中考综合复习专题讲座等积变换剖析
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已知：如图，以矩形ABCD的顶点A为顶点， 以AD为角平分线作两射线，分别与BC与 CD的延长线交于点E和F，连结EF。
求证：S. AEF S矩形ABCD
F
A
D
B
C
E
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又如四中这次提招中有这么一道题, △ABC,D为BC中 点过点D向AB,AC作垂线.BE=2,CF=1,EF//BC.求EF
N
P C
第14页/共28页
如图，在△ABC 中， AB AC ，M ，N 分别是 AB ， AC 的 中点，D ，E 为 BC 上的点，连结 DN ，EM ．若 AB 13cm ， BC 10cm， DE 5cm，则图中阴影部分的面积为
cm2 ．
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例5四边形 A B C D, A B = 3 0 , A D = 4 8 , B C = 1 4 , C D = 4 0 . 又
等积变换的基本原理：
等底等高的两个三角形面积相等。
不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的 比
等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比
等积变换的基本图形
A
C
D
O
B
D
CA
B
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等积变换的基本图形
第2页/共28页
题较快 地得到解答。
例1.用三种方法把任意一个三角形分成四 个面积相等的三角形。
• （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, • ①用m的代数式表示点P的坐标； • ②当m为何值时，线段PB最短； • （3）当线段PB最短时，相应的抛物线 • 上是否存在点Q，使△ PMA 的面积与 • △QMA的面积相等，若存在，请求出 • 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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五.用等积变换来分割拼图
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感谢您的观赏！
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• 连A ,D.由等积关系易知DF=2DE • 设DE=x,则DF=2x • 由勾股定理易得 • X=1 • 从而得到EF的 • 平方为5,算出EF.
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已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，
则有结论： 理由：过点
P
作
ESFP垂BC
直
S
B
CPA，C
分 S别P交CD
A
D
。
、BC
C
D
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例4有一块
形状如图的耕地，
D
E
C
兄弟四人要把它
分成四等份，请
A
B
你设计一种方案
把它分成所需要
的份数．
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二.用等积变换比大小
• 比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的 面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。
• 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点。求△AEF是平行四边形的几分之几？ 所有空白部分占整个平行四 边形面积的分数求出来了, 于是阴影部分△AEF的面积 所占的分数便是
于
E
、
F
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当点P分别在图2、图3中的位置时，上面三 个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写 出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一 种情况的猜想给予证明．
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（丽水08）.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 （2，4），直线X=2与X轴相交于点B，连结OA，抛物线 Y=X2从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于P点，顶点M 到点A时停止移动 （1）求线段OA所在直线的函数解析式；
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• 例2.如图△ ABC，过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。你能过AB边上 一点E作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？
A E
B
C
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（西城08一模）如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC且ABDC.设AD=a,BC=b.过AD 中点和BC的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积分成面积相等的两部分.请你再设 计一种方法:
A
D
M
N
B
C
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如图任意四边形 ABCD 中，M,N,P,Q 分别是各边中点。已知中间
四边形 A' B'C ' D' 的面积是 x ，阴影部分的面积之和是 y ，求 y
与 x 的函数关系式。
两个白色的四边形 ANCQ、BPDM的面积 相等，故有y=x
A M B
D Q
D'
A' x
C' B'
• 直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与之面积相等的矩形 ？任意的三角形呢？
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用等积变换来分割拼图
•
对任意四边形，你能设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形
面积相等的矩形吗？
①③ ②
④ ⑥
⑤
③
②
⑥
④ ①
⑤
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用等积变换来分割拼图
• 分割图形的应用很多。如下图，大家应该非常熟悉了，在此不在赘述。
因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如图． 图中有∠ECA=110度, 所以∠CED=110度.易证∠CDA=40度.
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四. 用等积变换证题
• 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG是 AB边上的高。证明：CG=DE＋DF。
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例2如图，已知，正方形ABCD的边长是a， 正方形CEFG 的边长为b，且点B、C、E在 一条直线上.连结AG、GE、AE，求
S AGE
G
F
A
D
B
C
E
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• 例3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。如果四边形ABCD 的面积是20，那么BNDM的面积是多少？
已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面积．
如 下 图 , 以 B D 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 L , 做 △ A B D 关 于 L 的 对 称 图 形 △ B D. 连 接 C ．
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如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相 等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出 过程．
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例2.如图任意ABCD. 求四边形EFGH与ABCD面积之比.
• 连结E、D和B、D，
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三.用等积变换求面积
用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。 它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目 转化为熟悉、简单的题目。 例1如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积
这道题可以直接解答，也可以把两 个阴影部分集中，连结AC，因为AB 平行于DC，所以△DAE的面积=△CAE 的面积，两个阴影部分的面积就换 成一个△ CAB的面积了。
只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并 简要说明你的分割方法.
