32110_吉林省吉林一中10-11学年高一上学期期末考试数学

吉林一中2010--2011学年度上学期期末考试
第I卷
高一数学试卷修二
、选择题
1 •设集合U 二{1,2,3,4,5} , A 二{1,2,3}, B 二{2,3,4},贝U C U(A D B)=()
2 .
3 .
4 .
5 .
6 .
7 . 8 . A. {2,3} B. {1,4,5} C. {4,5} {1,5}
卄1
若^log2009 2010,^ log 2011 2010,^ log 2010
2011
B . b a c
C . cab
，则()
直线x 、丄=0截圆x2y2 =4所得劣弧所对圆心角为()
A. -
B.-
6 3
在坐标平面内，与点A (1, 线
共有()
A. 1条
函数y =a x，
A. (0, 1)
2)
C .-
2
距离为1,且与点
D
.
2
■:3
B (3, 1)距离为2的直
B. 2条
C. 3条
D. 4条
1(a 0且a=1)的图象必经过点
B.( 1, 1)
C.( 2, 0)
如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,
图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为
C . 22
B. 2.3
已知点 A (1, 0, 2), B (1,- 3, 离
相等，则点M的坐标为
A . (-3, 0, 0)
0,- 3) D. (0, 0, 3)
()
D.(2, 2)
且侧棱AA1_面ABG,正视
D. 3
1),点M在z轴上且到A、()
B. ( 0,- 3, 0)
()
B两点的距
C. (0,
用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何几的三视图如下图所示,
则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()
上，则
()
10 .设：、是两个不同的平面，给出下列命题:
的值最小时，点P 的坐标是.
16.
有6根木棒，已知其中有两根的长度
为
3cm 和■ 2cm ，其余四根的长度均 为
1cm ，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为
__________ cm 3
.
三、解答题
17. 已知△ ABC 的三个顶点分别为 A (2,3) ,B (-1，-2)，C (-3，4),求 (1) BC 边上的中线AD 所在的直线方程； (2) ^ ABC 的面积。

-x
18. 设f(x^—三是定义在R 上的函数
a e
① 若平面 内的直线I 垂直于平面：内的任意直线，则：丄：
② 若平面 内的任一直线都平行于平面：，则：〃： ③ 若平面 垂直于平面：，直线I 在平面：内，则I 丄： ④ 若平面 平行于平面：，直线I 在平面：内，则\n: 其中正确命题的个数是 () A . 4 B . 3 C . 2 D . 1
11 .若直线mx • 2ny -4二0(m, n • R)将圆x y -4x-2y-4二0分成两段相等 的弧，贝U m + n 等于 A . - 2 B .— 1 12.如图，设平面a b =EF, AB _a,CD _ a,垂足分别为 C . 1 () D . 2 13. 14. 果增加一个条件就能推出BD _ EF ，给出四个条 件： ① AC _ b ; ② AC _ EF ; ③ AC 与BD 在b 内的正投影在同一条直线上； ④AC 与BD 在平面b 内的正投影所在的直线交于 C F
D
E
B ，D ，且 A3 .女
口 A
B
一占 八、、・ 那么这个条件不.可能是 A .①② B .②③ 、填空题 若将下面的展开图恢复成正方体，则• ABC 的度数为.
已知点A (1, -1)，点B (3, 5)，点P 是直线y 二x 上动点，当|PA|+|PB|
C .③
D .④ ()
15.
设函数f(x) 4
，那么f
4 +2
的值为
(1) f (x)可能是奇函数吗？
(2)当a= 1时，试研究f (x)的单调性
19•如图所示，已知PA_矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。

(1)求证：MN //平面PAD ；
(2)求证：MN _ CD ；
20.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x-4y *4=0与圆C 相切.
(I)求圆C的方程；
(II)过点Q (0，-3)的直线I与圆C交于不同的两点A&y)、B(x2,y2)，
当XM y i y2 =3时，求△ AOB的面积.
21 •随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人
(140v2a v420，且a为偶数)，每人每年可创利10万元.据评估，在经营条件不变的前提下，若裁员x人，则留岗职员每人每年多创利0.1x万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
22.已知O O: x2 y2 =1和定点A(2,1),由。

O外一点P (a,b)向。

O引切线PQ，
切点为Q,且满足|PQ |=| PA|.
(1)求实数a,b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心所作的O P与。

O有公共点，试求半径最小值时O P的方程。

参考答案
一、选择题
1. B;提示：按集合的交、并、补运算处理即可；
一、1
2. A;提示：显然log 2009 2010 > 1 > log 2011 2010 > log 2010
2011
3. D【解析】根据圆心距、半径、弦的一半构成的直角三角形，容易得出劣弧
所对圆心角为—。

3
4.
B【解】根据题意可知，所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线方程为y
k「2 +b | =〔，小2 = | 3k~^ b =kx + b，即卩kx —y + b = 0，所以d1 =〔
2，
<k2+1 7k2+1
4 5
解之得k = 0或k二-一，k二-，所以所求直线方程为y= 3或4x+ 3y— 5 = 0,
3 3
所以符合题意的直线有两条。

