闽清县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

闽清县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个
2． 如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，则（
﹣）•（+）=（ ）
A ．﹣6
B ．﹣2
C ．2
D ．6
3． 三个数a=0.52，b=log 20.5，c=20.5之间的大小关系是（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a
4． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
5． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y
23＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25
－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1 6． 已知函数()2sin ()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为2
π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111]
A ．
6
π
B ．3
π
C ．
2
π
D ．
23
π
7． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）
A ．20人
B ．40人
C ．70人
D ．80人
8． 复数i i
i z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ）
A ．1-
B ．i -
C ．i 2
D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
9．函数f（x）=的定义域为（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（1，2）
10．某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）
A．21 B．22 C．23 D．24
11．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．函数y=的图象大致为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．
14．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于．
15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为km．
16．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：
1=
+
+，
1=
+
+
+，
1=
+
+
+
+，…依此方法可得：
1=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，其中m ，n ∈N *
，则m+n= ．
17．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
18．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
三、解答题
19．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2
，﹣]的最值．
20．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(221
12≥+=+---n S S S n n n n .
Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256lo g ()1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
21．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xo y
中，直线的参数方程为32
2
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪
=+⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系x O y 取相同的长
度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C
的方程为in ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P
的坐标为(3,，求P A P B +．
22．已知函数f （x ）=x 3+2bx 2+cx ﹣2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y=5x ﹣10． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）设函数g （x ）=f （x ）
+mx ，若g （x ）的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g （x ）取得极值时对应的自变量x 的值．
23．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
24．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB=2，AA 1=4，E 为AA 1的中点，F 为BC 的中点 （1）求证：直线AF ∥平面BEC 1 （2）求A 到平面BEC 1的距离．
闽清县第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个．
故选B
2．【答案】D
【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：
===2+4﹣
2+2=6．
故选：D．
【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．
3．【答案】A
【解析】解：∵a=0.52=0.25，
b=log20.5＜log21=0，
c=20.5＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
4．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
6． 【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质．
7． 【答案】A
【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4，
则这样的样本容量是n==20．
故选A ．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距=是解
答的关键．
8． 【答案】A 【解析】
()12(i)122(i)
i i z i i
i +-+=
=
=--，所以虚部为-1，故选A.
9． 【答案】D
【解析】解：由题意得：，
解得：1＜x ＜2，
故选：D．
10．【答案】C
【解析】解：执行程序框图，有
p=1，n=2
第1次执行循环体，有n=5，p=11
不满足条件p＞40，第2次执行循环体，有n=11，p=33 不满足条件p＞40，第3次执行循环体，有n=23，p=79 满足条件p＞40，输出n的值为23．
故选：C．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．11．【答案】A
【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
12．【答案】D
【解析】解：令y=f（x）=，
∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴函数y=为奇函数，
∴其图象关于原点对称，可排除A；
又当x→0+，y→+∞，故可排除B；
当x→+∞，y→0，故可排除C；
而D均满足以上分析．
故选D．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，
则四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
14．【答案】6．
【解析】解：由抛物线y2=4x可得p=2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．
∵直线AB过焦点F，
∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
15．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为．
16．【答案】33．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
17．【答案】甲．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
18．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x ）=0得x=
﹣或x=﹣1， 又∵f （﹣2）=﹣2，f
（﹣）=
﹣，f （﹣1）=0，f
（﹣）=
﹣，
∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．
20．【答案】 【解析】Ⅰ由题意知()
32
1
211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()32
1
1≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--
()
312
2122 (22)
52 (2)
2
22
1
22
1
≥+=++++++=++++=----n n
n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1． Ⅱ 由88222
2222562lo g (
)lo g lo g 2
821
2
n
n n
n b n a -====-- N *n ∈
法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=； 当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .
法二：可利用等差数列的求和公式求解
21．【答案】
【解析】Ⅰ
∵:in C ρθ=
∴2
:s in C ρθ=
∴22:0C x y +-=，即圆C
的标准方程为2
2
(5
x y +-
=．
直线的普通方程为30
x y +-
=．
所以，圆C
2= ．
Ⅱ由22
(5
3
x y y x ⎧+-=⎪⎨
=-+
⎪⎩
，解得12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或2
1
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以
22．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f （2）=0， 即4b+c+3=0．①
f ′（x ）=3x 2+4bx+c ，由已知，f ′（2）=12+8b+c=5． 得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f （x ）=x 3﹣2x 2
+x ﹣2．
||||P A P B +==
（2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx，
g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
x g x g x
极大值
当x=（2﹣）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题解析：证明：（1）连接C
A
1
，∵直三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-中，四边形C
C
AA
1
1
是矩形，
故点F在C
A
1
上，且F为C
A
1
的中点，
在BC
A
1
∆中，∵F
E、分别是
1
1
AC
B
A、的中点，∴BC
EF//.
又⊄
EF平面ABC.
EF平面ABC，⊂
BC平面ABC，∴//
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理.
24．【答案】
【解析】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，
则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1
又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1
∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，
∴AF∥HE，
∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1
∴AF∥平面REC1．…
（2）等边△ABC中，高AF==，所以EH=AF=
由三棱柱ABC﹣A
B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于
1
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1
可得S
△=BC1•EH=××=，
而S△ABE=AB×BE=2
由等体积法得V A﹣BEC1=V C1﹣BEC，
∴S△×d=S△ABE×，（d为点A到平面BEC1的距离）
即××d=×2×，解之得d=
∴点A到平面BEC1的距离等于．…
【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．。