船山区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

船山区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）
A．B． C. D．
2．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5
3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）
A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题
C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题
4．S n是等差数列{a n}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（）
A．S18＝72 B．S19＝76
C．S20＝80 D．S21＝84
5．在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
6．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）
7．若某算法框图如图所示，则输出的结果为（）
A．7 B．15 C．31 D．63
8．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任
意一点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．抛物线y=﹣8x2的准线方程是（）
A．y=B．y=2 C．x=D．y=﹣2
10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
11．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（）1111]
A．10B．51C．20D．30
12．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除
二、填空题
13．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
14．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g
（x ）（a ＞0且a ≠1），+
=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值
为 ．
15．8
1()x x
-的展开式中，常数项为___________．（用数字作答） 【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题. 16．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．
17．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
18．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围
是 ．
三、解答题
19．设函数f （x ）=lnx+，k ∈R ．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x ﹣2=0垂直，求k 值； （Ⅱ）若对任意x 1＞x 2＞0，f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2恒成立，求k 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数f （x ）在x=e 处取得极小值，不等式f （x ）＜的解集为P ，若M={x|e ≤x ≤3}，且M ∩P ≠∅，求实数m 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
21．如图在长方形ABCD 中，是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，
．
（1）若M 是AB 的中点，求证：
与
共线；
（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；
（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．
22．已知函数f （x ）=4x ﹣a •2x+1+a+1，a ∈R ． （1）当a=1时，解方程f （x ）﹣1=0；
（2）当0＜x ＜1时，f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围； （3）若函数f （x ）有零点，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
24．若函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a 的值．
船山区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
考
点：平面图形的直观图. 2． 【答案】B
【解析】解：线段AB 的中点为，k AB ==﹣，
∴垂直平分线的斜率 k=
=2，
∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y ﹣=2（x ﹣2）⇒4x ﹣2y ﹣5=0，
故选B ．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
3． 【答案】D
【解析】解：∵命题“p 或q ”真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个命题为真命题， 又∵命题“非p ”也是假命题，
∴命题p 为真命题． 故命题q 为可真可假． 故选D
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．
4． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，
即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2
＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S20，S21均不恒为常数，故选B.
5．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．【答案】C
【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1
∴3a2＜b2，
∴c2=a2+b2＞4a2，
∴e=＞2
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．
7．【答案】D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得
A=1，B=1
满足条件A≤5，B=3，A=2
满足条件A≤5，B=7，A=3
满足条件A≤5，B=15，A=4
满足条件A≤5，B=31，A=5
满足条件A≤5，B=63，A=6
不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．
故选：D．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以=x0（x0+2）+=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值=，
故的取值范围是，
故选B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
9．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
10．【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为．
故选B．
11．【答案】D
【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
，故选D. 考点：系统抽样
12．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．
故应选B ．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
二、填空题
13．【答案】3
14．【答案】 1 ．
【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，
再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
15．【答案】70
【解析】81
()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-，所以当4r =时，常数项为
448(1)70C -=.
16．【答案】 （0，5） ．
【解析】解：∵y=a x 的图象恒过定点（0，1），
而f （x ）=a x +4的图象是把y=a x 的图象向上平移4个单位得到的， ∴函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P （0，5）， 故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
17．【答案】 甲 ．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是
= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵
＜
，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
18．【答案】 [4，16] ．
【解析】解：直线l ：（t 为参数），
化为普通方程是=
，
即y=tan α•x+1；
圆C的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由条件得f′（x）=﹣（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，
∴此切线的斜率为0，
即f′（e）=0，有﹣=0，得k=e；
（Ⅱ）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立…（*）
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．
由h′（x）=﹣﹣1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k≥﹣x2+x=（﹣x﹣）2+（x＞0）恒成立，
∴k≥（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），
故k 的取值范围是
[，+∞）； （Ⅲ）由题可得k=e ，
因为M ∩P ≠∅，所以f （x
）＜在[e ，3]上有解， 即∃x ∈[e ，3]，使f （x
）＜成立，
即∃x ∈[e ，3]，使 m ＞xlnx+e 成立，所以m ＞（xlnx+e ）min ，
令g （x ）=xlnx+e ，g ′（x ）=1+lnx ＞0，所以g （x ）在[e ，3]上单调递增， g （x ）min =g （e ）=2e ， 所以m ＞2e ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，考查不等式存在性和恒成立问题的解决方法，考查运算能力，属于中档题．
20．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈ 试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分
（2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 21．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
当M 是AB 的中点时，A （0，0），N （1，1），C （2，1），M （1，0），
，
由
，可得
与
共线；
（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得
与
垂直，
设M （t ，0）（0≤t ≤2），则B （2，0），D （0，1），M （t ，0），
，
由
=﹣2（t ﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB 上存在点
，使得
与
垂直；
（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，在
上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f（x）=4x﹣22x+2，
f（x）﹣1=（2x）2﹣2•（2x）+1=（2x﹣1）2=0，
∴2x=1，解得：x=0；
（2）4x﹣a•（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a•（2•2x﹣1）＜4x+1，
∵2x+1＞1，
∴a＞，
令2x=t∈（1，2），g（t）=，
则g′（t）===0，
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=，
故a≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞．
由|2|21x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得3
2
m =．……………………4分
（2）不等式()2|23|2
y
y a f x x ≤+++等价于|21||23|22y y a x x --+≤+，
由题意知max (|21||23|)22
y
y a x x --+≤+．……………………6分
24．【答案】
【解析】解：由题意可得：
∵当a ＞1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递增，
∴f （2）﹣f （1）=a 2
﹣a=a ，解得a=0（舍去），或a=．
∵当 0＜a ＜1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递减，
∴f （1）﹣f （2）=a ﹣a 2
=
，解得a=0（舍去），或a=．
故a 的值为或．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。