云南省曲靖市第一中学2023届高三下学期教学质量监测试卷(五)数学含答案

曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）
数
学
命题：
审题：
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．
考试时间：120分钟；满分：150分．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合{}
{
}
2
R
12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣.则A B = （）
A.2,2⎤⎦
B.
2,2⎤⎦ C.2⎡-⎣ D.2⎡-⎣
2．已知复数z 在复平面内对应的点为）
，（21-Z ，则=z
z
（）A．34i 55
-
+B．34i 55-
-C．34
i 55+D．34i
55
-3．下列说法正确的是（）
A．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变
B．设具有线性相关关系的两个变量y x ,的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强
C．在一个2×2列联表中,由计算得2χ的值,则2χ的值越小,判断两个变量有关的把握越大D．若),1(~2σN X ,()2.02=>x P ，则()010.3
P X <<=4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇
环所对的圆心角为π
2
，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2=CD ，则该曲池的体积为（）
A．9π2
B．5πC．11π2D．10π
5.将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ω
π
个单位得到函数()y g x =的图象，
若()y g x =在[,64
ππ
-上为增函数，则ω的最大值为（）A.
32
B.2
C.3
D.
5
6．某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A．72种B．81种C．144种D．192种
7．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2
F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（）
2
B．3
56
8．设3.03-=e a ，6.0e b =， 1.6c =，则（）
A．a
b c <<B．b
a c <<C．c
a b <<D．a c b <<二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列选项中正确的是（）
A．若向量a ，b 为单位向量，27a b -= a 与向量b
的夹角为60°B．设向量()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，若,a b
共线，则2
±=x C．若()2,1-=a ，()1,4=b ，则a 在b 方向上的投影向量的坐标为8
2,1717⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
D．若平面向量,a b
满足22b a == ，则2a b - 的最大值是5
10．过点()10P -，
的直线l 与圆220:412C x y y +--=交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且7MN =）
A．AB 的最小值为211B．△ABC 55C．△ABC 面积的最大值为8
D．PN PM 625
-11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，
Q 为正方形11BB C C 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(
)
A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段
B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A P D
C.当且仅当点Q 落在1C 处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大
D.若16
2
D Q =
，那么点Q 的轨迹长度为24
12．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的)1,1(,-∈y x ，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫
--= ⎪-⎝⎭，
且112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（
）
A．()f x 是偶函数B．()00
f =C．当B A ,是锐角△ABC 的内角时，()()
A f
B f sin cos <D．当0n x >，且2
1112n n n x x x ++=，112
x =时，()1
2n n f x -=第II 卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若()()4
3
2340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则=
+++4321a a a a .
14.已知AB 是圆锥底面圆的直径，
圆锥的母线4PA AB ==，则此圆锥外接球的表面积
为
.
15.已知π0,,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
则函数()(1sin )(1cos )f x x x =++的最大值为
.
16.已知抛物线C ：()2
20x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，
且33AF BF ==，则p =；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称
轴与准线的交点，则
MN MF
的最大值为
.
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*
422n n n S a n N -=∈.
（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列；（2）求n S 2.
18．（12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,
sin cos A b A a c -=-．（1）求B ；
（2）若点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，且3AB =，2BD =，求BC 边的长度．
19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形，
13AB BC ==，点D 为棱AC 上的动点，平面1B BD 与棱11AC 交于点E ．
(1)求证1//BB DE ；
(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160A
AC ∠=︒，判断在线段AC 上是否存在点D 使得平面11ABB A 与平面1B BDE 所成的锐二面角为
3
π
，并说明理由.
20.（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30
人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校
中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且
在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优
秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23
，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
21．（12分）在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆()4
49
1:2
2
1=
++y x C 内切，且与圆()4
1
1:22
2=
+-y x C 外切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；
(2)设曲线C 的左、右两个顶点分别为1A ，2A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为曲线C 的左焦点，求证：FMN ∆的周长为定值．
22.（12分）已知函数x e x f ax -=)(（,e a R ∈为自然对数的底数），1ln )(++=bx x x g .(1)若1=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；
(3)若不等式()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对()+∞∈∀,0x ，[
)+∞∈∀,1a 恒成立，求实数b 的取值范
围.
曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）
数学参考答案
一、选择题题号123456789101112答案
B
A
D
D
B
D
C
A
BCD
ABD
ACD
BCD
1.【答案】B
【解析】因为{}{}
2R
12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣，
所以{
}{
}
2222
-<>
∈=>∈=x x R x x R x B 或，所以{}
|2A B x x =<≤ .
故选B
2.【答案】A
【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为(1,-2)，
所以12z i =-，则12i z =+，所以()()()2
12i 12i 34i 34i.12i 12i 12i 555
z z ++-+=
===-+--⨯+故选：A.
