1.1.1分类计数与分步计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
分类计数原理和分步计数原理
拓展应用：离散数学、计算机科学
离散数学
分类计数和分步计数原理在离散数学中被广泛应用 于组合问题、图论、递归和算法等领域。
计算机科学
分类计数和分步计数原理在计算机科学中被用于解 决计算复杂性、优化问题和算法设计等。
总结和应用建议
分类计数原理和分步计数原理是数学和计算机科学中重要的计数方法。了解 它们的定义、应用和联系，可以帮助我们解决各种计数问题。
2 区别
分类计数原理是将问题分为不同的分类进行计数，而分步计数原理是将问题分解为多个 步骤进行计数。
实例应用：组合、排列、二项式定理等
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
组合
通过分类计数，可以计算出从给定集合
排列
2
中选择不同元素的组合数。
使用分步计数，可以计算出在给定元素
集合中选择和排序元素的排列数。
3
二项式定理
通过应用分步计数原理，可以推导出二 项式定理，用于展开二次方和三次方的 多项式。
分类计数原理的定义和应用
分类计数原理是一种通过将问题分成不同分类的方式来计数。它在组合数学、离散数学和计算机科学中被广泛 应用。
分步计数原理的定义和应用
分步计数原理是一种通过将问题分解为多个步骤来计数的方法。它通常在组合数学和排列问题中使用。
分类计数原理和分步计数原理的联系 和区别
1 联系
两种原理都可以用于解决计数问题，但是采用不同的分解方式。
分类计数原理和分步计数 原理
本演示将介绍分类计数原理和分步计数原理。了解基本概念、定义、应用、 联系和区别，并深入探讨实例应用以及拓展领域。最后进行总结和应用建议。
基本概念
分类计数原理
通过将问题分解为各个独立分类，然后对每个 分类进行计数，得到最终的计数结果。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法 ，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。
特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法 故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。
例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
分类计数原理和分步计数原理
分步计数原理的核心思想是“分步”，即根据事件的某些特征将 其分成不同的步骤，然后分别计算每一步中的方法数，最后将这 些方法数相乘得到复杂事件的总方法数。
两者关系与区别
关系
分类计数原理和分步计数原理都是解决复杂事件计数问题的方法，它们的核心思想都是将复杂事件进行分解，然 后分别进行计算。
04 计数原理在算法中的应 用
动态规划算法
最优子结构
动态规划算法通过把原问题分解为若干个子问题，并求解子 问题的最优解，进而得到原问题的最优解。这种通过子问题 的最优解来推导原问题最优解的方法体现了分类计数原理的 思想。
状态转移方程
动态规划算法中，通常定义一个状态转移方程来描述子问题 之间的关系。这个方程可以帮助我们计算出每个子问题的最 优解，并最终得到原问题的最优解。状态转移方程的构建和 求解过程体现了分步计数原理的思想。
路线规划问题
从起点到终点需要经过三个城市，每两个城市之间都有多 条路线可选。根据加法原理和乘法原理，可以计算出从起 点到终点所有可能的路线组合数。
彩票选号问题
一张彩票需要选择7个号码，每个号码可以是1~49中的任 意一个。根据乘法原理，共有 $49 times 48 times 47 times 46 times 45 times 44 times 43 $ 种不同的选号方 式。
组合问题
排列与组合的区别
排列是把元素按顺序排列，而组合是 把元素无顺序地组合起来。
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n）的所有排列的个数，叫做从n 个元素中取出m个元素的组合数。
概率统计问题
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相 等，则事件A发生的概率等于事件 A包含的样本点个数与样本空间包
分类计数原理、分步计数原理
分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。
2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。
一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。
在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。
2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。
3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。
分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。
二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。
（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。
解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。
（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。
根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。
即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理在组合数学中，分类计数原理和分步计数原理是最基本的计数原理，它们可以被广泛用于不同的数学和科学领域。
在下文中，我将对这两种原理作出详细解释和讲解，并展示它们如何应用于实际问题。
一、分类计数原理分类计数原理被用于解决一个问题的情况下，将其分为几个子问题，并计算每个子问题的解的数量，然后相加得到问题的总体解决方案。
注重的是，这些子问题应该互不重叠且要考虑清楚它们之间的关系。
例如，我们考虑有一个小学班级，有20位学生，他们的血型各不相同。
计算共有多少种血型组合。
我们可以将这个问题分为4个子问题，代表着不同的血型类型。
对于每个子问题，我们可以使用排列或者组合的方法来计算该血型的数量，然后将每一个子问题的数量相加。
这样，我们就可以得到总体的解决方案。
二、分步计数原理分步计数原理是一种解决复杂问题的方法，它涉及到一个问题的解决过程中很多步骤。
即将一个复杂问题分解成若干个容易解决的子问题，并计算这些子问题的解后，将这些解组合在一起，得到该问题的总体解决方案。
例如，考虑一个盒子里包含5个白色球和3个黑色球。
现在要从盒子里取出两个球，重复取球，求得到的颜色组合。
第一步，从盒子里选取任意一个球，有8种可能性。
第二步，将该球放回盒子中，再次从盒子中取出一个球。
这个步骤中，所选的球可能是白色或者黑色，因此共有2种可能性。
这样，共有8×2=16种可能性。
其中，白球配对的组合有5×4=20个组合，黑球配对的组合有3×2=6个组合。
所以，总共的组合数为20+6=26种可能性。
三、分类计数原理与分步计数原理的应用分类计数原理和分步计数原理这两种计数原理可用于许多学科领域，如数论，几何学，统计学等。
下面是一些典型的应用示例：1. 在密码学中，分类计数原理和分步计数原理被用来设计可靠的密码系统，防止信息泄露。
2. 在机器学习中，使用分类计数原理和分步计数原理来构建决策树，以区分不同的数据集群。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时精品教案(平行班)