A
过梯形中位线中点且与 上下底相交的任意直线
B
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D C
例3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所 需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
A B
已知：如图，以矩形ABCD的顶点A为顶点， 以AD为角平分线作两射线，分别与BC与 CD的延长线交于点E和F，连结EF。
求证：S. AEF S矩形ABCD
F
A
D
B
C
E
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又如四中这次提招中有这么一道题, △ABC,D为BC中 点过点D向AB,AC作垂线.BE=2,CF=1,EF//BC.求EF
N
P C
第14页/共28页
如图，在△ABC 中， AB AC ，M ，N 分别是 AB ， AC 的 中点，D ，E 为 BC 上的点，连结 DN ，EM ．若 AB 13cm ， BC 10cm， DE 5cm，则图中阴影部分的面积为
cm2 ．
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例5四边形 A B C D, A B = 3 0 , A D = 4 8 , B C = 1 4 , C D = 4 0 . 又
等积变换的基本原理：
等底等高的两个三角形面积相等。
不等底但等高的两个三角形面积的比等于底边的 比
等底但不等高的两个三角形面积的比等于高的比
等积变换的基本图形
A
C
D
O
B
D
CA
B
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等积变换的基本图形
第2页/共28页
题较快 地得到解答。
例1.用三种方法把任意一个三角形分成四 个面积相等的三角形。
• （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, • ①用m的代数式表示点P的坐标； • ②当m为何值时，线段PB最短； • （3）当线段PB最短时，相应的抛物线 • 上是否存在点Q，使△ PMA 的面积与 • △QMA的面积相等，若存在，请求出 • 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第23页/共28页
五.用等积变换来分割拼图
第26页/共28页
第27页/共28页
感谢您的观赏！
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• 连A ,D.由等积关系易知DF=2DE • 设DE=x,则DF=2x • 由勾股定理易得 • X=1 • 从而得到EF的 • 平方为5,算出EF.
第20页/共28页
已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，
则有结论： 理由：过点
P
作
ESFP垂BC
直
S
B
CPA，C
分 S别P交CD
A
D
。
、BC
C
D
第6页/共28页
例4有一块
形状如图的耕地，
D
E
C
兄弟四人要把它
分成四等份，请
A
B
你设计一种方案
把它分成所需要
的份数．
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第8页/共28页
二.用等积变换比大小
• 比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的 面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。
• 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点。求△AEF是平行四边形的几分之几？ 所有空白部分占整个平行四 边形面积的分数求出来了, 于是阴影部分△AEF的面积 所占的分数便是
于
E
、
F
第21页/共28页
当点P分别在图2、图3中的位置时，上面三 个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写 出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一 种情况的猜想给予证明．
第22页/共28页
（丽水08）.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 （2，4），直线X=2与X轴相交于点B，连结OA，抛物线 Y=X2从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于P点，顶点M 到点A时停止移动 （1）求线段OA所在直线的函数解析式；
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• 例2.如图△ ABC，过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。你能过AB边上 一点E作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？
A E
B
C
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（西城08一模）如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC且ABDC.设AD=a,BC=b.过AD 中点和BC的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积分成面积相等的两部分.请你再设 计一种方法:
A
D
M
N
B
C
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如图任意四边形 ABCD 中，M,N,P,Q 分别是各边中点。已知中间
四边形 A' B'C ' D' 的面积是 x ，阴影部分的面积之和是 y ，求 y
与 x 的函数关系式。
两个白色的四边形 ANCQ、BPDM的面积 相等，故有y=x
A M B
D Q
D'
A' x
C' B'
• 直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与之面积相等的矩形 ？任意的三角形呢？
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用等积变换来分割拼图
•
对任意四边形，你能设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形
面积相等的矩形吗？
①③ ②
④ ⑥
⑤
③
②
⑥
④ ①
⑤
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用等积变换来分割拼图
• 分割图形的应用很多。如下图，大家应该非常熟悉了，在此不在赘述。
因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如图． 图中有∠ECA=110度, 所以∠CED=110度.易证∠CDA=40度.
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四. 用等积变换证题
• 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG是 AB边上的高。证明：CG=DE＋DF。
第11页/共28页
例2如图，已知，正方形ABCD的边长是a， 正方形CEFG 的边长为b，且点B、C、E在 一条直线上.连结AG、GE、AE，求
S AGE
G
F
A
D
B
C
E
第12页/共28页
• 例3.如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。如果四边形ABCD 的面积是20，那么BNDM的面积是多少？
已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面积．
如 下 图 , 以 B D 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 L , 做 △ A B D 关 于 L 的 对 称 图 形 △ B D. 连 接 C ．
第16页/共28页
如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相 等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出 过程．
第9页/共28页
例2.如图任意ABCD. 求四边形EFGH与ABCD面积之比.
• 连结E、D和B、D，
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三.用等积变换求面积
用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。 它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目 转化为熟悉、简单的题目。 例1如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积
这道题可以直接解答，也可以把两 个阴影部分集中，连结AC，因为AB 平行于DC，所以△DAE的面积=△CAE 的面积，两个阴影部分的面积就换 成一个△ CAB的面积了。
只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并 简要说明你的分割方法.
A
过梯形中位线中点且与 上下底相交的任意直线
B
第5页/共28页
D C
例3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所 需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
A B