3．【答案】D
【详解】对于A,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,但平均数变化，故A 错误，
对于B,具有线性相关关系的两个变量x ,y 的相关系数为r ,则r 越接近于1,x 和y 之间的线性相关程度越强,故B 错误,
对于C,在一个22⨯列联表中,由计算得2χ的值,则2
χ的值越大,判断两个变量有关的把握越大,故C 错误,
对于D ，()
2
~1,X N σ ,
(01)(12)P X P X ∴<<=<<(1)(2)0.50.20.3P X P X =>->=-=.故D 正确.
4.【答案】D
【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，
弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，ππ
322
R r ∴
=⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，解得：1r =，3R =，
∴该曲池的体积221119ππππ510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫
=-⨯=-⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭.故选：D.5.【答案】B
【解析】函数π()2sin(0)3
f x x ωω=->的图象向左平移
3ω
π
个单位得到函数()y g x =
的图象，则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤
⎛⎫=+
-= ⎪⎢⎝
⎭⎣⎦
，又因为()y g x =在ππ
[,64
-上为增函数，
所以ππ62ω⎛⎫⋅-
≥- ⎪⎝⎭
，且ππ42ω⋅≤，解得：2ω≤，故ω的最大值为2.故选：B.
6．【答案】D
【详解】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为25
25A A 240=，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为24
24A A 48=，
由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.7.【答案】C 【详解】设:b
l y x a
=
，则点M 位于第四象限，由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=；设过点
2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan b
a α=
，cos a c
α∴=，12cos a
F F M c
∴∠=
；在12F F M △中，由余弦定理得：2
2
2
12
21
12122
cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，
即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.8.【答案】A
【详解】设()e 1x
f x x =--.
因为()e 1x
f x '=-，
所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+．所以()0.3
3e
30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，
又因为0.60.90.3e e e
13e 33
b a -==<<，所以b a <．综上可知，
c b a <<．
故选：A 二、多选题
9.【答案】BCD
【详解】A 选项，由()
2
27a b
-=
，以及||||1a b == ，可得1447a b +-⋅=
，
则1=||||cos ,2a b a b a b ⋅<>=- ，即1cos ,2
a b <>=- ，又,[0,180]a b <>∈ ，
所以夹角,=a b <>
120°．
对于B ，因为()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，且,a b
共线，
则()()1311x x ⨯=-+解得2x =±.所以B 正确.
C 选项，a 在b
方向上的投影向量为
282cos ,,171717b a b b a a b b b b b ⋅⎛⎫⨯=⨯==-=-- ⎪⎝⎭
，故C 正确，
对于D ，因为22b a ==
，所以2a b -
==
5==所以2a b -
的最大值是5，所以D 正确，
10.【答案】ABD
【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4r =()1,0P -在圆C
内，PC =设圆心C 到直线AB 的距离为d
，由题意得0d ≤≤
∵AB =
min AB ==，故A
正确；
11
22
ABC S AB d d =
⋅=⨯==△∵205d ≤≤，∴当25d =
时，()max ABC S =△，故B 正确C 错误，．取MN 的中点E ，则CE MN ⊥
，又MN =
3CE =，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．
因为2PM PN PE +=
，且min 33PE PC =-= ，
所以||PM PN +
的最小值为65-D 正确．
故选：ABD ．11．【答案】ACD
【解析】取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F 、、EF 、PF ，由PF ∥1BC ∥11A D 且PF ＝111BC A D =知11A PFD 是平行四边形，∴1D F ∥1A P ，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A
PD ，1D F ∥平面1A PD ，同理可得EF ∥平面1A PD ，
∵EF ∩1D F ＝F ，
∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF ，A 选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，
11,1,2P ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，()0,0,1D ，
设）z x Q ,1,(，1,0≤≤z x ，则()11,0,1A D =- ，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ ，()1,1,.
D Q x z =
设(),,m a b c
=为平面1A PD 的一个法向量，
则110,0.m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩得,.2a c c b =⎧⎪⎨=-⎪⎩
取1c =，则11,,12m ⎛⎫=-
⎪⎝⎭ .若1D Q ⊥平面1A PD ，则1D Q ∥m ，即存在R λ∈，使得1D Q m λ=
，则12x z λ
λλ
=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得
[]20,1x z ==-∉，故不存在点Q 使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；
1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的
体积最大.
