→C －A→B ＝b－a. 故B→D ＝B→C ＋C→D ＝b－a＋c.
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第六章 平面向量及其应用
25
用已知向量表示其他向量的 3 个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三 个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交 换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B ＋B→C ＋C→D ＋D→A ＝0.
→ (2)DB
＝C→B
－C→D
＝－B→C
－C→D
＝－b－c.
→ (3)EC
＝E→A
＋A→B
＋B→C
＝e＋a＋b.
→ (4)EC
＝－C→E
＝－(C→D
＋D→E
)＝－c－d.
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第六章 平面向量及其应用
28
探究点4 向量形式的三角不等式 [问题探究] 上节学习了“对于向量a，b满足|a＋b|≤|a|＋|b|，且当a与b方向相同时， |a＋b|＝|a|＋|b|.”试想对于a，b，|a－b|，|a|＋|b|的大小关系是什么？ 探究感悟：|a－b|≤|a|＋|b|且当a与b反向时，|a－b|＝|a|＋|b|.