202401海淀区高二数学参考答案(评标)

海淀区高二年级练习
数学参考答案 2024.01
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）A （3）C （4）B （5）C （6）B （7）D （8）C （9）D （10）A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） （11）2y x =或2y x =- （12）异面 （13）210x y -+= （14）2268
（15）①③④ （答案中若含有②，0分；①③④中只含一个，2分；①③④中只含两个3
分；①③④，4分）
三、解答题（本大题共4小题，共40分） （16）（本小题10分）
解：（Ⅰ）20C （，）， ---------------------------------------------2分
2r =； ---------------------------------------------4分
（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离
1d =
=，--------------------------7分
AB ===.----------------------------------10分 （17）（本小题10分） 解：（Ⅰ）由题设可得
12
p
=，即2p =，--------------------------------------2分 所以抛物线C 的方程为24x y =.------------------------------------3分 （Ⅱ）由已知可得':6l y kx =+，-----------------------------------------4分
由24,
6
x y y kx ⎧=⎨=+⎩消y 得24240x kx --=，------------------------------5分
设'l 与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，
则0∆>，12124,24x x k x x +==-，----------------------------------7分
||MN ==分
=
=
=分 由||24MN =化简整理得427300k k +-=， 解得223,10k k ==-（舍）
所以k =分 （18）（本小题10分） 解：（Ⅰ）因为AD BC ∥，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE 所以//AD 平面BCE .------------------------2分 因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点,M N ， 所以//AD MN .------------------------------4分 （Ⅱ）因为AE ⊥平面ABCD ，
AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以AE AB ⊥，AE AD ⊥. 又因为AB AD ⊥.
如图，建立空间直角坐标系A xyz -，------------------------------5分 则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，
所以(0,2,1),(2,2,2)ED EC =-=-，(2,2,0),(0,0,1)BE AD =-=--------6分 设BM BE λ=，[]0,1λ∈.
则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=- 设平面AND 即平面AMND 的法向量为(,,)x y z =m ，
则0,0,AD AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,(22)20,z x y λλ=⎧⎨-+=⎩
令x λ=，则1y λ=-，于是(,1,0)λλ=-m .-----------------------7分
设平面END 即平面ECD 的法向量为(',',')x y z =n ，
则0,0,ED EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2''0,2'2'2'0,y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩
令'1y =，则'2,'1z x ==-，于是(1,1,2)=-n .----------------------8分
所以，cos ,||||⋅<>=
=⋅m n m n m n 分
所以，cos ,[<>∈m n .
由(,1,0)λλ=-m ，(1,1,2)=-n 的方向判断可得π,θ=-<>m n ， 所以，当12λ=
时，cos θ的最大值为3
3
.------------------------10分
（19）（本小题10分）
解：（I ）由题设，2222,
1
,2,
a c a a
b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩------------------------------------------2分 解得1c =， --------------------------------------------3分
23b =，
所以椭圆方程为22
143
x y +
=.-------------------------------------4分 （II ）由题意得，直线PA 为()0
022
y y x x =
++， -------------------------5分 代入x t =，得()0
022
C t y y x +=
+.
因为直线PB 为()0
022
y y x x =
--， 同理可得()002,2t y D t x ⎛-⎫
⎪-⎝⎭
. -------6分
由CH PB ⊥得直线CH :
()()00
00
222
t y x y x t x y +--
=-+，-----------------7分
代入0y =，得()202024
H
t y x t x +=+
-，--------------------------------8分
由()00,P x y 在椭圆E 上，得22
00143x y +=，整理得()
2020344
x y -=，---9分
所以()36244H t x t t -=-
+=
，从而可得6,04t H -⎛⎫
⎪⎝⎭
. 图1
x
y H
G D
C
A
O
B
P
所以()()0000223636,,4242t y t y t t HC HD x x ⎛+⎫⎛-⎫++⋅=⋅ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()222
020
436164t y t x -+=+- ()
()2
2343616
4
t t -+=
-
()2
361216
t -=-
+.
综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12. ----------------------10分 备注：
以上评分标准供大家评阅试卷参考，与评标不同的解法可以按评标采分点相对应给分。