江苏省泰兴市实验初中重点名校2024届中考数学最后一模试卷含解析

江苏省泰兴市实验初中重点名校2024年中考数学最后一模试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，在,//ABC DE BC ∆中，,D E 分别在边,AB AC 边上，已知13AD DB =，则DE BC 的值为（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．25
2．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．144︒
3．2016的相反数是（ ）
A ．12016-
B ．12016
C ．2016-
D ．2016
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2233π-
B ．2233π
C ．233π-
D 233
π
5．下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；
②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=
2
2
．其中正确的结论有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( ) A．B．C．D．
8．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )
A．左、右两个几何体的主视图相同
B．左、右两个几何体的左视图相同
C．左、右两个几何体的俯视图不相同
D．左、右两个几何体的三视图不相同
9．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
A ．（0，43）
B ．（0，53）
C ．（0，2）
D ．（0，103
） 10．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．
A ．众数是6吨
B ．平均数是5吨
C ．中位数是5吨
D ．方差是
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．函数2y x +＝﹣的图象不经过第__________象限.
12．如图，一束光线从点A (3，3)出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B (1，0)，则光线从点A 到点B 经过的路径长为_____．
13．分解因式39a a -=________，221218x x -+=__________．
14．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．
15．如图，▱ABCD 中，M 、N 是BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 于点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，以
下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=9
2EMN S；
④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．
其中一定正确的是_____．
16．如图，四边形OABC中，AB∥OC，边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，点
D为AB的中点，CD与OB相交于点E，若△BDE、△OCE的面积分别为1和9，反比例函数y=k
x
的图象经过点B，
则k=_______.
17．如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝40°，则∠2＝_____°．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）某校为选拔一名选手参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，经研究，按图所示的项目和权数对选拔赛参赛选手进行考评（因排版原因统计图不完整）．下表是李明、张华在选拔赛中的得分情况：
项目
选手
服装普通话主题演讲技巧
李明85 70 80 85
张华90 75 75 80
结合以上信息，回答下列问题：求服装项目的权数及普通话项目对应扇形的圆心角大小；求李明在选拔赛中四个项目
所得分数的众数和中位数；根据你所学的知识，帮助学校在李明、张华两人中选择一人参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，并说明理由．
19．（5分）如图，AB 是O 的直径，AF 是O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为点E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，已知CD 23=，BE 1=．
()1求AD 的长； ()2求证：FC 是O 的切线．
20．（8分）如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x ＞0，0＜m ＜n ）的图象上，对角线BD ∥y 轴，且BD ⊥AC 于点P ．已知点B 的横坐标为1．
（1）当m=1，n=20时． ①若点P 的纵坐标为2，求直线AB 的函数表达式．
②若点P 是BD 的中点，试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m ，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，连接BE ，点F 为BE 上一点，连接AF ，∠AFE=∠D ．
（1）求证：∠BAF=∠CBE；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=4
5
．求证：AF=BF．
22．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O直径AB异侧的两点，AC=DC，过点C与⊙O相切的直线CF交弦DB的延长线于点E．
（1）试判断直线DE与CF的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，AB=4，求CD的长．
23．（12分）已知线段a及如图形状的图案.
（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）
（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.
24．（14分）已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．
（1）如图1，求证：BD CD
；
（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解题分析】
根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质解答．【题目详解】
解：∵
1
3 AD
DB
=，
∴
1
4 AD
AB
=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
1
4 DE AD
BC AB
==，
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
2、C
【解题分析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【题目详解】
∵五边形ABCDE为正五边形
∴()1552180108ABC C ∠=∠=
-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(832
6)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解
题的关键．
3、C
【解题分析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：2016的相反数是-2016.
故选C.
4、B
【解题分析】
阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．
【题目详解】
由旋转可知AD=BD ，
∵∠ACB=90°
∴CD=BD ，
∵CB=CD ，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=23π
3
AC=2，
∴阴影部分的面积2
602360
π⨯23π. 故答案选：B.
