分布函数、均匀分布、指数分布函数

7:45 等时刻，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求 他候车时间少于5 分钟的概率.
解： 依题意，
X ～ U (0 ,30)
即
f
(
x)
1 30
,
0,
0 x 30 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10
到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站
当 时, 当 时, 当 时,
特别,令
第二章
第五、六节 连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量的定义
二、常用的连续型随机变量
一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负
函数 f x x , ，使对任意实数
x有
则称 X为连续型随机变量，称 数，简称概率密度或密度函数。
P{X 2} P{X 2},
利用f
(x)
1 5
,1
x
6
4 5
0,其它
从而
P{X 2}
f (x)dx
61 dx 4 .
2
25
5
同理P{X 2} 0.
2、 指数分布
定义：若随机变量X 的概率密度为：
f
x
e x
0
x0 x0
其中 ( 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为
的
指数分布。 指数分布的分布函数为
均匀分布的概率背景
因为
cl
P{c X c l} f (x)dx
c
cl
1 dx
l
c ba ba
由此可得，如果随机变量 X 服从区间
[a, b]上的均匀
分布，则随机变量 X 在区间
[a, b]上的任一子区间上取
值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的
位置无关。
例1. 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,
F(x) P{X 0} P{X 1} 1 1 1 36 2
当x 2时
F(x) P{X 0} P{X 1} P{X 2} 1
所以，
一般地，设离散型随机变量
X 的分布律为
P{X xk} pk ,k 1, 2, 3,
由概率的可列可加性得
X 的分布函数为
F x P{X x} pk P{X xk }
xk x
xk x
离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；
P{X xk} F (xk ) F (xk 0)
1
2
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数
为
0 x 3
1
Fx
10
2
5
1
3 x4 4 x5 x5
求 X 的分布律。
解 X 的可能取值为 3，4，5。
PX 3 F 3 F 3 0 1
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
f (x)
1 0ab x
4、密度函数f (x)的意义： 反映了随机变量 X在点x 处的密集程度。 在等长度的区间上，f的值越大，说明X在该区间内 落点的可能性越大。
f (x)
1 0ab x
例1. 设 X 的密度函数为 f (x)
f
(x)
二、常用的连续型随机变量
1、均匀分布 定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0,
其它
则称 X 服从 [a, b]上的均匀分布，
记作： X ～ U [a, b]
0,
分布函数为:
F(x)
x
f
(t)dt
x a
b
a
,
1,
x a， a x b，
x b.
f (x)为 X 的概率密度函
对于连续型随机变量的分布函数F ( x)必是连续函数. f (x)可积 F(x)连续
2. 概率密度的性质
⑴ 非负性 f (x) 0
⑵ f (x)dx＝1 由于 F () f (x)dx＝1 (3) f (x)在点x 处连续，则 f (x) F(x)
10
0 x 3
1
Fx
10
2
5
1
3 x 4 4 x5 x5
PX 4 F 4 F 4 0 2 1 3
5 10 10
PX 5 F 5 F 4 1 2 3
55
所以 X 的分布律为
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：
0 x 0,
(1)P{X 2} 3e3xdx e6 2
2 PX 3.5 X 1.5
P{X 3.5, X 1.5}
3e3xdx
3.5
P{X 1.5}
3e3xdx 1.5
e6
由⑴、⑵结果得：
指数分布具有无记忆性，即
PX s t X s PX t (t 0)
感谢下 载
三、离散型分布函数的求法
一、分布函数的概念
定义1
设 X 是一个随机变量，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 是任意实数，则称函数
( x )
为X 的分布函数。
分布函数
x
F x 的函数值的含义：
表示 X 落在
(, x] 上的概率.
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。
(1) P{x1 X x2}
(2) P{x1 X x2}
fxpxxdxae设的分布函数求常数ab及概率密度函数f二常用的连续型随机变量定义若连续型随机变量服从ab上的均匀分布因为由此可得如果随机变量服从区间上的均匀分布则随机变量x在区间上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比而与该子区间的位置无关
第02章
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质
F
x
1
0 e
x
x0 x0
例3 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)
X 服从参数为
的指数分布。若等待时间超过10
分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y
表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y
的分布律及至少有一次没有等到服务的概率
解 Y是离散型， Y ~ b(5, p) ，其中 p P{X 10}
A 1 B1
2
2
所以 F x 1 arctan x 1
2
例2. 已知随机变量X 的分布律为
求分布函数
F ( x)
解: F(x) P{X x}
X 0 12
pk
1 3
11 62
当 x 时,0 {X x} F(x) 0
当 0 x 时1, 当 1 x时, 2
F(x) P{X x} P{X 0} 1 3
求 A的值，
解：
f (x)dx
Ae3xdx
0
A( 1)e3x 3
0
A 1 3
A 3.
1
1
1
3 f (x)dx
3 3e3xdx
0
e3x
3 0
1 e1.
例3、 及概率密度函数 f (x)。
解：
求常数 a,b,
例4、 解：
，求A , B 及 f (x)。
注： F(x) f (x)的方法.
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
例2、 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元
二次方程 t 2 X t 1 0 有实根的概率。
解 因为当 X 2 4 0 时，方程有实根，故所求 概率为 P{X 2 4 0} P{(X 2) ( X 2)}
同理，还可以写出
P{X x1} P{X x1}
二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性：
，则
⑵ 0 F (x) 1 ，且
⑶ 右连续性： 上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数 的充要条件。
例1 已知 Fx Aarctan x B ，求 A、 B。
解
F A B 0
2
F A B 1
2
1 x2 ,
1 x 1
0, 其它
解： F(x) PX x
x
f (t)dt
当x 1时, F(x) 0
求 F(x).
当1 x 1时,
F(x)
1
0 dt
x2
1 t 2 dt
1
x 1 x2 1 arcsin x 1
2
当 x 1, F(x) 1
例2、
设连续型随机变量 X的概率密度为
现在 X 的概率密度为
1/ 5ex /5 x 0 f (x)
0 x 0,
.电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布 例4
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2 年的概率为多少？
解 由已知得 X 的概率密度为
3e3x x 0 f (x)