5. D当x = 2时，y= a0 ^1 ^2,故函数过点(2，2)
6. B 侧视图也是矩形，一边长为2,另一条边为,3，所以面积为2._3，选择B
7. C 根据z 轴上点的特点可知：设 M （0，0，z ）,再根据空间中两点之间的距
离公式可以求得。

8. C ;提示：通过三视图可得该几何体底面为十字形，最左侧的为双层；
9. C 根据已知验证由于圆心在直线 x+y = 0上，所以只有A 、C 满足题意，由于
圆心所在直线与圆的两条切线垂直，所以直线 x+y = 0与两切线的交点应该 在圆上，只有C 满足。

10. B ①②④正确，③错，故选B
11. D 直线将圆分成等弧可得直线过圆心，将圆心坐标（2, 1）代入可得：m + n = 2. 12. D
根据线面垂直的判断知：条件①②③都能够判断BD _ EF 垂直。

只有④不能 够判断。

二、填空题
13. 60°【解析】把图形复原后，连接三点恰好构成一个等边三角形，所以为 60°。

14. （2，2）【解析】根据已知条件知：连接 AB 与直线y = x 相交，交点即为
所求P 点，直线AB 方程为：y=3x-4,与y =x 联立，求得P '：
（2, 2）
k -石）=1,（仁k 岂5），因此可以 得出结果。

2 12 .
由题意知该几何体如图所示，
SA = SB = SC = BC = 1， AB 二 2, AC = . 3，
则• ABC 二Rt ，取AC 中点O ，连接SO 、OB ，由已知可解得
又 SB = 1,所以 SOB 二 Rt ，
1 <
2 1
42
所以so —底面ABC ,所以二盯云
17. 解：（I ）由已知得 BC 中点D 的坐标为D （-2,1）,
「冲线AD 所在直线的方程是汙=老 即 x -2y 4 =0
15、5
由原
f (1 解答题
(n)v BC「(匚1匚(匚3))2 (匚2匚4)2 =2.,10 ,
直线BC的方程是3x y ^0 , 点A到直线BC的距离是d」3［325 1一1!
寸32+12V10
1
•••△ ABC 的面积是S=—BC d =14 .
2
18. ( 1)假设f (x)是奇函数，由于定义域是R,所以f ( —x)=—f (x)对任意x 都
成立，即e— - -= - (-—■ -^)，整理得(a - 1)(e x - e») = 0，
a e a e a
即a」=0，即a2^0，显然该方程无解，所以f (x)不可能是奇函数。

a
(2)当a= 1时，f(x)二e x，e»，以下讨论其单调性；
任取x「X2 • R，且为：：：X2，
x 1 x
2 x^ ' ,x2
则f(xJ-f(X2)二e x1e^1-e x2-e」2 = 也，
e e2
其中e x1e x20，e x^ - e x2::: 0，当e x1 x2-1 0 时，
f(xj ：：： f(X2)，f (x)为减函数,
此时需要x! x2 0，即增区间为［0,二)，反之(」：,0］为减函数，即函数在区间［0,=)上是增函数，在(」：,0］上为减函数。

19. 证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则由于EN与AM平行且相等，故
AMNE为平行四边形，所以MN//AE
因为AE 平面PAD，MN二平面PAD，所以MN//平面PAD。

(2)因为PA_矩形ABCD所在平面，所以PA_ AB
又AD _ AB，所以AB _平面PAD。

所以AB _ AE，即AB _ MN。

又CD//AB，
所以MN _CD。

20. 解：(I)设圆心为C(a,0)(a 0),则圆C的方程为(x-a)2，y2=4，因
为圆C与3x -4y - 4 =0相切，所以l3a +4J=2,即| 3a +4 | = 10，
J32 +42
解得a = 2或a (舍去)，
3
所以圆C的方程为(x—2)2• y2 =4.
(II)显然直线I的斜率存在，设直线I的方程为y = kx —3 ,
丄y=kx_3 /曰 2 2
由」 2 2 得(I+k2)x2—(4 + 6k)x + 9 = 0 ,
丄x—2) +y =4
•••直线I与圆相交于不同两点
5
..(4 6k)2-4(1 k2) 9 0,解得k —,
设A(x i, y i), Bgy2)，则
笃，①
x i x^4 6k,x i x2
i+k i+k
2
y i 讨2 = (kx i -3)(kx2 -3) = k X1X2 -3k(x i X2) 9 ,
将①代入并整理得k2 4k -^0 , 解得k=i或k= —5 (舍去)，所以直线I的方程为y = x - 3.
圆心C到I的距离d」2一31 2,
V2 2
22•解：(1)连OP,
Q为切点，PQ丄OQ,由勾股定理有
由已知|PQ 円PA|,故|PQ |2=| PA |2
即：(a2 b2) -12 =(a -2)2 (b -1)2
化简得实数a b间满足的等量关系为：
(2)由2a b -3 = 0 ,得b= —2a+3。

故当a=-时,| PQ|min =2丁5，即线段PQ长的最小值为
5 5 5。