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课题】：1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】：（1）知识与技能理解分类加法原理和分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单问题.（2）过程与方法通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，提高学生综合、归纳的能力.（3）情感、态度与价值观培养学生数学来源于实践并指导实践的思想意识，通过实例分析培养学生学习数学的兴趣【教学重点】归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
【教学难点】正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”【教法、学法设计】启发引导式【课前准备】Powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、引入1师提出问题1：从广州到海口,可以乘火车,也可以乘汽车.假设一天中,火车有3班,汽车有4班,那么一天中乘坐这些交通工具从广州到海口共有多少种不同的走法?师：（启发学生回答后，作补充说明）因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有4种走法，每种走法都可以完成由广州到海口这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3+4=7师：在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.师：对于分类计数原理，我们应注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.设置问题情境，引出分类计数问题，激发学生的求知欲。
排列组合知识点和例题
排列组合知识点和例题1．分类计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3++nM种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·nM种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元．．．．．．素的一个排列.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从nm个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.其中n，m∈N，并且m≤n．m排列数公式:Ann(n1)(nm1)n!(m≤n,n,mN)(nm)!当m=n时，排列称为全排列，排列数为n=n(n1)An21记为n!,且规定O!=1.mm1注：nn!(n1)!n!;AnnAn14.组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示.mAn!组合数公式:Cnn(n1)(nm1).Amm!m!(nm)!mmnm规定Cn1，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.组合数的两个性质:①Cmn因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法Cnmn;从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，是一一对应的，因此是一样多的.②Cm1nmCmnCn1根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cn种，依分类原理有Cmm1mmnCnCn1.m1n，如果不取这一元素，则常年授课开设班型：一对一和4-8人小班1业精于勤而荒于嬉行成于思而毁于随5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法;②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有AnnAmm种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理与分步计数原理在概率统计中，分类计数原理和分步计数原理是两种常用的计数方法，它们在解决排列组合和概率计算问题时起着重要的作用。
本文将分别介绍这两种计数原理的概念、应用和区别。
分类计数原理是指将一个复杂的问题分解成若干个简单的子问题，通过计算每个子问题的解的个数，再将它们相加得到最终结果的计数方法。
这种方法在解决排列组合问题时特别有效。
例如，求一个集合中所有满足某种条件的子集个数，就可以通过分类计数原理将问题分解成若干个子问题，然后分别计算每个子问题的解的个数，最后将它们相加得到最终结果。
分步计数原理是指将一个复杂的问题分解成若干个步骤，通过计算每个步骤的解的个数，再将它们相乘得到最终结果的计数方法。
这种方法在解决排列组合问题时同样非常有用。
例如，求一个事件发生的总次数，就可以通过分步计数原理将问题分解成若干个步骤，然后分别计算每个步骤的解的个数，最后将它们相乘得到最终结果。
分类计数原理和分步计数原理在解决问题时各有优势。
分类计数原理适用于将复杂问题分解成简单子问题的情况，而分步计数原理适用于将复杂问题分解成若干步骤的情况。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择使用分类计数原理或分步计数原理，以便更快更准确地解决问题。
需要注意的是，分类计数原理和分步计数原理并不是互斥的，有时候我们也可以将它们结合起来使用。
在解决某些复杂问题时，结合使用这两种计数原理可以更好地拆解问题，从而更高效地求解。
总之，分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合和概率计算问题时常用的计数方法，它们在实际问题中具有重要的应用价值。
通过灵活运用这两种计数原理，我们可以更好地解决各种复杂的计数问题，提高问题求解的效率和准确性。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事有
N＝m1 · m2· …· mn 种不同的方法．原理的核心是每一个步 ________________ 骤都依次完成后，这件事情才能完成． 例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层 有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人
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且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，
在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好
分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方 法，必属于某一类且仅属于某一类．
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变 式 迁 移
1．(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学
为数学科代表，则不同选法的种数有( A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 (2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完 成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中 选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( A．12种 B．32种 C．24种 D．64种 )
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高三(3)
31
20
51
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同 的选法？ (2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学 生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选 法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选 法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选
