高中数学第一章1.3三角函数的图象与性质1.3.2学案新人教B版必修29
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故当 φ＝ kπ＋ ， k∈ Z 时， f (x)为偶函数． 2
马鸣风萧萧整理
(2)最小正周期都是 2π； 系
(3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同
3．余弦型函数 y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0) 的性质 函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)可以看成是由余弦函数 y＝ cos x 复合而成的复合函数，
因此它的性质可由余弦函数 y＝ cos x 类似地得到．
即 cos φ＝ 0，得 φ＝ ＋ kπ，k∈ Z ． 2
故当 φ＝ ＋kπ，k∈ Z 时， f (x)为奇函数． 2
(2)若 f(x)是偶函数，则 x＝0 是其对称轴， 即 f(0)＝± A，cos φ＝± 1，得 φ＝kπ，k∈ Z ．
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的单调区间对应的不等式的方向相同 (反 )．求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解． (4)奇偶性：余弦型函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)不一定具备奇偶性．对于函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)，
当φ＝ kπ(k∈Z) 时为偶函数，当 φ＝ kπ± (k∈ Z) 时为奇函数． 2
(5)周期：函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)(A>0 ，ω>0) 的周期与解析式中自变量
2．余弦函数的性质 函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－ 1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以 2kπ为周期(k∈ Z ，k≠ 0)， 2π为最小正周期
单调性
当 x∈ [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 时，单调递增； 当 x∈ [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 时，单调递减
最大值与
当 x＝ 2kπ(k∈ Z) 时，最大值为 1；
(1)定义域： R．
(2)值域： [－ A，A]．
(3)单调区间： 求形如 y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω>0) 的函数的单调区间可以通过解不等式的 方法解答，即把“ ωx＋ φ”视为一个“整体” ，由余弦函数 y＝ cos x 的单调递增 (减 )区间解出
x，即为所求的单调递增 (减 )区间． 特别注意若 ω<0 ，先用诱导公式化为 ω>0 ． A>0(A<0) 时，所列不等式与 y＝ cos x(x∈ R)
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能正确使用“五点法” “图象变换法”作出余弦函 数 y＝ cos x 和 y＝Acos(ωx＋φ)的图象，并能体会 正弦曲线和余弦曲线的关系．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单 调区间及最值，并能利用余弦函数的图象和性质 来解决相关的综合问题．
2
递减区间 区
3
2k
, 2k
(k∈ Z) [2kπ，(2k＋ 1)π](k∈ Z)
2
2
别 对称中心 (kπ，0)(k∈ Z)
k
,0 (k∈Z)
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对称轴
直线 x＝ kπ＋ (k∈ Z)
2
直线 x＝ kπ(k∈Z)
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
(1)定义域都是 R，值域都是 [ －1,1]； 联
(4)五点法：函数 y＝ cos x 在 [0,2π]内的图象的五个关键点是 (0,1)， , 0 ，(π，－1)， 2
3
3
,0 ，(2π，1)，其中 , 0 ， ,0 分别是 x 轴上的第一个零点， 第二个零点； (0,1)，
2
2
2
(2π，1)， (π，－1)分别是函数图象的第一个最高点，第二个最高点和最低点，描出这五个点
x 的系数有关，其周
2 期为 T＝ ．
(6)对称性： 函数 y＝Acos(ωx＋ φ)的对称轴由 ωx＋ φ＝ kπ(k∈ Z) 解得， 对称中心的横坐标由
ωx＋ φ＝ kπ＋ (k∈ Z) 解得． 2
自主思考 2 设函数 f(x)＝ Acos(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)，求： (1)φ取何值时， f(x)为奇函数； (2)φ取何值时， f(x)为偶函数． 提示： (1)若 f(x)是奇函数，且 x∈ R，则 f (0)＝ 0，
后，根据余弦函数的基本形状用光滑曲线将它们连接起来，即可得到
[0,2π] 内的余弦函数图
象．
将上述几种作法得到的 y＝ cos x， x∈ [0,2π]的图象向左、右平移 (每次 2π个单位)，则可
得到 y＝cos x， x∈ R 的图象，如图所示．
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
最小值
当 x＝ 2kπ＋π(k∈Z) 时，最小值为－ 1
知识剖析 (1)由诱导公式 cos(－ x)＝ cos x 可知余弦函数为偶函数． 反映在图象上， 余弦曲
线关于 y 轴对称．
(2)余弦函数 y＝ cos x 的值域为 [－1,1]，它表明余弦函数 y＝cos x 的图象介于直线 y＝1
和 y＝－ 1 之间．
(3)由 cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈ Z) 知 2kπ都是余弦函数 y＝ cos x 的周期， 2π是最小正周期．
自主思考 1 试比较正弦函数与余弦函数的图象和性质的异同点
提示：
正弦函数
余弦函数
奇偶性
奇函数
偶函数
递增区间
2k
, 2k
(k∈ Z) [(2k－ 1)π，2kπ](k∈ Z)
2
1．余弦函数图象的画法
(1)平移作图： 由 y＝ cos x＝ sin
x (x∈ R)知，余弦函数 y＝ cos x 的图象与正弦型函
2
数 y＝ sin x
的图象相同． 于是把正弦曲线向左平移
个单位长度就可得到余弦函数的
2
2
图象．
(2)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可以作出余弦函数的图象．