12332
A Q m d x z m ⋅==+-
，①23≤
+z x ，()2
13
d x z =-+，则当0x z +=时，d 有最大值1；
②32x z +>
，()213d x z =+-，则当2x z +=时，d 有最大值13
；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；
11D C ⊥平面11BB C C ，111D C C Q ∴⊥
，
12D Q
，12C Q ∴=，Q
点的轨迹是半径为2
，圆心角为2π的圆弧，轨
迹长度为
4
，D 选项正确.故选：ACD.12．【答案】BCD
【详解】令x ＝0，则()()f y f y -=-，所以()f x 为奇函数，故A 错误．令x ＝y ＝0，得()00f =，故B 正确．
任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()2121121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭
．
因为()()1221121110x x x x x x +-=-+->，所以21121x x x x -<-，所以21
12
011x x x x -<
<-．
因为()0,1x ∈，()0f x >，所以211201x x f x x ⎛⎫
-> ⎪-⎝⎭
，()()12f x f x <，
即()f x 在()1,1-上单调递增．
因为A ，B 是锐角ABC 的内角，所以π2A B +>，所以π
2
A B >-，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
．
因为sin A ，()cos 0,1B ∈，所以()()A f B f sin cos <，故C 正确．
因为0n x >，且2
111
2n n n
x x x ++=，所以122(0,1)1n n n x x x +=∈+．
令y ＝－x ，则222()1x f x f x ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭，
令n x x =，则()()12
221n
n n n
x f x f f x x +⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
，所以()()12n n f x f x +=．
因为()11f x =，所以(){}n f x 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以()1
2n n f x -=，故D 正确．
故选：BCD 三、填空题13.34
【详解】依题意()()4
3
2340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0=x ，得90=a ，
令1x =，得43
012342343a a a a a ++++=+=.
故=+++4321a a a a 34
14.
16π
【详解】如图1所示，连接PO ，则222PO OB PB +=，解得2
PO =即2PO OB ==，此圆锥外接球的球心为O ，半径为2，表面积为24π216π
S =⨯=
15.3
2
+
【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，
2(sin cos )1
1sin cos 2
x x x x +-=+++
,
令πsin cos 4t x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭,
因为π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,
所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
,所以(
π4t x ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝⎭,
所以(
211
(),22
g t t t t =++∈,对称轴0
11t =-<,
所以211
()22
g t t t =
++在(
单调递增,
所以当0t =max 3
()2
g t g ==+
,
即当πsin 14x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.
故答案为:3
2
.
16．
3
2
【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 为2p
y kx =+，()()
1122,,,A x y B x y
联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪
⎩
消去x 得()
2222104p y k py -++=，可得2124p y y =∵33AF BF ==，则可得：21123
2p y p y ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得231224p p p ⎛
⎫⎛--= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =
过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1
sin MF
MD
MN MN MND
=
=
∠若
MN MF
取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切
2
3x y =，即2
3
x y =，则23y x
'=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()
2
0002
33x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得22
0023
433
x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪
⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4
MND ∠=则
1
sin MF
MD
MN MN MND
==
∠2
故答案为：
3
2
2四、解答题.
17．【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故1
11422n n n S a +++-=…②,()
*n N ∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.
整理可得112n n n a a -++=,即1
2n n b -=,()*n N ∈.
因为11222
n
n n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时,111422S a -=,解得11a =,又1
12n n n a a -++=,
)
()()()(2126543212n n n a a a a a a a a S ++++++++=- 1
2531-++++=n b b b b 4141--=n 3
1
4-=
n .18．【详解】（13sin cos b A b A a c -=-，由正弦定理，
3sin sin sin cos sin sin B A B A C A -+=，()3sin sin sin cos sin sin B A B A A B A -++=，3sin sin cos sin sin B A B A A +=．
因为sin 0A >3cos 1B B +=，即1sin 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
因为()0,B π∈，所以7,666B πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以56
6
B π
π+
=
，即23B π=．
（2）法一：因为点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，
所以2133BD BA BC =+ ，
所以22222141433999BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭
，
因为3AB =，2BD =，23
ABC π
∠=
，所以241414939992
BC BC =⨯+-⨯⨯⨯
，
即260BC BC -=
，解得6BC = ，即BC=6．
法二：由已知得DC=2AD,设x AD =，x DC 2=.∵BDC
ADB ∠-=∠π∴BDC
COS ADB COS ∠-=∠∴x x 22942⨯-+=x
a x 2224422⨯⨯-+-，即()
1622-=x a ………①
又∵
120=∠ABC ∴2
1329922-=⨯⨯-+a x a ，即()
19322=--+x a a ………②
由方程①②解得6=a ，即BC=6.