)
A．8个 B．9个 C．10个 D．12个
变 式 训 练
解析：根据分步乘法计数原理，得不同的值
分类计数原理与分步计数原理的区别
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分类计数原理和分步计数原理
应用这两个原理的关键是看完成这件 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名， 从该班选出学生代表参加校学代会。 （1)若学校分配给该班1名代表，有多少种 不同的选法？ （ 2） 若学校分配给该班2名代表，且男女生代表 各1名，有多少种不同的选法？
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？ A
B
A
B （ 2）
（ 1）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1 个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数 字中的一个。这样的密码共有多少个？
N m1 m2 mn
种不同的方法。分类计数原理又 Nhomakorabea为加法原理。
问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
这个问题与前一个问题有什么区别？
在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的 任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这 个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤，才能从甲地到乙地．
4、（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8 个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可 组成多少个不同的三位数？
（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、 2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在 一起，共有多少个不同的三位数？ 5、自然数2520有多少个正约数？ 6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
分类计数与分步计数原理
数据分析与决策
在数据分析中，分类计数原理可以帮助我们将数据按照不 同的特征进行分类，例如按照销售渠道、客户类型、产品 类别等进行分类，然后对每个类别的数据进行统计和分析 ，以了解不同类别的特点和差异。
分步计数原理则可以帮助我们将整个数据分析过程分解为 若干个步骤，例如数据收集、清洗、整理、分析和可视化 等，然后对每个步骤进行详细规划，确保每个步骤都能按 时完成，最终为决策提供准确的数据用
生产计划制定
生产计划制定过程中，企业可以根据分类计数原理，将生产 任务按照产品类型、生产流程、生产阶段等进行分类，然后 分别计算每个类别所需的时间、资源和成本，从而制定出合 理的生产计划。
在实际执行过程中，企业可以根据分步计数原理，将整个生 产过程分解为若干个步骤，然后对每个步骤进行详细规划， 确保每个步骤都能按时完成，最终实现整个生产计划的顺利 完成。
解
根据分类计数原理，我们可以将 问题分解为三个步骤：先选择3 名学生组成一个小组，再从剩下 的7名学生中选择3名学生组成另 一个小组，最后从剩下的4名学 生中选择2名学生组成第三个小 组。第一个步骤有C(10,3)种方法 ，第二个步骤有C(7,3)种方法， 第三个步骤有C(4,2)种方法。因
02 分步计数原理
03 分类计数与分步计数原理 的比较
差异点分析
基本概念
适用场景
实例对比分析
分类计数原理（加法原理）强调将问 题分成不重叠、互斥的n类，然后分 别对每类进行计数，最后累加得到总 数。而分步计数原理（乘法原理）则 是将问题分成连续的步骤，每一步都 有若干种选择，然后根据步骤顺序， 将每一步的选择数相乘得到总数。
01
02
03
组合数学问题
分步计数原理在组合数学 中有着广泛的应用，例如 排列组合、二项式定理等。
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例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？ 例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同 的电话号码? 分析:
05798415 分析:
10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040
分析:
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
在解题有时既要分类又要分步。
区别三
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
丙地 丁地
2.如图,该电
则方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 可表示不同的圆的 个数有多少？
课堂练习
5、已知二次函数 y ax
2Hale Waihona Puke bx c. 若a, b, c {3, 2,0,1, 2,3}. 则可以得到多少个
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
字母
数字
1 2 3 4
得到的号码
A1 A2
A3
A4
A
5
6
A5
A6
7
树形图 8
A7
A8
9
A9
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北 A村 北 B村 C村
中
南 南
从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的 方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
联系
区别一
区别二
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
N＝4 ×3×2＝24
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？
课堂练习
1、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？ 2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每 人1本，有多少种不同的分法？
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不 同的投法？ 4、已知 a {3, 4,6}, b {1, 2,7,8}, r {8,9}
根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个阿 拉伯数字，以A1，A2，· · · ，B 1，B2，· · · 的 方式给教室里的座位编号，总共能编出 多少个不同的号码？
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且 它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的 号码。
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。
1.1.1分类计数原理
与分步计数原理
思考？
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？
26+10=36
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。