(3)几何法：就是利用单位圆中的余弦线来作出余弦函数图象的方法．
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(2)最小正周期都是 2π； 系
(3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同
3．余弦型函数 y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0) 的性质 函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)可以看成是由余弦函数 y＝ cos x 复合而成的复合函数，
因此它的性质可由余弦函数 y＝ cos x 类似地得到．
即 cos φ＝ 0，得 φ＝ ＋ kπ，k∈ Z ． 2
故当 φ＝ ＋kπ，k∈ Z 时， f (x)为奇函数． 2
(2)若 f(x)是偶函数，则 x＝0 是其对称轴， 即 f(0)＝± A，cos φ＝± 1，得 φ＝kπ，k∈ Z ．
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的单调区间对应的不等式的方向相同 (反 )．求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解． (4)奇偶性：余弦型函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)不一定具备奇偶性．对于函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)，
当φ＝ kπ(k∈Z) 时为偶函数，当 φ＝ kπ± (k∈ Z) 时为奇函数． 2
(5)周期：函数 y＝ Acos(ωx＋ φ)(A>0 ，ω>0) 的周期与解析式中自变量
2．余弦函数的性质 函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－ 1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以 2kπ为周期(k∈ Z ，k≠ 0)， 2π为最小正周期
单调性
当 x∈ [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 时，单调递增； 当 x∈ [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 时，单调递减
最大值与
当 x＝ 2kπ(k∈ Z) 时，最大值为 1；
(1)定义域： R．
(2)值域： [－ A，A]．
(3)单调区间： 求形如 y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω>0) 的函数的单调区间可以通过解不等式的 方法解答，即把“ ωx＋ φ”视为一个“整体” ，由余弦函数 y＝ cos x 的单调递增 (减 )区间解出
x，即为所求的单调递增 (减 )区间． 特别注意若 ω<0 ，先用诱导公式化为 ω>0 ． A>0(A<0) 时，所列不等式与 y＝ cos x(x∈ R)
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1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能正确使用“五点法” “图象变换法”作出余弦函 数 y＝ cos x 和 y＝Acos(ωx＋φ)的图象，并能体会 正弦曲线和余弦曲线的关系．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单 调区间及最值，并能利用余弦函数的图象和性质 来解决相关的综合问题．
2
递减区间 区
3
2k
, 2k
(k∈ Z) [2kπ，(2k＋ 1)π](k∈ Z)
2
2
别 对称中心 (kπ，0)(k∈ Z)
k
,0 (k∈Z)
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对称轴
直线 x＝ kπ＋ (k∈ Z)
2
直线 x＝ kπ(k∈Z)
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(1)定义域都是 R，值域都是 [ －1,1]； 联
(4)五点法：函数 y＝ cos x 在 [0,2π]内的图象的五个关键点是 (0,1)， , 0 ，(π，－1)， 2
3
3
,0 ，(2π，1)，其中 , 0 ， ,0 分别是 x 轴上的第一个零点， 第二个零点； (0,1)，
2
2
2
(2π，1)， (π，－1)分别是函数图象的第一个最高点，第二个最高点和最低点，描出这五个点
x 的系数有关，其周
2 期为 T＝ ．
(6)对称性： 函数 y＝Acos(ωx＋ φ)的对称轴由 ωx＋ φ＝ kπ(k∈ Z) 解得， 对称中心的横坐标由
ωx＋ φ＝ kπ＋ (k∈ Z) 解得． 2
自主思考 2 设函数 f(x)＝ Acos(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)，求： (1)φ取何值时， f(x)为奇函数； (2)φ取何值时， f(x)为偶函数． 提示： (1)若 f(x)是奇函数，且 x∈ R，则 f (0)＝ 0，
后，根据余弦函数的基本形状用光滑曲线将它们连接起来，即可得到
[0,2π] 内的余弦函数图
象．
将上述几种作法得到的 y＝ cos x， x∈ [0,2π]的图象向左、右平移 (每次 2π个单位)，则可
得到 y＝cos x， x∈ R 的图象，如图所示．
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最小值
当 x＝ 2kπ＋π(k∈Z) 时，最小值为－ 1
知识剖析 (1)由诱导公式 cos(－ x)＝ cos x 可知余弦函数为偶函数． 反映在图象上， 余弦曲
线关于 y 轴对称．
(2)余弦函数 y＝ cos x 的值域为 [－1,1]，它表明余弦函数 y＝cos x 的图象介于直线 y＝1
和 y＝－ 1 之间．
(3)由 cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈ Z) 知 2kπ都是余弦函数 y＝ cos x 的周期， 2π是最小正周期．
自主思考 1 试比较正弦函数与余弦函数的图象和性质的异同点
提示：
正弦函数
余弦函数
奇偶性
奇函数
偶函数
递增区间
2k
, 2k
(k∈ Z) [(2k－ 1)π，2kπ](k∈ Z)
2
1．余弦函数图象的画法
(1)平移作图： 由 y＝ cos x＝ sin
x (x∈ R)知，余弦函数 y＝ cos x 的图象与正弦型函
2
数 y＝ sin x
的图象相同． 于是把正弦曲线向左平移
个单位长度就可得到余弦函数的
2
2
图象．
(2)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可以作出余弦函数的图象．
(3)几何法：就是利用单位圆中的余弦线来作出余弦函数图象的方法．