高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编及解析

【高中数学】数学《复数》高考复习知识点
一、选择题
1．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨
⎨-==-⎩⎩
，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D 选项.
2．已知i 是虚数单位，则
31i i +-=（ ） A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i 【答案】D
【解析】 试题分析：根据题意，由于
33124121112
i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A
B C ．2 D ．3
【答案】A
【解析】 ()
11z i i i =-=+，故z = A.
4．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且2z +=1y x -的最大值为（ ）
A B
C ．2+
D ．2【答案】C
【解析】
【分析】
根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x
-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最
值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.
【详解】
∵复数i z x y =+（x ，y ∈R
），且2z +=
=()2
223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+
=
化为2420k k
--=，解得2k =
∴
1y
x
-的最大值为2 故选:C.
【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
5．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A ．3
B ．3i -
C ．3i
D ．3-
【答案】D
【解析】
【分析】
首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】 由题意可得：()()()()
362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.
本题选择D 选项.
【点睛】
复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
6．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算法则求出11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定
a ，
b 的值，求出a +b ．
【详解】
()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．设3443i z i -=
+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i + 【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】 解：3443i z i
-=+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
8．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=
-+，则z (= )
A ．10
B
C ．5
D 【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)
=-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
9．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）
A ．13i +
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
【答案】C
【解析】
【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.
【详解】
由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
10．设i 是虚数单位，则复数
734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】 因为734i i ++(7)(34)2525=1(34)(34)
25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.
11．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】
()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
12．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若
231z i i =+-，则4z i +=（ ）
A ．6
B ．50
C ．
D 【答案】C
【解析】
【分析】
计算5z i =-，再代入计算得到答案.
【详解】
由231z i i
=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
13．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）
A ．5
B ．15
C ．25
D 【答案】D
【解析】
【分析】 化简得到1355
z i =
+，再计算复数模得到答案. 【详解】
(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++=
==-，∴1355z i =+，∴||z =. 故选：D .
【点睛】
本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.
14．设2i 2i 1i z =
++-，则复数z =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．2i +
D ．2i - 【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．
【详解】 由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=
++=++=+--+， 所以12i z =-．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
15．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）
A ．1
B C ．2 D 【答案】A
【解析】 分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求 1z i ++的最小值.
详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，
它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6，
所以点Z 的轨迹为线段AB,
因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离，
所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A
点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.
16．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，
4i i
e e π
π表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式计算
4i i
e e π
π，再根据复数几何意义确定象限.
【详解】
因为
4
22
44
i
i
e cos isin
i
cos isin
e
π
π
ππ
ππ
+
===-+
+
，所以对应点
22
-
（，，在第
二象限，选B.
【点睛】
本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.
17．已知i为虚数单位，,a b∈R，复数
1
2
i
i a bi
i
+
-=+
-
，则a bi
-=（）
A．
12
55
i
-B．
12
55
i
+C．
21
55
i
-D．
21
i
55
+
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的除法运算，可得
(1)(2)12
(2)(2)55
i i
i i
i i
a b i=
++
+-=-
-+
，即可求解a b i
-，得到答
案．
【详解】
由题意，复数
1
2
i
i a bi
i
+
-=+
-
，得
(1)(2)1312
(2)(2)555
i i
a b i=
i
i i i
i i
+++
+-=-=-
-+
，
所以
12
55
a b i=i
-+，故选B．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．已知两非零复数12
,z z，若
12
R
z z∈，则一定成立的是
A ．12R z z ∈
B ．12R z z ∈
C ．12R z z +∈
D ．12
R z z ∈ 【答案】D
【解析】
利用排除法： 当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()2
1212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i
+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，
本题选择D 选项.
19．在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】 ∵()112z i i +=-，∴()()()()
221211212213131111222i i i i i i i z i i i i i -----+--=====--++--，∴1322
z i =-+，故对应的点在第二象限．故选B ．
20．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32 【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点. 由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。