广东省百校联考2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析

广东省百校联考2024届数学高一下期末统考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =，2DN NC =，设
MN AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）
A ．
56
B ．56
-
C ．
16
D ．16
-
2．在ABC ∆中，已知1tan 2A =，cos B =
.若ABC ∆，则最短边长为（ ）
A
B C D ．3．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．
a b
b a
+的最小值为2 D ．
2a b
b a
+> 4．已知0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m n
t mn
+≤恒成立，则t 的最大值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
5． 数列{a n }的通项公式是
a n ＝(n ＋2)910n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，那么在此数
列中( )
A ．a 7＝a 8最大
B ．a 8＝a 9最大
C ．有唯一项
a 8最大 D ．有唯一项
a 7最大
6．已知直线1: 10l x m y ++=，2:10l x y --=，若12l l ⊥，则m =（ ）
A ．2
B ．1-
C ．±1
D ．1
7．某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示，执行如图程序框图，若输入的
i a (1,2,
,20i =)分别为这20名学生的考试成绩，则输出的结果为( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
8．如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在河岸边选定一点，测出
的距离为
，
，
后，就可以计算、两点的距离为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”
的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）
A ．2800
B ．3000
C ．3200
D ．3400
10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )
A ．
160
3
B ．160
C ．
256
3
D ．64
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．正项等比数列{}n a 中，11a =，32a =，则公比q =__________．
12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对
称.若6
sin 3
α=
，则()cos αβ-=________. 13．在等差数列{}n a 中，若171321a a a ++=，则{}n a 的前13项之和等于______. 14．已知数列{}n a ，1011023
a =
，且
()
*1121n n n N a a +=+∈，则12a a -=________． 15．已知向量a 、b 满足|a |＝2，且b 与b a -的夹角等于
6
π
，则|b |的最大值为_____．
16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则三棱锥11B A C C -的体积为______. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．在平面直角坐标系
中，
已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆22
2:(4)(5)4C x y -+-=.
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23， 求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足： 存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ， 它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C
截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标． 18．如图，四面体ABCD 中，,O E 分别是,BD BC 的中点，2AB AD ==
，
2CA CB CD BD ====.
（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求三棱锥D ACE -的体积．
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点. （1）求点P 的坐标；
（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程.
20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c ，sin sin 2sin sin b B c C b C a A += （1）求A ；
（2）若60,2,B a ︒==求,b c ．
21．已知向量2
3sin
,12x a ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，(2,3sin b x =，函数()f x a b =⋅．
（1）若()f x =，求x 的取值集合；
（2）当02
x π
<<
时，不等式()sin 2f x x ≥恒成立，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得1
3
DE DC =，在AB 上取点F ，使得2
3
AF AB =
，由图中几何关系可得到()
11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫
=
=+=-+ ⎪⎝⎭
，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案． 【题目详解】
画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得1
3
DE DC =，在AB 上取点F ，使得2
3
AF AB =
，则()
11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB AD ⎛⎫
=
==+=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 故13λ=-
，12μ=，则56
λμ-=-.
【题目点拨】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题． 2、A 【解题分析】 试题分析：由
，
，解得
，同理，由310
cos 10
B =
，，解得
，在三角形中，
，由此可得
，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.
考点：正弦定理. 3、D 【解题分析】
由0a b >>，根据不等式乘方性质可判断A 不成立；由指数函数单调性可判断B 不成立；由基本不等式可判断C 不成立，D 成立． 【题目详解】
对于A ,若0a b >>，则有22a b >，故A 不成立；
对于B ,根据指数函数单调性，函数12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，1122b a
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不成立；
对于C ,由基本不等式2a b b
a
+
≥，a=b 取得最小值，由0a b >>不能取得最小值，故C
不成立； 则D 能成立.
故选：D . 【题目点拨】
本题考查基本不等式、不等式的基本性质，考查不等式性质的应用，属于基础题. 4、C 【解题分析】 因为不等式2m n t mn
+≤
恒成立，所以只求得
2m n
mn + 的最小值即可，结合21m n +=，用“1”的代换求其最小值. 【题目详解】
因为0m >，0n >，21m n +=，若不等式2m n
t mn
+≤
恒成立， 令y
=
212124(2)448+⎛⎫=+=+⨯+=++≥+= ⎪⎝⎭m n m n m n mn n m n m n m ， 当且仅当
4m n
n m = 且21m n +=即11,24
m n ==时，取等号 所以min 8y = 所以8t ≤ 故t 的最大值为1． 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5、A 【解题分析】
n a =(n+2)⎛⎫
⎪⎝⎭
n 910，()1
19310n n a n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以1310
29n n a n a n ++=⨯+， 令1
1n n
a a +≥，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大．
本题选择A 选项.
