七座桥的故事
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OVER
四线穿九球的解答
回上页
此图案的奇线点为A、B、C、D， 没有偶线点
B
A称为2线点，B称为2线点，
C称为2线点，D称为2线点，
AG
H C E称为2线点，F称为2线点； G称为4线点，H称为4线点，
L
K
F JE I D
I称为4线点，J称为4线点， K称为4线点，L称为4线点
此图案的偶线点为A、B、C、D、E、 F、G、H、I、J、K、L，没有奇线 点
• 哥尼斯堡七桥问题传开后，引起了 大数ห้องสมุดไป่ตู้家欧拉的兴趣。
“一笔画”问题
• 欧拉忍受着失去右
C
眼的痛苦，潜心研
究七桥问题。
• 欧拉将七桥问题抽 D
A
象成了一个“一笔
画”问题，怎样不
重复地画出如下这
个几何图形。
B
不存在的问题
• 在七桥问题的图中，Ａ、Ｂ、Ｃ三点分 别与３条线相连，Ｄ点与五条线相连。 连线都是奇数条。因此，欧拉断定：一 笔画出这个图形是不可能的。也就是说， 不重复地通过７座桥的路线是根本不存 在的！
想想看（一）
先画出左边四个
图案。再回答哪
甲
乙
些图案可以一笔
画完成？（线条
不能重复）
丙
丁
想想看（二）
先画出左边四
个图案。再回
戊
己
答哪些图案可
以一笔画完成？
（线条不能重
复）
庚
辛
奇线点与偶线点
B
A D
A有5条线经过，A称为5线点
C B有3条线经过，B称为3线点
C有3条线经过，C称为3线点 D有3条线经过，D称为3线点
A
1 29
B
6
欧拉时代
• 欧拉在事业上是幸运的，然而在生活的 道路上却连遭不幸。
• 欧拉于1707年诞生在瑞士巴塞尔一个传 教士家庭里。1727年应邀到俄国彼得堡 科学院任院士。
• 由于工作过度疲劳，加上不适应俄国的 气候，1735年他的右眼失明了。1766年， 欧拉的左眼又失明了。
最多产的数学家
A
A称为2线点，B称为4线
E
F
B
点，C称为3线点，D称为 3线点，E称为4线点，F 称为4线点；
D
C
此图案的偶线点为A、B、E、F，奇线 点为C、D
偶线点
• 欧拉发现，除了起点和终点外，图中每 一个顶点，如果有一条“进来” 的线就 必定有一条“出去” 的线。
• 所以，除了起点和终点外，图形中每一 个顶点应与偶数条线相连（即为偶线 点）。
C
左图有3个三
线点，1个五
D
线点，共4个 A 奇线点，所
以无法一笔
B
画完成。
欧拉解决了七桥问题
• 欧拉果断的宣布：「一次走遍所有 的７座桥，而且每座桥都只通过一 次，是无法办到的事！因为这种走 法根本就不存在！」
• 善于思索和研究问题的欧拉，竟如 此简单地解决了千百人为它绞尽脑 汁而百思不得其解的难题。
• 如果起点和终点重合，那么这一点也是 偶线点。
若是图形全是偶线点？
• 由以上分析可知： • 若是图形全是偶线点，则此图形
必可一笔划完成，且起点和终点 会在同一位置。 • 但若图形不全是偶线点呢？
ac
b A 三线点
• 一个三线点，就是三个弧线的交点，如图所示， 它有下列两种情形：
• （1）它是此路线的起点或终点。（2）它不是此 路线的起点或终点，而是中间的顶点。
• 再返回前面的甲~辛共八个图案，统
计其奇线点的数目
返回
结果分析
甲
乙
丙
丁戊
己
庚
辛
4个三 2个三 4个三 无奇 无奇 无奇 无奇 3个三线点 线点 线点 线点 线点 线点 线点 线点 1个五线点
奇线点数目统计
甲 乙 丙丁戊己 庚 辛 4 2 4000 0 4
可以一笔画完成的图案
乙
丁
戊
己
庚
七桥问题可以一笔画吗？
七座桥的 故事
制作人：张洪伟
哥尼斯堡的七座桥
• 故事发生在十八世纪的东普鲁士，濒临 蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的 城市，叫做哥尼斯堡（今苏联加里宁格 勒）。
• 布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然 后横贯全城，流入大海，河心有一个小 岛，河水把城市分了４块，于是，人们 建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡 连成一体。
