八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题测试提优卷

八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题测试提优卷
一、选择题
1．下列运算错误的是（ ）
A =
B ．=
C ．)216=
D ．)
223= 2．下列计算正确的是（ ）
A B C D
3．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞3
B ．x ＞－3
C ．x≥－3
D ．x≤－3 4．下列运算正确的是 （ ）
A ．3=
B =
C ．=
D =
5．化简 ）
A B C D
6．已知m 、n m ，n ）为（ ）
A ．（2，5）
B ．（8，20）
C ．（2，5），（8，20）
D ．以上都不是
7．2= ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 8．以下运算错误的是（ ）
A =
B ．2= C
D 2=a ＞0）
9．下列运算正确的是（ ）
A =
B ．(28-=
C 12=
D 1= 10．下列各式成立的是（ ）
A 2
B 5=-
C x
D 6=-
11．a 的值是（ ） A ．2 B ．-1 C ．3 D ．-1或3
12．化简（﹣3）2的结果是（ ）
A ．±3
B ．﹣3
C ．3
D ．9
二、填空题
13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
14．把31a
-根号外的因式移入根号内，得________ 15．若实数x ，y ，m 满足等式 ()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为
________．
16．若613x ，小数部分为y ，则(213)x y 的值是___.
17．已知实数m 、n 、p 满足等式
33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．
18．4102541025-+++=_______．
19．化简(32)(322)+-的结果为_________.
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c p ++=，那么三角形的面积()()()S p p a p b p c =---ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．计算及解方程组：
（11324-2-1-26
（） （2)2
62-153-2+ （3）解方程组：25103
2x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩ 【答案】（1）72102）-3107；（3）102x y =⎧⎨=⎩
． 【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1 （2
2+）
=34-
=7-
=7-
（3）251032x y x y x y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩
①② 由②得：50x y -= ③
②-③得： 10x =
把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨
=⎩
【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．像
2)＝1
＝a (a ≥0)、
﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因
+1
﹣1，
﹣
因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)
；
+；
(2)
(3)的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）（3）＜
【解析】
分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；
（3与
，然后比较即可.
，
详解：(1) 原式；
（2）原式=2+=2+
（3）根据题意，
-==，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
23．已知x=2，求代数式（7+x2+（2）x
【答案】2
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2）2=7﹣
则原式=（7﹣+（2
=49﹣
24．小明在解决问题：已知
2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵
=2
∴a﹣2=
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1
（2）若
，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）9；（2）5．
【解析】
试题分析：
（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得
1
===.
(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2
(1)
a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.
解：（1）原式=1)++
+⋯
（2）∵1
a===，
解法一：∵22
(1)11)2
a-=-=，
∴2212
a a
-+=，即221
a a
-=
∴原式=2
4(2)14115
a a
-+=⨯+=
解法二∴原式=2
4(211)1
a a
-+-+
2
4(1)3
a
=--
2
11)3
=--
4235
=⨯-=
点睛：（1
得22
=-=-
a b，去掉根号，实现分母有理
化.
（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.
25．观察下列等式：
1
==；
==
== 回答下列问题： （1
（2）计算：
【答案】（1（2）9
【分析】
（1）根据已知的31
=-n=22代入即可
求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．
【详解】
解：（1
= （2+
99+
=1100++-
=1
=10-1
=9.
26．-
10
【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可
【详解】
=
(
22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
=(
)212--
10+．
10．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
27．先化简，再求值：222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y
，其中x y ==． 【答案】原式x y x
-=-
，把x y ==
代入得，原式1=-. 【详解】
试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析： 222
2212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ()()()2
22=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭ =y x x y x x y
---⋅+ x y x
-=-
把x y =
=代入得：
原式1==-+考点：分式的化简求值．
28．计算下列各式：
（1
； （
2
【答案】（12 ；（2） 【分析】 先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式2=-
2=；
（2）原式=
=. 【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，
)
0,0a b =≥≥
=（a ≥0，b >0）.
29．已知x²+2xy+y²的值.
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到
x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x² +2xy+y² =(x+y)²，
∴当
∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.
30．化简求值：
212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．
【解析】
分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭
2112,211
x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=
⋅-+ 1.1
x =+
当1x =时，1
1x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得．
【详解】
A =，此项正确；
B 、=
C 、)
21516=+=+
D 、)
22743=-=，此项正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
2．A
解析：A
【解析】
分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.
详解： , 此选项正确;
≠此选项错误;
, 此选项错误;
，此选项错误.故选A.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
3．C
解析：C
【解析】
分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.
详解：根据题意得,x+3≥0,
解得x≥-3.
故选C.
点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键. 4．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
A、3
=，故选项A正确；
B B错误；
C、18
=，故选项C错误；
D=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．C
解析：C
【解析】
根据二次根式有意义的条件可知﹣1
x
＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
.
故选C．
6．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】
解：∵m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，
有一定的难度．
7．C
解析：C
【解析】
=，
2
2222
x x
=-=--+=
251510，
=.
5
故选C.
8．C
解析：C
【分析】
利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．
【详解】
A．原式=所以A选项的运算正确；
B．原式＝所以，B选项的运算正确；
C．原式==5，所以C选项的运算错误；
D．原式＝2，所以D选项的运算正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的
乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
9．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A A错误；
-=⨯=，选项B正确；
选项B，(2428
选项C
1
24
==，选项C错误；
选项D1，选项D错误．
综上，符合题意的只有选项B．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【详解】
解：，正确，故选项A符合题意；
=，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
||x
=，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. =，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解答此题的关键．11．C
解析：C
【分析】
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a2-3=2a
∴解得：a=3或a=-1
当a=-1时，该二次根式无意义，
故a=3
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.
12．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
原式＝3，
故选C ．
【点睛】
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
二、填空题
13．255
【解析】
解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255
【解析】
解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．
14．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
解析：
a 【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】 解：∵310a
-≥， ∴0a <，
∴===
故答案为：
a
．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．15．3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3
解析：3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：
3530
230
2
x y m
x y m
x y
+--=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪+=
⎩
，解得：x=1，y=1，m＝5
，∴==3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
16．3
【分析】
先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2,
y=,然后再代入计算即可求解.
【详解】
因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2,
解析：3
【分析】
先估算34<<,
再估算263<<,根据6
x ,小数部分为y ,可得: x =2,
y=4然后再代入计算即可求解.
【详解】
因为34<,
所以263<-<,
因为6
x ,小数部分为y ,
所以x =2,
y=4-,
所以(2x
y
=(
4416133=-=, 故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 17．5
【解析】
试题解析：由题可知，
∴，
∴，
∴，
①②得，，
解方程组得，
∴．
故答案为：5.
解析：5
【解析】
试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩
， ∴3m n +=，
0=，
∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②
， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，
解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩
， ∴4(1)5p m n =-=--=．
故答案为：5.
18．【分析】
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二
【分析】
t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则244
t=+
=+
8
=+
8
=+
81)
6
=+
2
1)
=
t
∴=．
1
．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
19．1
【分析】
根据平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.
解析：1
【分析】
根据平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=(223981-=-=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．
所以三角形的面积S ＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝2
a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝
2a b c ++＝4572++＝8．
所以三角形的面积S ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题
21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。