数学 限时训练 4.6 简单的三角恒等变换 [含答案解析]

双基限时练
巩固双基,提升能力
一、选择题
1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－3
5，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＜0，cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－
1625＝－7
25＜0，∴θ是第三象限角．
答案：C
2．已知sin α＝5
5，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725 C.1225
D ．－1825
解析：∵sin α＝55，∴cos2α＝1－2sin 2
α＝35，∴cos4α＝2cos 22α－1
＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫352－1＝－725. 答案：B
3．若－2π＜α＜－3π
2，则 1－cos (α－π)
2
的值是( ) A ．sin α2 B ．cos α
2 C ．－sin α
2
D ．－cos α
2
解析：
1－cos (α－π)
2
＝ 1－cos (π－α)
2 ＝
1＋cos α
2
＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪cos α2. ∵－2π＜α＜－3π2，∴－π＜α2＜－3π
4， ∴cos α2＜0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 答案：D
4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ
2的值为( ) A.35 B.4
5 C ．±35
D ．±45
解析：∵θ为第二象限角，∴θ
2为第一、三象限角， ∴cos θ
2的值有两个．
由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－7
25. ∴2cos 2θ2＝18
25. ∴cos θ2＝±35. 答案：C
5．已知x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2，π，cos2x ＝a ，则cos x ＝( )
A.
1－a 2
B ．－
1－a 2
C.
1＋a 2
D ．－
1＋a 2
解析：依题意得cos 2
x ＝1＋cos2x 2
＝1＋a
2； 又x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2，π，因此cos x ＝－
1＋a 2.
答案：D
6．若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则1＋tan α2
1－tan α2＝( )
A ．－12 B.12 C ．2
D ．－2
解析：∵cos α＝－4
5，α为第三象限角， ∴sin α＝－35，∴tan α＝3
4.
由tan α＝34＝2tan α2
1－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α
2
＝－3. 又∵π＋2k π＜α＜3π
2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π＜α2＜3π
4＋k π，k ∈Z .
当k ＝2n (n ∈Z )时， π2＋2n π＜α2＜3π4＋2n π，α
2在第二象限； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π＜α2＜7π4＋2n π，α
2在第四象限． ∴tan α
2＝－3.
∴1＋tan α2
1－tan α2＝1－31＋3＝－1
2. 答案：A 二、填空题
7．已知cos2α＝1
4，则sin 2α＝__________. 解析：sin 2α＝1－cos2α2＝3
8. 答案：38
8.sin2B
1＋cos 2B －sin 2B
＝－3，则tan2B ＝__________. 解析：∵sin2B 1＋cos 2B －sin 2B ＝2sin B cos B
2cos 2B ＝tan B ＝－3，
∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2
B ＝3
4. 答案：3
4
9．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α
2＝__________.
解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α
2＜cos α2，∴α2为第三象限的角，∴cos α2＜0.
∵tan α＝－43，∴cos α＝－3
5， ∴cos α2＝－
1＋cos α2＝－55.
答案：－5
5 三、解答题
10．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值． 解析：(1)f (x )＝2cos x cos(x －π
6)－3sin 2x ＋sin x cos x
＝3cos 2x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝π.
(2)由f (α)＝1，得sin(2α＋π3)＝1
2. 又α∈[0，π]，∴2α＋π3∈[π3，7π
3]． ∴2α＋π3＝5π6，或2α＋π3＝13π
6. 故α＝π4，或α＝11π12.
11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋x －3cos2x ，x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2.
(1)求f (x )的最大值和最小值；
(2)若不等式|f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2上恒成立，求实数m 的取值
范围．
解析：(1)∵f (x )＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x
＝1＋sin2x －3cos2x ＝1＋2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π3.
又∵x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2，
∴π6≤2x －π3≤2π3， 即2≤1＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3≤3.
∴f (x )max ＝3，f (x )min ＝2.
(2)∵|f (x )－m |＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2，
∴m ＞f (x )max －2，且m ＜f (x )min ＋2. ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)． 12．设函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4x －π6－2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
πx 8＋1.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值.
解析：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x cos π
6－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x sin π6－ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4
＝8.
(2)方法一，在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．
由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上，
从而g (x )＝f (2－x )
＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π
4(2－x )－π3
＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π
4x －π3
＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x ＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π
3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝3
2.
方法二，因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
23，2，且y ＝g (x )
与y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝
f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4x －π3.
当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3 ≤π
6，因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大 值为g (x )max ＝3sin π6＝3
2.。