6、D 【解题分析】
当1l 为110A x B y C ++=,2l 为220A x B y D ++=,若12l l ⊥,则12120A A B B +=,由此求解即可 【题目详解】
由题,因为12l l ⊥,所以10m -=,即1m =, 故选:D 【题目点拨】
本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题 7、A 【解题分析】
首先判断程序框图的功能，然后从茎叶图数出相应人数，从而得到答案. 【题目详解】
由算法流程图可知，其统计的是成
绩大于等于120的人数，所以由茎叶图知： 成绩大于等于120的人数为11，故选A. 【题目点拨】
本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大. 8、A 【解题分析】 计算出
三个角的值，然后利用正弦定理可计算出
的值.
【题目详解】 在
中，
，
，
，即
，
由正弦定理得，
，解得
，故选A.
【题目点拨】
本题考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于基础题. 9、D 【解题分析】
先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交
稿数. 【题目详解】
高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2
200090009
÷=， 高二年级交稿数占总交稿数的1442
3605
=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545-
-=，所以高三年级交稿数为179000340045
⨯=． 故选D 【题目点拨】
本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 10、A 【解题分析】
分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.
详解：
由三视图可知该刍甍是一个组合体，
它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，
根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，
11
444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33
，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

112
【解题分析】
根据题意，由等比数列的性质可得2
3
1
a q a =，进而分析可得答案. 【题目详解】
根据题意，等比数列{}n a 中11a =，32a =，则2
3
1
2a q a =
=， 又由数列{}n a 是正项的等比数列，所以2q =. 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列{}n a 是正项等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12、
1
3
【解题分析】
由题意得出βπα=-，结合诱导公式，二倍角公式求解即可. 【题目详解】
6
sin 03
α=
>，则角α的终边可能在第一、二象限
由图可知，无论角α的终边在第一象限还是第二象限，都有βπα=-
()()221cos cos(2)cos(2)cos 212sin 1233αβαππααα⎛
⎫∴-=-=-=-=--=--⨯=
⎪⎝
⎭
故答案为：
1
3
【题目点拨】
本题主要考查了利用二倍角的余弦公式以及诱导公式化简求值，属于基础题. 13、91
【解题分析】
根据题意，以及等差数列的性质，先得到77a =，再由等差数列的求和公式，即可求出结果.
【题目详解】
因为{}n a 是等差数列，171321a a a ++=，
所以7321a =，即77a =，
记前n 项和为n S ，则11313713()13137912+=
==⨯=a a S a . 故答案为：91
【题目点拨】
本题主要考查等差数列前n 项和的基本量的运算，熟记等差数列的性质以及求和公式即可，属于基础题型.
14、23
【解题分析】
由题意可得{11n a +}是以1
1a +1为首项，以2为公比的等比数列，再由已知求得首项，进一步求得2a 即可．
【题目详解】
在数列{}n a 中，满足()
*1121n n n N a a +=+∈得111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 则数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以11a +1为首项，以公比为2的等比数列， 得1111112n n a a -⎛⎫+=+⨯ ⎪⎝⎭
，由1011023a =，则9101111121024a a ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，得11a =． 由211212a a +=+，得213
a =，故1212133a a -=-=． 故答案为：23
【题目点拨】
本题考查了数列的递推式，利用构造等比数列方法求数列的通项公式，属于中档题． 15、4
【解题分析】
在OAB 中，令,OA a OB b ==，可得6π∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A
=，可得R ，进而可得||b 的最大值． 【题目详解】 ∵向量a 、b 满足|a |＝1，且b 与b a -的夹角等于6
π， 如图在OAB 中，令OA a =，OB b =，可得6π∠=
OBA 可得点B 在半径为R 的圆上，1R 2sinA
=
=4，R ＝1． 则|b |的最大值为1R ＝4
【题目点拨】
本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．
16、16
. 【解题分析】
根据题意画出正方体,由线段关系即可求得三棱锥11B A C C -的体积.
【题目详解】
根据题意,画出正方体如下图所示:
由棱锥的体积公式可知111111113
B A
C C A BC C BC C V V A B S --∆==⨯⨯ 111111326
⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故答案为:16
【题目点拨】
本题考查了三棱锥体积求法,通过转换顶点法求棱锥的体积是常用方法,属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)0y =或7(4)24y x =-
-，(2)点P 坐标为313(,)22
-或51(,)22-． 【解题分析】
(1)设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d 2
22322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
－123141k k k －－－＋＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724
. 所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724
(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 坐标为(m ，n)，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1k (x －
m)，即kx－y＋n－km＝0，－1
k
x－y＋n＋
1
k
m＝0.
