概率论与数理统计全概率和贝叶斯公式

n
例1 对以往数据分析结果表
良好时 , 产品的合格率为 时 , 机器调整良好的概率为 早上第一件产品是合格 概率是多少 ?
明 , 当机器调整得
98 % , 而当机器发生某 95 % .试求已知某日
种故障时 , 其合格率为 55 % . 每天早上机器开动 品时 , 机器调整得良好的
解 设 A 为事件 “产品合格” ,
乘法公式
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
全概率公式
P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn )
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B j )P(B j )

0 .98 0 .95 0 .98 0 . 95 0 .55 0 .05
0 . 97 .
即当生产出第一件产品 整良好的概率为 0 . 97 .
是合格品时 , 此时机器调
先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.
P ( B1 ) 0 .3 , P ( B 2 ) 0 .5 , P ( B 3 ) 0 .2 ,
P ( A B1 ) 0 . 02 , P ( A B 2 ) 0 . 01 , P ( A B 3 ) 0 . 01 , 故 P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B 3 ) P ( B 3 )
全概率公式
借助于韦恩图的理解
证明
A AS A ( B 1 B 2 B n ) AB 1 AB 2 AB n .
由 B i B j ( AB i )( AB j )
P ( A ) P ( AB 1 ) P ( AB 2 ) P ( AB n )
生活中的贝叶斯公式
工厂车间次品的来源判断 体育比赛结果的推断 伊索语言故事 一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他喊： “狼来了”，山上的村民上山打狼，狼没来。第 二天仍是如此。第三天，狼真的来了，可无论小 孩怎么喊，没有村民救他。为什么？

分析：村民对小孩的可信度是如何下降的？
思考题：
按照以往考试结果分析，努力学习的学生有 90％考试及格；不努力学习的学生有90％考试 不及格。据调查，有90％的人是努力学习的。 问：（1）考试及格的学生中有多大是不努力 学习的？ （2）考试不及格的学生中有多大是努力学习的？
四、小结
1.条件概率 P ( B A)
P ( AB ) P ( A)
的样本空间为设试验定理贝叶斯公式贝叶斯资料编辑ppt证明概率是多少机器调整得良好的早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得机器调整良好为事件编辑ppt上题中概率095是由以往的数据分析得到的做先验概率
§3.2 全概率公式
则 称 B1 , B 2 , , B n 为 样 本 空 间 S 的 一 个 划 分 .
B2
B3
B1
B n 1 B n
样本空间划分的简单理解：
(i) (ii) 样 本 空 间 S 由 B1 , B 2 , , B n 组 成 ； 每 次 试 验 中 ， B1 , B 2 , , B n 有 且 只 有 一 个 发 生 。
B 为事件 “机器调整良好” .
则有
P ( A B ) 0 . 98 , P ( A B ) 0 . 55 ,
P ( B ) 0 . 95 ,
P ( B ) 0 . 05 ,
由贝叶斯公式得所求概率为
P ( B A) P ( A B )P (B ) P ( A B )P (B ) P ( A B )P (B )
设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 B i 为 “ 任取一件为 i 厂的产品 ” , i 1 , 2 , 3 .
B1 B 2 B 3 S ,
Bi B j , i , j 1, 2 , 3 .
30% 2%
1%
1% 20%
50%
S
由全概率公式得
P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B 3 ) P ( B 3 ).

引例：有朋友从远方来，情形如下：
迟到概率1/4； 迟到概率1/3; 迟到概率1/12; 迟到概率0
乘火车概率3/10 乘船的概率1/5 乘汽车概率1/10 乘飞机概率2/5 问：朋友迟到的概率多大？
复杂问题
全概率公式
简单化
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为 试 验 E的 样 本 空 间 , B1 , B 2 , , B n 为 (i) (ii) Bi B j , i j , i , j 1, 2, , n ; B1 B 2 B n S . E 的一组事件,若
n
, i 1, 2 , , n .
P ( A B j )P (B )
j 1
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A )

P ( Bi A ) P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi ) ,
i 1, 2 , , n .
P ( A B j )P (B j )
j 1
对照引例，给出样本空间的划分
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B 1 , B 2 , , B n 为 S 的一个划分 , 且 P ( B i ) 0 ( i 1 , 2 , , n ), 则 P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A Bn ) P ( Bn )
P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B n ) P ( B n ).
图示
B2
B1
A
B3
B n 1
化整为零 各个击破
Bn
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少? 解
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
§3.2 贝叶斯公式
全概率公式：原因
结果 原因呢？
问题：结果
贝叶斯公式
3. 贝叶斯公式
定理 设试验 E 的样本空间为
贝叶斯资料
S . A 为 E 的事件 , B 1
B 2 , , B n 为 S 的一个划分 , 且 P ( A ) 0 , P ( B i ) 0 , ( i 1 , 2 , , n ), 则 P ( Bi A ) P ( A Bi ) P ( Bi )
j 1
n
, i 1, 2,, n