• 如果是第（2）种情形，譬如由路线a经过A，再 经过路线b，则必无法再经过路线c（因为A不是 起点也不是终点）
• 由此可知，图案中的三线点必为此路线的起点或 终点
一笔画有何规律性？
• 由以上的分析可知，一个图案若能 一笔画完成，则其奇线点必为此路 线的起点或终点。而奇线点的数目， 合起来只能为2或0（起点与终点重 合的时候)
C
7
34
8D
5
A
12 6
B
人们发现，这时奇点只有两个，一次 走遍是可能的。然而想回到原出发点， 仍然是不可能的。
九座桥呢？
• 时间荏苒，岁月如梭。 又过了许多年，AB间 也建了一座新桥---9号 桥诞生了。于是，又有 8 人提出，如果一次走遍 九座桥，是否可能呢？ 可否回到原出发点？
C
7
34
D5
延伸问题
• 七桥问题，若能再
C
加一座桥，是否可
以一次走遍所有的8
座桥，而且每座桥 都只通过一次？
D
A
• 若是可以，此座桥
应加在哪两座岛之
间？
B
C
A D
B
• 过了许多年，河上架起了第八座桥—铁路 桥。新桥的建成，使人们又想起了那有趣 的问题。既然一次走遍七座桥不可能，那 么，现在一次走遍八座桥，可能吗？
七桥问题
• 一天又一天，７座桥上走过了无数的行 人，不知从什么时侯起，脚下的桥梁触 发了人们的灵感，一个有趣的问题在居 民中传开了：
• 谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每 座桥都只通过一次？
• 这个问题似乎不难，谁都乐意用它 来测试一下自己的智力，可是，谁 也没有找到一条这样的路线，连以 博学著称的大学教授们，也感到一 筹莫展。“七桥问题”难住了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因 “七桥问题”而出了名。
• 黑暗没有使他停止工作，他认为发明质数“筛 法”的古希腊数学家埃拉 托斯芬，由于害眼病 失明，不能读书，就绝食而死，是一种软弱的
表现。残疾只能给庸人带来懒惰的借口，但它 绝不会成为有志者不可逾越的障碍。
• 欧拉用口述和助手纪录的方法，坚持创作，把 自己的学识遗留给后人。它的著作长达72卷之 多，成为数学史上最多产的数学家。
四线穿九球的解答
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此图案的奇线点为A、B、C、D， 没有偶线点
B
A称为2线点，B称为2线点，
C称为2线点，D称为2线点，
AG
H C E称为2线点，F称为2线点； G称为4线点，H称为4线点，
L
K
F JE I D
I称为4线点，J称为4线点， K称为4线点，L称为4线点
此图案的偶线点为A、B、C、D、E、 F、G、H、I、J、K、L，没有奇线 点
• 哥尼斯堡七桥问题传开后，引起了 大数ห้องสมุดไป่ตู้家欧拉的兴趣。
“一笔画”问题
• 欧拉忍受着失去右
C
眼的痛苦，潜心研
究七桥问题。
• 欧拉将七桥问题抽 D
A
象成了一个“一笔
画”问题，怎样不
重复地画出如下这
个几何图形。
B
不存在的问题
• 在七桥问题的图中，Ａ、Ｂ、Ｃ三点分 别与３条线相连，Ｄ点与五条线相连。 连线都是奇数条。因此，欧拉断定：一 笔画出这个图形是不可能的。也就是说， 不重复地通过７座桥的路线是根本不存 在的！
想想看（一）
先画出左边四个
图案。再回答哪
甲
乙
些图案可以一笔
画完成？（线条
不能重复）
丙
丁
想想看（二）
先画出左边四
个图案。再回
戊
己
答哪些图案可
以一笔画完成？
（线条不能重
复）
庚
辛
奇线点与偶线点
B
A D
A有5条线经过，A称为5线点
C B有3条线经过，B称为3线点
C有3条线经过，C称为3线点 D有3条线经过，D称为3线点
A
1 29
B
6
欧拉时代
• 欧拉在事业上是幸运的，然而在生活的 道路上却连遭不幸。
• 欧拉于1707年诞生在瑞士巴塞尔一个传 教士家庭里。1727年应邀到俄国彼得堡 科学院任院士。
• 由于工作过度疲劳，加上不适应俄国的 气候，1735年他的右眼失明了。1766年， 欧拉的左眼又失明了。
最多产的数学家
A
A称为2线点，B称为4线
E
F
B
点，C称为3线点，D称为 3线点，E称为4线点，F 称为4线点；
D
C
此图案的偶线点为A、B、E、F，奇线 点为C、D
偶线点