【题目点拨】
本题考查的知识点是旋转的性质及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质及扇形面积的计算. 5、D
【解题分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【题目详解】
A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D ．
【题目点拨】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6、A
【解题分析】
①正确．只要证明∠EAC =∠ACB ，∠ABC =∠AFE =90°即可；
②正确．由AD ∥BC ，推出△AEF ∽△CBF ，推出
AE BC =AF CF ，由AE =12AD =12BC ，推出AF CF =12，即CF =2AF ； ③正确．只要证明DM 垂直平分CF ，即可证明；
④正确．设AE =a ，AB =b ，则AD =2a ，由△BAE ∽△ADC ，有
b a =2a b ，即b a ，可得tan ∠CAD =CD AD =2b a =2． 【题目详解】
如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ．
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =BC ，∴∠EAC =∠ACB ．
∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠ABC =∠AFE =90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；
∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴
AE BC =AF CF ． ∵AE =12AD =12BC ，∴AF CF =12
，∴CF =2AF ，故②正确； ∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM =DE =
12BC ，∴BM =CM ，∴CN =NF ． ∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF =DC ，故③正确；
设AE =a ，AB =b ，则AD =2a ，由△BAE ∽△ADC ，有
b a =2a b ，即b ，∴tan ∠CAD =CD AD =2b a =2
．故④正确．
故选A ．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
7、C
【解题分析】
A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C．
8、B
【解题分析】
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【题目详解】
A、左、右两个几何体的主视图为：
，
故此选项错误；
B、左、右两个几何体的左视图为：
，
故此选项正确；
C、左、右两个几何体的俯视图为：
，
故此选项错误；
D、由以上可得，此选项错误；
故选B．
【题目点拨】
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
9、B
【解题分析】
解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小．∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB．∵A的坐标为（﹣4，5），∴A′（4，5），B（﹣4，0）．
∵D是OB的中点，∴D（﹣2，0）．
设直线DA′的解析式为y=kx+b，∴
54
02
k b
k b
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
，∴
5
6
5
3
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，∴直线DA′的解析式为
55
63
y x
=+．当x=0时，y=
5
3
，
∴E（0，5
3
）．故选B．
10、C
【解题分析】
试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，
故选C
考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、三.
【解题分析】
先根据一次函数212y x k b +＝﹣中＝﹣，
＝判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论. 【题目详解】
解：∵一次函数2y x +＝﹣中1020k b ＝﹣＜，＝＞，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三.
【题目点拨】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数0y kx b k +≠＝（）中，当0k ＜，0b ＞时，函数图象经过一、二、四象限.
12、2
【解题分析】
延长AC 交x 轴于B′．根据光的反射原理，点B 、B′关于y 轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A 点坐标，运用勾股定理求解．
【题目详解】
解：如图所示，
延长AC 交x 轴于B′．则点B 、B′关于y 轴对称，CB=CB′．作AD ⊥x 轴于D 点．则AD=3，DB′=3+1=1． 由勾股定理AB′=2
∴AC+CB = AC+CB′= AB′=2．即光线从点A 到点B 经过的路径长为2．
考点：解直角三角形的应用
点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键
13、(3)(3)a a a +- 22(3)x -
【解题分析】
此题考查因式分解
329(9)(3)(3),a a a a a a a -=-=+-222212182(69)2(3)x x x x x -+=-+=-
答案
点评：利用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式
14、（3
2
，2）．
【解题分析】
解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x，则AE=4-x，
在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，
∴（4-x）2+22=x2，
∴x=5
2
，
∴BE=ED=5
2
，AE=AD-ED=
3
2
，
∴点E坐标（3
2
，2）．
故答案为：（3
2
，2）．
【题目点拨】
本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．
15、①③④
【解题分析】
由M、N是BD的三等分点，得到DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到BE=AB，故①正确；根据相似三角形的性质得到=，求得DF=BE，于是得到DF=AB=CD，求得CF=3DF，故②错误；根据已知条件得到S△BEM=S△EMN=S△CBE，求得=，于是得到S△ECF=，故③正确；根据线段垂直平分线的性质得到EB=EN，根据等腰三角形的性质得到∠ENB=∠EBN，等量代换得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正确．
【题目详解】
解：∵•ƒM、N是BD的三等分点，∴DN=NM=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴，
∴BE=CD，
∴BE=AB，故①正确；
∵AB∥CD，
∴△DFN∽△BEN，
∴=，
∴DF=BE，
∴DF=AB=CD，
∴CF=3DF，故②错误；
∵BM=MN，CM=2EM，
∴△BEM=S△EMN=S△CBE，
∵BE=CD，CF=CD，
∴=，
∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，
∴S△ECF=，故③正确；
∵BM=NM，EM⊥BD，
∴EB=EN，
∴∠ENB=∠EBN，
∵CD∥AB，
∴∠ABN=∠CDB，
∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，
∴△DFN是等腰三角形，故④正确；
故答案为①③④．
【题目点拨】
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
16、16
【解题分析】
根据题意得S△BDE：S△OCE=1:9，故BD：OC=1:3，设D（a,b）则A(a,0),B(a,2b)，得C(0,3b)，由S△OCE=9得ab=8，故可得解.
