苏州北外附属苏州湾外国语学校数学整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)

苏州北外附属苏州湾外国语学校数学整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A ．61和63
B ．63和65
C ．65和67
D ．64和67
【答案】B
【解析】
【分析】
248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解． 【详解】
解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B ．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案
2．对二次三项式4x 2﹣6xy ﹣3y 2分解因式正确的是（ ）
A ．3213214()()x y x y +-++
B ．2132134()()x y x y +---
C ．(321)(321)x y y x y y ---+
D ．321213(2)(2)x y x y -+-- 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：4x 2﹣6xy ﹣3y 2
=4[x 2﹣32xy +（34
y ）2]﹣3y 2﹣94y 2 =4（x ﹣34
y ）2﹣214y 2 =（2x ﹣
32y ﹣212y ）（2x ﹣32y +212y ）
=（2x ﹣
3212+y ）（2x ﹣3212
-） 故选D ． 【点睛】
本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要细心．
3．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）
A ．-1
B ．b ﹣a
C ．-a
D ．﹣b
【答案】D
【解析】
【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差. 【详解】
∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--
2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--
∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----
32b b b =-+=-
故选D.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.
4．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.
【点睛】
本题考查多项式相乘展开系数问题.
5．当3x =-时，多项式33ax bx x ++=.那么当3x =时，它的值是（ ）
A ．3-
B ．5-
C ．7
D ．17-
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据3x =-时，多项式33ax bx x ++=，找到a 、b 之间的关系，再代入3x =求值即可.
【详解】
当3x =-时，33ax bx x ++=
327333ax bx x a b ++=---= 2736a b ∴+=-
当3x =时，原式=2733633a b ++=-+=-
故选A.
【点睛】
本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a 、b 之间的关系.
6．下列多项式中，能分解因式的是：
A ．224a b -+
B ．22a b --
C ．4244x x --
D ．22a ab b -+
【答案】A
【解析】
根据因式分解的意义，可知A 、224a b -+能用平方差公式()()22a b a b a b -=+-分解，故正确；B 、22a b --=-（22a b +），不能进行因式分解，故不正确；C 、4244x x --不符合完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，故不正确；D 、22a ab b -+既没有公因式，也不符合公式，故不正确.
故选：A.
点睛：此题主要考查了因式分解，解题时利用因式分解的方法：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2
222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.
7．若代数式x 2＋ax ＋64是一个完全平方式，则a 的值是（ ）
A ．－16
B ．16
C ．8
D ．±16
【答案】D
【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.
故选：D
点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。

另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。

算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。

8．在2014，2015，2016，2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．
A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017 【答案】A
【解析】
由于22()()a b a b a b -=+-，所以
22201510081007=-；222016505503=-；22201710091008=-；因+a b 与-a b 的奇偶性相同，21007⨯一奇一偶，故2014不能表示为两个整数的平方差． 故选A.
9．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )
A ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)
B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
D ．(a －b)(a ＋2b)＝a 2＋ab －b 2
【答案】B
【解析】
图（4）中，
∵S 正方形=a 2-2b （a-b ）-b 2=a 2-2ab+b 2=（a-b ）2，
∴（a-b ）2=a 2-2ab+b 2．
故选B
10．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy (4y -2x -1)=-12xy 2+6x 2y +□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( ) A ．3xy
B ．-3xy
C ．-1
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】
解：∵左边=-3xy （4y-2x-1）=-12xy 2+6x 2y+3xy
右边=-12xy 2+6x 2y+□，
∴□内上应填写3xy
故选：A ．
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.
【详解】
由已知可得2x-3y=2，
所以()()23
1010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.
12．（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.
【答案】（a-b+x-y ）
【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2
运用提取公因式法因式分解（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×（a-b+x-y ）. 故答案为：（a-b+x-y ）.
点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.
13．已知25,23a b
==，求2a b +的值为________.
【答案】15．
【解析】
【分析】
逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵2a =5，2b =3，
∴2a+b =2a ×2b =5×3=15．
故答案为：15．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
14．分解因式2
12x 123y xy y -+-=___________
【答案】()232x 1y --
【解析】
根据因式分解的方法，先提公因式-3y ，再根据完全平方公式分解因式为：()()2
2212x 12334x 41321y xy y y x y x -+-=--+=--. 故答案为()2
32x 1y --.
15．计算：532862a a a -÷=（）___________．
【答案】343a a -
【解析】
根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷
2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.
故答案为：343a a -.
16．若m+
1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7
【解析】
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+
1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+2
1m =7， 故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
17．已知ab=a+b+1，则（a ﹣1）（b ﹣1）=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
将（a ﹣1）（b ﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．
【详解】
（a ﹣1）（b ﹣1）= ab ﹣a ﹣b+1，
当ab=a+b+1时，
原式=ab ﹣a ﹣b+1
=a+b+1﹣a ﹣b+1
=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．
18．因式分解：3x 3﹣12x=_____．
【答案】3x （x+2）（x ﹣2）
【解析】
【分析】
先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
3x 3﹣12x
=3x （x 2﹣4）
=3x （x+2）（x ﹣2），
故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19．分解因式：3x 2-6x+3=__．
【答案】3(x-1)2
【解析】
【分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
()()2
2236332131x x x x x -+=-+=-.
故答案是：3(x-1)2.
【点睛】
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．已知8a b +=，22
4a b =，则22
2a b ab +-=_____________． 【答案】28或36．
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵224
a b=，∴ab=±2．
①当a+b=8，ab=2时，
22
2
a b
ab
+
-=
2
()
2
2
a b
ab
+
-=
64
2
﹣2×2=28；
②当a+b=8，ab=﹣2时，
22
2
a b
ab
+
-=
2
()
2
2
a b
ab
+
-=
64
2
﹣2×（﹣2）=36；
故答案为28或36．
【点睛】
本题考查完全平方公式；分类讨论．。