19．【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊄平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1//BB ∴平面11ACC A ，又1BB ⊂ 平面1B BD ，且平面1B BD 平面
11ACC A DE =，
1//BB DE ∴；
（2）连结1A C ，取AC 中点O ，连结1AO ，BO ，在菱形11ACC A
中，
160A AC ∠= ，
∴AC A 1∆是等边三角形，又O 为AC 中点，1A O AC ∴⊥，
平面ABC ⊥平面11ACC A ，
平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，1A O ∴⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，1A O OB ∴⊥，
又AB BC = ，BO AC ∴⊥，
以点O 为原点，1,,OB OC OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D,满足题意，设)0,0a D ，（()22≤≤-a ，
)0,00，（O ，()0,2,0A -
，(10,0,A ，()3,0,0B ，
()0,,3a BD -=
，(10,2,DE AA ==
，
设平面1B BDE 的一个法向量为),,(z y x n =，
则0
0n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，所以⎩⎨⎧=+=+-0
32203z y ay x
，令z =，则3=y ，a x =，
故)3,3,(-=a n ，
设平面11ABB A 的法向量为)
,,(111z y x m =()
32,2,01=AA ,()
0,2,3=AB ⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅001m AB m AA ,⎩⎨⎧=+=+0230
322y x z y ，令3-=y ，则2=x ，3=z ，故)3,3,2(-=m
，2
1
16
12122cos 2=
+-=
=
a a ，解2=a ，所以点D 在点C 的位置时，平面11ABB A 与平面1B BDE 所成锐角为
3
π
.由于D 不与A 、C 重合，故AC 上不存满足题意的点.20.【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学
校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B ，
则()26210C 1C 3
P A ==，()24210C 2
C 15P AB ==，
所以，()()()
25
P AB P B A P A =
=
.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X 的所有可能取值为0,1,2,3，
所以()0346310C C 2010C 1206P X ⋅====，()12
46
3
10C C 6011C 1202
P X ⋅====，()2146310C C 363
2C 12010P X ⋅====，()30
46310C C 413C 12030
P X ⋅====，
所以X 的分布列如下表：X
01
23
P
1612
310
130
所以()131623210305
E X =
+⨯+⨯=（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C ，则2
3
2
33
322220C 1C 33327P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由题意列式20827n ≥，得54
5
n ≥，因为*N n ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试
21【详解】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(),x y 由题意可知：圆1C 的圆心为()11,0C -，半径为
72
；圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1
2. 动圆P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切，
112122
7242
12PC R PC PC C C PC R ⎧=-⎪⎪∴⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩
∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，其中2
24,22,2,3a c a b ==∴==，从而轨迹E 的方程为：22
1
43
x y +=证明：（2）由题意可知1(2,0)A -，2(2,0)A ，(4T ，)(0)t t ≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，
如图所示，直线1AT 的方程为(2)6t y x =
+，直线2A T 的方程为(2)2t
y x =-，联立方程22
(2)6
14
3t y x x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(27)441080t x t x t +++-=，2124108227t x t -∴-⋅=+，即2
1254227t x t -=+，
则2112254218(2)(2)662727t t t t
y x t t -=+=+=++，
222
54218(,)2727t t
M t t -∴++，
联立方程22
(2)2
14
3t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(3)44120t x t x t +-+-=，∴22241223t x t -=+，即222
26
3t x t -=+，
则22222266(2)(2)2233t t t t
y x t t --=-=-=++，
2
2
26(
3t N t
-∴+，26)3t
t -+，2
222222
1866273542269
273MN t t
t t t k t t t t t +++
∴==-----
++，∴直线MN 的方程为2222
6626()393t t t y x t t t -+
=--+-+，即222666(1)999
t t t
y x x t t t =-+=-----，3t ≠±，
故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN ∆的周长为定值8，
当3t =±时，3(1,)2M ，3(1,)2N -或3(1,)2M -，3
(1,)2
N ，
MN ∴过焦点(1,0)，此时FMN ∆的周长为定值48a =，
综上所述，FMN ∆的周长为定值8．
22.【详解】（1）1=a ，x e x f x -=)(，1)(-='x e x f ，∴0)0(='f 又∵1)0(=f ，∴在))0(,0(f 处的切线方程为1=y .
（2） ()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，
e 0ax >，∴0,x >)(x
f 有两个零点即ln x
a x
=
有两个相异实根.令()ln x G x x =
，则()2
1ln x
G x x -'=， ()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,
x >
()G x ∴在
()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，
()max 1
()e e
G x G ∴==
，又()10,G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,
G x →)(x f 有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
；
（3） 1
,0a x ≥>，所以e e ax x x x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，
ln 1
e x x b x x
∴≤-
-对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1
e (0)x x F x x x x
=-
->，min (),b F x ∴≤()222
ln e ln e x x
x x x F x x x
+=+='令()()2e ln ,0,x h x x x x ∞
=+∈+，则()x 212e e 0,x
h x x x x
+'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，
又()1
20e
11e 0,e 1e 10e h h -⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭
，
01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭
使()00h x =，即0
200e ln 0x x x +=①，
当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减
当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，
()00min 000
ln 1
()e x x F x F x x x ∴==-
-由①知0
200e ln x
x x =-，
01
ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭
，
函数()e x x x ϕ=在()0,+∞单调递增，
00
1
ln
x x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000
111
()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,
b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.。