【题目详解】
解：设D（a,b）则A(a,0),B(a,2b)
∵S△BDE：S△OCE=1:9
∴BD：OC=1:3
∴C(0,3b)
∴△COE高是OA的3
4
，
∴S△OCE=3ba×3
4
1
2
=9
解得ab=8
k=a×2b=2ab=2×8=16
故答案为16.
【题目点拨】
此题利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．
17、1
【解题分析】
试题解析：如图，
∵a∥b，∠3=40°，
∴∠4=∠3=40°．
∵∠1=∠2+∠4=110°，
∴∠2=110°-∠4=110°-40°=1°．
故答案为：1．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）服装项目的权数是10%，普通话项目对应扇形的圆心角是72°；（2）众数是85，中位数是82.5；（3）选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛，理由见解析.
【解题分析】
（1）根据扇形图用1减去其它项目的权重可求得服装项目的权重，用360度乘以普通话项目的权重即可求得普通话项目对应扇形的圆心角大小；
（2）根据统计表中的数据可以求得李明在选拔赛中四个项目所得分数的众数和中位数；
（3）根据统计图和统计表中的数据可以分别计算出李明和张华的成绩，然后比较大小，即可解答本题．
【题目详解】
（1）服装项目的权数是：1﹣20%﹣30%﹣40%=10%，
普通话项目对应扇形的圆心角是：360°×20%=72°；
（2）明在选拔赛中四个项目所得分数的众数是85，中位数是：（80+85）÷2=82.5；
（3）李明得分为：85×10%+70×20%+80×30%+85×40%=80.5，
张华得分为：90×10%+75×20%+75×30%+80×40%=78.5，
∵80.5＞78.5，
∴李明的演讲成绩好，
故选择李明参加“美丽邵阳，我为家乡做代言”主题演讲比赛．
【题目点拨】
本题考查了扇形统计图、中位数、众数、加权平均数，明确题意，结合统计表和统计图找出所求问题需要的条件，运用数形结合的思想进行解答是解题的关键．
（2）证明见解析.
19、（1）AD3
【解题分析】
（1）首先连接OD ，由垂径定理，可求得DE 的长，又由勾股定理，可求得半径OD 的长，然后由勾股定理求得AD 的长；
（2）连接OF 、OC ，先证明四边形AFCD 是菱形，易证得△AFO ≌△CFO ，继而可证得FC 是⊙O 的切线．
【题目详解】
证明：()1连接OD ，
AB 是O 的直径，CD AB ⊥，
11CE DE CD 23322
∴==
=⨯=， 设OD x =， BE 1=，
OE x 1∴=-，
在Rt ODE 中，222OD OE DE =+，
222x (x 1)3)∴=-+，
解得：x 2=，
OA OD 2∴==，OE 1=，
AE 3∴=，
在Rt AED 中，2222AD AE DE 3(3)23=+=+=
()2连接OF 、OC ， AF 是O 切线，
AF AB ∴⊥，
CD AB ⊥，
AF//CD ∴，
CF//AD ，
∴四边形FADC 是平行四边形，
AB CD ⊥
AC AD ∴=
AD CD ∴=，
∴平行四边形FADC 是菱形
FA FC ∴=，
FAC FCA ∠∠∴=，
AO CO =，
OAC OCA ∠∠∴=，
FAC OAC FCA OCA ∠∠∠∠∴+=+，
即OCF OAF 90∠∠==，
即OC FC ⊥，
点C 在O 上，
FC ∴是O 的切线．
【题目点拨】
此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
20、（1）①直线AB 的解析式为y=﹣x+3；理由见解析；②四边形ABCD 是菱形，（2）四边形ABCD 能是正方形，理由见解析.
