吉林省松原市油田高中高三数学上学期10月基础知识调研

吉林省松原市油田高中2014届高三上学期10月基础知识调研考试数
学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R ，集合M={x|x 2
+2x-3≤0），N={x|-1≤x≤4}，则M I N 等于 A.{x |1≤x≤4} B ． {x |-1≤x≤3} C． {x |-3≤x≤4）D ． {x |-1≤x≤1}
2．复数
12i
i
+-表示复平面内的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．设a=3
0．3
，b=log π3，c=log 0．3 e 则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a<b<c
B ．c<b<a
C ．b<a<c
D ．c<a<b
4．若
p ：R x ∈∀，cos 1x ≤，则
A ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x >
B ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x >
C ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x ≥
D ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x ≥
5. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有
A ．50种
B ．60种
C ．120种
D ．210种
6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
7．已知椭圆方程为22143x y +=，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点是椭圆的顶点， 顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 A 2
B 3
C ．2
D ．3
8．设实数x ，y 满足不等式组110
3300x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，则z=2x+Y 的最大值为
A ．13
B ．19
C ．24
D ．29
9．已知等比数列{}n a 满足2
135632,4,a a a a a =⋅=则的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．
14
10．非零向量a r ，b 使得l a b +r r l=||||a b -r r
成立的一个充分非必要条件是 A ．//a b r r
B ．20a b +=r r r
C ．||||
a b a b =r r r r
D ．a b =r r
11．设函数()2x
f x =，则如图所示的函数图象
A ．(||)y f x =
B ．|()|y f x =-
C ．|)|(x f y --=
D ．|)(|x f y --= 12．已知)(x f y =是奇函数，且满足0)(2)2(=-++x f x f ，当)2,0(∈x 时，
)21(ln )(>-=a ax x x f ，当)2,4(--∈x 时，)(x f 的最大值为4
1
-，则=a
A ．43
B ．2
C ．2
5
D ．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上 13．
2
21
x dx ⎰
= ;
14．已知程序框图如右图所示，则输出的i= ;
15．在棱锥P-ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，Q 为底面ABC 内 一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为2，2，2，则以线段PQ 为直径的 球的表面积是： ；
16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
3122+= 53132++= 753142+++= … 5323+= 119733++= 1917151343+++= …
根据上述分解规律，若115312
++++=Λm ，3
p 分解中最小正整数是21，则
=+p m __ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知函数13sin 322sin )(2
++-=x x x f ． (1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间： (2)当]6
,6[π
π-
∈x 时，求)(x f 的值域． 18. (本小题满分12分)
已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，AD⊥AB，AD=AB=1
2
CD=1,PD⊥面ABCD ，
，E 是PC 的中点
（1）证明：BE//面PAD ；
（2）求二面角E —BD —C 的大小． 19．(本小题满分12分)
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是3
2． (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
(2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率22
=e ，左、右焦点分别为21F F 、，抛
物线x y 242
=的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．
(1)求椭圆C 的方程； (2)已知圆M ：3
2
22=
+y x 的切线l 与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由， 21.（本小题满分12分）
已知函数2
()ln (1)1f x p x p x =+-+ . （1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）当1=p 时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：*111
ln(1)1()23n n N n
+<+
+++∈L . 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，
B 、D 为切点
(1)求证：//AD OC
(2)若⊙O 的半径为1，求AD ·OC 的值.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长
度．已知直线L 经过点P(1,1),倾斜角
6π
α=
．
（I ）写出直线L 的参数方程；
（II ）设L 与圆2ρ=相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 24.（本小题满分 10 分）选修 4- 5 ：不等式选讲
已知函数()|2||1|f x x x =--+
（1）若()f x a ≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解不等式2
()2f x x x ≥-.