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2
的距离相等．故有
，
化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.
因为关于k的方程有无穷多解，所以有
2080
{{
3050
m n m n
m n m n
－－＝，－＋＝，
或
－－＝＋－＝，
解得点P坐标为
313
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或
51
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
18、（1）见解析；（2
）
6
【解题分析】
（1）连接OC，由等腰三角形三线合一，可得AO BD
⊥，CO BD
⊥，再勾股定理可得AO OC
⊥，进而根据线面垂直的判定定理得到AO⊥平面BCD；（2）根据等积法可得D ACE A CDE
V V
--
=，结合（1）中结论，可得AO即为棱锥的高，代入棱锥的体积公式，可得答案．
【题目详解】
证明：（1）连接OC
,
BO DO AB AD
==，
AO BD
∴⊥．
BO DO
=
∵，BC CD
=，
CO BD
∴⊥．
AB AD
==O为BD中点，
∴AO BD
⊥，
2
BD CD BC
===，O为BD中点，
CO BD
∴⊥
1
AO
∴===
，
CO==,
在AOC △中， 1AO =，CO =，2AC =，
222AO CO AC ∴+=，
90AOC ︒∴∠=，
即AO OC ⊥．
又AO BD ⊥，BD OC O ⋂=，,BD OC ⊂平面BCD
AO ∴⊥平面BCD .
（2）2BD BC CD ===
∴等边CDB △的面积为22CDB S ==E 为BC 中点 1322
CDE CDB S S ∴==而1AO =，
1113
3D ACE A CDE CDE V V AO S --∴==⋅⋅=⨯=. 【题目点拨】 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间直线与直线垂直、直线与平面垂直之间的转化关系是解答的关键，属于中档题.
19、（1）(1,2)；（2）2340x y -+=
【解题分析】
（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；
（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线方程为230x y m -+=，代入点P 的坐标求得m 的值，可写出l 的方程．
【题目详解】
（1）由直线20x y -=与直线30x y +-=组成方程组，
得2030
x y x y -=⎧⎨+-=⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩
，
所以点P 的坐标为(1,2)；
（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线l 的方程为230x y m -+=，
又直线l 过点(1,2)P ，所以260m -+=，解得4m =，
直线l 的方程为2340x y -+=．
【题目点拨】
本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
20、（1）045A =； （2
）1b c =
=. 【解题分析】
（1
）由题目中告诉的sin sin sin sin b B c C C a A +=
，利用正弦定理则可得到222b c a +=，再结合余弦定理公式2222cos a b c bc A =+-求出角A 的值． （2）根据第一问求得的A 的值和题目中告诉的角B 的值可求得角C 的值，再利用正弦定理可求得边b 和c 的值．
【题目详解】
(1)
由正弦定理，得222b c a +=，
由余弦定理，得222cos 22
b c a A bc +-==，又000180A << 所以045A =．
(2) 由（1）知：045A =,又060B =
所以0018075C A B =--=，又2a =，
根据正弦定理，得2sin sin a B b A ===
2sin 1sin a C c A ===，
所以1b c ==
【题目点拨】
本题考查利用正余弦定理求解边与角．
21、（1）{|2x x k π=或2,}2x k k Z ππ=+
∈；（2
）(-∞.
【解题分析】 （1）由题化简得()f x a b =
⋅4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
．再解方程sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭即得解；（2）由题得sin cos sin 2x x m x +≤在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，再求不等式右边函数的最小值即得解. 【题目详解】
解：（1）因为23sin ,12x a ⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭，(2,3sin b x =
，
所以2()23sin 2x
f x a b
x =⋅=-+cos )4x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭． 因为(
)f x =sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭． 解得2()x k k π=∈Z 或2()2x k k Z π
π=+∈．
故x 的取值集合为{|22,}2x x k x k k Z π
π
π==+∈或．
（2）由（1）可知()cos )f x x x =+，所以sin cos sin2x x m x +≥在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．
因为02x π
<<，所以sin 20x >，所以sin cos sin 2x x m x +≤
在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立. 设sin cos 4t x x x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝
⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-． 所以211
1t m t t t
≤=--．
因为1t <≤
10t t <-≤
，所以11t t
≥- 故m 的取值范围为(-∞．
【题目点拨】
本题主要考查三角恒等变换和解三角方程，考查三角函数最值的求法和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。