• 欧拉发现，除了起点和终点外，图中每 一个顶点，如果有一条“进来” 的线就 必定有一条“出去” 的线。
• 所以，除了起点和终点外，图形中每一 个顶点应与偶数条线相连（即为偶线 点）。
C
左图有3个三
线点，1个五
D
线点，共4个 A 奇线点，所
以无法一笔
B
画完成。
欧拉解决了七桥问题
• 欧拉果断的宣布：「一次走遍所有 的７座桥，而且每座桥都只通过一 次，是无法办到的事！因为这种走 法根本就不存在！」
• 善于思索和研究问题的欧拉，竟如 此简单地解决了千百人为它绞尽脑 汁而百思不得其解的难题。
• 如果起点和终点重合，那么这一点也是 偶线点。
若是图形全是偶线点？
• 由以上分析可知： • 若是图形全是偶线点，则此图形
必可一笔划完成，且起点和终点 会在同一位置。 • 但若图形不全是偶线点呢？
ac
b A 三线点
• 一个三线点，就是三个弧线的交点，如图所示， 它有下列两种情形：
• （1）它是此路线的起点或终点。（2）它不是此 路线的起点或终点，而是中间的顶点。
• 再返回前面的甲~辛共八个图案，统
计其奇线点的数目
返回
结果分析
甲
乙
丙
丁戊
己
庚
辛
4个三 2个三 4个三 无奇 无奇 无奇 无奇 3个三线点 线点 线点 线点 线点 线点 线点 线点 1个五线点
奇线点数目统计
甲 乙 丙丁戊己 庚 辛 4 2 4000 0 4
可以一笔画完成的图案
乙
丁
戊
己
庚
七桥问题可以一笔画吗？
七座桥的 故事
制作人：张洪伟
哥尼斯堡的七座桥
• 故事发生在十八世纪的东普鲁士，濒临 蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的 城市，叫做哥尼斯堡（今苏联加里宁格 勒）。
• 布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然 后横贯全城，流入大海，河心有一个小 岛，河水把城市分了４块，于是，人们 建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡 连成一体。
• 如果是第（2）种情形，譬如由路线a经过A，再 经过路线b，则必无法再经过路线c（因为A不是 起点也不是终点）
• 由此可知，图案中的三线点必为此路线的起点或 终点
一笔画有何规律性？
• 由以上的分析可知，一个图案若能 一笔画完成，则其奇线点必为此路 线的起点或终点。而奇线点的数目， 合起来只能为2或0（起点与终点重 合的时候)
C
7
34
8D
5
A
12 6
B
人们发现，这时奇点只有两个，一次 走遍是可能的。然而想回到原出发点， 仍然是不可能的。
九座桥呢？
• 时间荏苒，岁月如梭。 又过了许多年，AB间 也建了一座新桥---9号 桥诞生了。于是，又有 8 人提出，如果一次走遍 九座桥，是否可能呢？ 可否回到原出发点？
C
7
34
D5
延伸问题
• 七桥问题，若能再
C
加一座桥，是否可
以一次走遍所有的8
座桥，而且每座桥 都只通过一次？
D
A
• 若是可以，此座桥
应加在哪两座岛之
间？
B
C
A D
B
• 过了许多年，河上架起了第八座桥—铁路 桥。新桥的建成，使人们又想起了那有趣 的问题。既然一次走遍七座桥不可能，那 么，现在一次走遍八座桥，可能吗？
七桥问题
• 一天又一天，７座桥上走过了无数的行 人，不知从什么时侯起，脚下的桥梁触 发了人们的灵感，一个有趣的问题在居 民中传开了：
• 谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每 座桥都只通过一次？
• 这个问题似乎不难，谁都乐意用它 来测试一下自己的智力，可是，谁 也没有找到一条这样的路线，连以 博学著称的大学教授们，也感到一 筹莫展。“七桥问题”难住了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因 “七桥问题”而出了名。
• 黑暗没有使他停止工作，他认为发明质数“筛 法”的古希腊数学家埃拉 托斯芬，由于害眼病 失明，不能读书，就绝食而死，是一种软弱的
表现。残疾只能给庸人带来懒惰的借口，但它 绝不会成为有志者不可逾越的障碍。
• 欧拉用口述和助手纪录的方法，坚持创作，把 自己的学识遗留给后人。它的著作长达72卷之 多，成为数学史上最多产的数学家。