【解题分析】分析：（1）①先确定出点A ，B 坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D 坐标，进而确定出点P 坐标，进而求出PA ，PC ，即可得出结论；
（2）先确定出B （1，），进而得出A （1-t ，+t ），即：（1-t ）（+t ）=m ，即可得出点D （1，8-），即可得出结论． 详解：（1）①如图1，
∵m=1，
∴反比例函数为y=，当x=1时，y=1，∴B（1，1），
当y=2时，
∴2=，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=-x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，
由①知，B（1，1），
∵BD∥y轴，
∴D（1，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（1，3），
当y=3时，由y=得，x=，
由y=得，x=，
∴PA=1-=，PC=-1=，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=1时，y==，
∴B（1，），
∴A（1-t，+t），
∴（1-t）（+t）=m，
∴t=1-，
∴点D的纵坐标为+2t=+2（1-）=8-，
∴D（1，8-），
∴1（8-）=n，
∴m+n=2．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
21、（1）见解析；（2）5
【解题分析】
（1）根据相似三角形的判定，易证△ABF∽△BEC，从而可以证明∠BAF=∠CBE成立；
（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长
【题目详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，
∴∠C=∠AFB ，
∴△ABF ∽△BEC ，
∴∠BAF=∠CBE ；
（2）∵AE ⊥DC ，AD=5，AB=8，sin ∠D=45， ∴AE=4，DE=3 ∴EC=5 ∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt △ABE 中，根据勾股定理得：BE=22AE AB 45+=
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF ∽△BEC ，
∴ AF BC =AB AE =BF EC
即 5AF =845=5
BF 解得：AF=BF=25
【题目点拨】
本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
22、 (1)见解析；（2）
43
π. 【解题分析】
（1）先证明△OAC ≌△ODC ，得出∠1=∠2，则∠2=∠4，故OC ∥DE ，即可证得DE ⊥CF ；
（2）根据OA=OC 得到∠2=∠3=30°，故∠COD=120°，再根据弧长公式计算即可.
【题目详解】
解：（1）DE ⊥CF ．
理由如下：
∵CF 为切线，
∴OC ⊥CF ，
∵CA=CD ，OA=OD ，OC=OC ，
∴△OAC ≌△ODC ，
∴∠1=∠2，
而∠A=∠4，
∴∠2=∠4，
∴OC∥DE，
∴DE⊥CF；（2）∵OA=OC，∴∠1=∠A=30°，∴∠2=∠3=30°，∴∠COD=120°，
∴
12024
1803
CD
l
ππ
⨯
==．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质与弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与弧长的公式.
23、（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为183
【解题分析】
试题分析：
（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.
试题解析：
（1）所作图形如下图所示：
（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，
∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，
∴BE=OB·cos30°=33，OE=3，
∴AB=63，
∴CD=23，
∴S△OCD=1
233=33
2
⨯⨯，
∴S阴影=6S△OC D=183.
24、（1）证明见解析；（1）证明见解析；（3）1.
【解题分析】
（1）连接OB、OC、OD，根据圆心角与圆周角的性质得∠BOD=1∠BAD，∠COD=1∠CAD，又AD平分∠BAC，得∠BOD=∠COD，再根据圆周角相等所对的弧相等得出结论.
（1）过点O作OM⊥AD于点M，又一组角相等，再根据平行线的性质得出对应边成比例，进而得出结论；
（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA，BC为⊙O直径，则∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四边形CFEG是矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根据邻补角与余角的性质可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根据直角三角形的三角函数计算出边的长，根据“角角边”证明出△HBO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而得出结论.
【题目详解】
（1）如图1，连接OB、OC、OD，
∵∠BAD和∠BOD是BD所对的圆周角和圆心角，∠CAD和∠COD是CD所对的圆周角和圆心角，∴∠BOD=1∠BAD，∠COD=1∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，
∴BD=CD；
（1）如图1，过点O作OM⊥AD于点M，
∴∠OMA=90°，AM=DM，
∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，
∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，
∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，
∴OM∥BE，OM∥CF，
∴BE∥OM∥CF，
∴OC FM OB EM
=，
∵OB=OC，
∴OC FM
OB EM
==1，
∴FM=EM，
∴AM﹣FM=DM﹣EM，
∴DE=AF；
（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°，∠G=90°，
∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EG=CF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=1
2
×90°=45°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，
∴AE=BE，AF=CF，
在Rt△ACF中，∠AFC=90°，
∴sin∠CAF=CF
AC
，即sin45°=
2
CF
，
∴CF=1×2
2
∴2，
∴2，
∴2，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，
∴AB=
32
cos452
AE
=
︒，
∵AE=BE，OA=OB，
∴EH垂直平分AB，
∴BH=EH=3，
∵∠OHB=∠BAC，∠ABC=∠ABC ∴△HBO∽△ABC，
∴
2
6 HO AC
HB AB
==，
∴OH=1，
∴OE=EH﹣OH=3﹣1=1．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点.。