2009现代电路与系统7

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λ1<0<λ2时z1-z2平面上的相图，此时平衡点不稳定，轨道具 有双曲线形状，平衡点称为鞍点（saddle）。如果有λ1>0>λ2，
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z1 鞍点
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型
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中心
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 二阶线性电路平衡点的类型与系数矩阵特征值之间的关系见 前表。 当非线性方程的平衡点是双曲平衡点时，平衡点邻域内轨 道的性质与其对应线性化后的轨道性质定性相同，所以当线性 化后的平衡点分别为鞍点、稳定或不稳定结点和焦点时，原非 线性方程的平衡点也必将分别为鞍点、稳定或不稳定结点和焦 点。但当非线性方程的平衡点是非双曲平衡点，即线性化方程 系数矩阵的特征值具有零实部时，原平衡点的类型不定，其性 质由线性化方程中的高阶项r1,r2决定。非线性方程平衡点的类 型与线性化后平衡点类型的对应关系如下表所示：
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当特征值λ1＝λ2＝λ时，即若当型重根情况，这时z1-z2 平面和x1－x2平面上的轨道示于图。图中所示为λ<0的情 况，原点仍是平衡点且是稳定的。这种平衡点仍称为结点或拐 结点（inflected node）。如果λ>0，则轨道上的箭头应反 向。此时原点是不稳定的。
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型
线性方程的平衡点 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 非线性方程的平衡点 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定焦点 不稳定焦点 不确定
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 李雅普诺夫直接法的数学描述 设描述电路的微分方程为x’ =f(x),x 是一个列向量 ,xs=0 是其平衡点 ,x(t) 是偏离平衡点 xs 的任一轨道 , 而且轨道 上的起始点 x (to) 与 平衡点的偏离非常微小 , 并用 ||x(to)-xs|| 代表起始点 x(to) 到平衡点的距离。如果对于 任何给定的ε >0, 存在 δ( ε )>0, 使得对任何起始 点 xo=x(to), 只要距离 ||xo-xs||< δ , 且对所有的 t 都有 ||x (t)- xs||< ε成立 , 就称平衡点是按李雅普诺夫意义稳 定的。若还有 limx(t)=xs 成立 , 则称平衡点是按李雅普诺夫 意义渐近稳定的。如果 不存在 δ( ε ), 称平衡点为不稳定 的。
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第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型
对于共轭复特征值可能有3中情况出现，即特征值的实部 α>0，α<0，和α＝0。当α≠0时，z1-z2平面上的轨道或 者以螺旋型卷离平衡点，或者以螺旋型卷向平衡点。此时的平 衡点分别成为不稳定的焦点（focus）和稳定的焦点。
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 而另有： z （0）＝M－1 x0 M-1AM可能的形式不外乎以下几种： （c）共轭型
M－1 A M ＝
α
β
-β α
系统的特征值为 α+jβ 和 α- jβ 。
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系 统分析
3.非线性方程的线性化及 其平衡点类型 对于以上的3中情况又 可以细分为右表中的6种情 况。而在平面上画出其相 图分别为后面图所示。 表中没有列出一些特 殊情况，例如重特征值的 情况，以及有一个特征值 为零时的情况等等。
a b d -1 －λ ＝ 0 的解： 1 -1 0
A＝
1－λ -2
c
＝
-2
而 l = 1, m = −2, Δ = −9
λ1 , λ 2 =
1 ( l ± Δ 1 2 ) ，所以平衡点(-1,-1)是鞍点。 2
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
现代电路与系统
(七)
张陆勇
zh_luyong@ or lyzhang@
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参考书
《现代电路理论》 高等教育出版社 邱关源等 编著 《线性系统理论》 清华大学出版社 郑大钟 《Nonlinear System》 Pearson Education，Inc. Publishing as Prentice Hall. Hassan K. Khalil 《电路中的混沌与故障诊断》国防工业出版社 马红光 韩崇昭 《人工神经网络与模拟进化计算》清华大学出版社 阎平凡 张长水
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 例6－2 试确定下列非线性微分方程组的平衡点的类型：
x& y& = = x x −
2
y − 1
解： 此方程的平衡点为(1,1)和(-1,-1)。 先在平衡点(1,1)临近求出线性化方程，设：
x y = = 1 1 + +
A的特征值 平衡点的类型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 不稳定焦点 稳定焦点 中心
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λ1，λ2为实数， λ1<0, λ2<0 λ1，λ2为实数， λ1>0, λ2>0 λ1，λ2为实数， λ1λ2<0 λ1，λ2为共轭复 数，Reλ1>0 λ1，λ2为共轭复 数，Reλ1<0 λ1，λ2为虚数
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现代电路与系统
第六讲
第五章 非线性电阻电路分析
1.非线性电阻电路的基本概念：非线性电阻电路方 程是非线性代数方程，工作点，转移特性图。 2.分段线性化方法：用有限段直线来近似代替非线 性元件的伏安特性的方法。 3.相空间、轨道、平衡点。
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3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 李雅普诺夫直接法 当非线性电路的平衡点是非双曲平衡点 , 即其对应线 性化后的矩阵 A 的特征值至少有一个是零实部时 , 平衡点 的稳定性可采用李雅普诺夫 直接法 (Liapunov direct method) 判定。李雅普诺夫直接法是一种不需要对方程进行 求解就可以判定平衡点稳定与否的定性方法。用李雅普诺夫 直接法进行判断所确定的稳定性称为李雅普诺夫意义下的稳 定性。
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 李雅普诺夫直接法的物理意义
非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 而另有： z （0）＝M－1 x0 M-1AM可能的形式不外乎以下三种： （a）对角型
M－1 A M ＝
λ1 0 0 λ2
其中λ1 和λ2 均为实数，可能为正或负，不一定相等。
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A＝
1－λ 2
c
＝
2
而 l = 1, m = 2, Δ = −7
λ1 , λ 2 =
1 ( l ± Δ 1 2 ) ，所以平衡点(1,1)是不稳定的焦点。 2
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 例6－2 试确定下列非线性微分方程组的平衡点的类型：
非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
3.非线性方程的线性化及其平衡点类型 而另有： z （0）＝M－1 x0 M-1AM可能的形式不外乎以下几种： （b）若当型
M－1 A M ＝
λ
1
0 λ
其中λ为重复的实根。
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非线性电路系统分析
第六章 非线性电路系统分析
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Final grade
Quiz (50%):
Multiple choice questions Open questions
Home assignment (50%)
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稳定结点
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