数学（理科）答案
一、 DABAC CCABB CD 二. 7/3 9 16π 11 三. 18. 【解析】：
17.【解析】
(1).1)sin 21(32sin )(2
+-+=x x x f
++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx ．函数)(x f 的最小正周期ππ
==2
2T ．
由正弦函数的性质知，当2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-k x k ，
即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-
ππππ时，函数)3
2sin(π
+=x y 为单调增函数，所以函数)(x f 的单调增区间为]12
,125[π
πππ+-k k ，)(Z k ∈．
(2)因为]6,6[ππ-∈x ，所以]3
2,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(π
x ]1,0[，
所以]3,1[1)3
2sin(2)(∈++
=π
x x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]．
19.【解析】
(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ，
则5
1
204)(3
62214===C C C A P ， ⨯⨯+-=32)321()(1
33C B P 27792271)321(2=
+=- 事件B A 、
相互独立， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
-=⋅-1)(1B A P 135
128
277511)()(=
⨯-=⋅B P A P ． (2)由题知ξ的所有可能取值是1，2．
51)1(362214===C C C P ξ，5
4
)2(3
6341224=+==C C C C P ξ， 则ξ的分布列为
所以5
9
542511=⨯+⨯
=ξE ． 20. 【解析】(1)因为椭圆C 的离心率22=
e ，所以2
2
=a c ，即c a 2=． 因为抛物线x y 242
=的焦点)0,2(F 恰好是该椭圆的一个顶点，
所以2=a ，所以1=c ，1=b ．所以椭圆C 的方程为12
22
=+y x ． (2)(i)当直线l 的斜率不存在时．
因为直线l 与圆M 相切，故其中的一条切线方程为3
6=
x ．
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,12
,3622y x x 不妨设)36,36(A ，)36,36(-B ， 则以AB 为直径的圆的方程为3
2
)36(22=+-y x ． (ii)当直线l 的斜率为零时．
因为直线l 与圆M 相切，所以其中的一条切线方程为3
6
-
=y ． 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,12
,3622y x y 不妨设)36,36(-A ，)36,36(--B ， 则以AB 为直径的圆的方程为3
2
)36(22
=+
+y x ． 显然以上两圆都经过点O(0，0)．
(iii)当直线l 的斜率存在且不为零时． 设直线l 的方程为m kx y +=．
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12
,2
2y x m kx y 消去y ，得0224)12(222=-+++m kmx x k ，
所以设),(11y x A ，),(22y x B ，则1
24221+-=+k km
x x ，12222221+-=k m x x ．
所以))((2121m kx m kx y y ++=1
22)(22
22
21212
+-=+++=k k m m x x km x x k ．
所以2121y y x x +=⋅1
22
232
22+--=k k m ．① 因为直线l 和圆M 相切，所以圆心到直线l 的距离3
61||2
=
+=
k m d ， 整理，得)1(3
2
22
k m +=
， ② 将②代入①，得0=⋅OB OA ，显然以AB 为直径的圆经过定点O(0，0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0，0)．
21. 【解析】
（1）()f x 的定义域为（0，+∞），
()()()x p
x p x p x p x f +-=
-+=2'
1212
当1p ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增； 当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调递减；
当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得()
12--
=p p
x .
则当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p
x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--,12p p
单调递减 （2）因为0>x ，所以
当1p =时，kx x f ≤)(恒成立x
x
k kx x ln 1ln 1+≥
⇔≤+⇔ 令x x
x h ln 1)(+=
，则max )(x h k ≥, 因为2
ln )('x x
x h -=，由0)('=x h 得1=x ，
且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)('<x h .
所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ，故1≥k （3）由（2）知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln -<x x ，
令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1
ln )1ln(<-+ 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 11ln <+，
相加得n
n n 1
2111ln 23ln 12ln ΛΛ++<+++
而)1ln(12312ln 1ln 23ln 12ln
+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅=+++n n n n n ΛΛ 所以n
n 1
31211)1ln(++++<+Λ，)(*N n ∈ 22. 【解析】
(1)如图，连接BD 、OD.∵CB 、CD 是⊙O 的两条切线, ∴BD ⊥OC ，∴∠2+∠3=90°
又AB 为⊙O 直径，∴AD ⊥DB ，∠1+∠2=90°, ∴∠1=∠3，∴AD ∥OC
(2)AO=OD ，则∠1=∠A=∠3,∴Rt △BAD ∽Rt △ODC,AD •OC=AB •OD=2 23．【解析】
（I ）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23
1⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+=
（II ）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B 的坐标分
别为
),211,231(11t t A ++
)21
1,231(22t t B ++．
圆2ρ=化为直角坐标系的方程42
2=+y x ． 以直线l 的参数方程代入圆的方程
42
2=+y x 整理得到 02)13(2=-++t t ①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． 24.【解析】
（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧>-<<-+--≤=)2(3)21(12)1(3
)(x x x x x f ，
又当21<<-x 时，3123<+-<-x ，
∴3)(3≤≤-x f
∴若使f(x)≤a 恒成立，应有a ≥f max (x),即a ≥3 ∴a 的取值范围是：[3，+∞）
（2）当1-≤x 时，121322=⇒≤≤-⇒≤-x x x x ；
当21<<-x 时，11111222≤<-⇒≤≤-⇒+-≤-x x x x x ；
当2≥x 时，φ∈⇒-≤-x x x 322； 综合上述，不等式的解集为：[]1,1-.。