高考数学一轮复习F单元平面向量(含解析)

F 单元平面向量
F1平面向量的概念及其线性运算
5. A3、F1［2014 •辽宁卷］设a , b , c 是非零向量，已知命题p ：若a • b = 0, b • c = 0, 则a • c = 0，命题q ：若a // b , b //c ,则a //c ,则下列命题中真命题是( )
A. p V q B . p A q
C.(綈 p ) A (綈 q ) D . p V (綈 q )
5. A ［解析］由向量数量积的几何意义可知，命题 p 为假命题；命题 q 中，当b ^0 时，a , c 一定共线，故命题 q 是真命题.故p V q 为真命题.
15. F1［2014 •新课标全国卷I ］已知 A B , C 为圆O 上的三点，若A O= 2(X B+ A C ，则
15. 90° ［解析］由题易知点 0为BC 的中点，即BC 为圆0的直径，故在△ ABC 中,
BC 对应的角A 为直角，即 AC 与 AB 的夹角为90° .
7. F1［2014 •四川卷］平面向量 a = (1 , 2) , b = (4 , 2) , c = ma + b ( mE R)，且 c 与 a 的夹角等于c 与b 的夹角，贝U mi=(
)
A. — 2 B . - 1 C. 1 D . 2
F2平面向量基本定理及向量坐标运算
4. F2［2014 •重庆卷］已知向量 a = (k , 3) , b = (1 , 4) , c = (2 , 1)，且(2 a — 3b )丄 c , 则实数k =( )
9 A.— B . 0
4. C ［解析］•••2a — 3b = 2(k , 3) — 3(1 , 4) = (2 k — 3, — 6)，又(2 a — 3 b )丄 c ,「.(2k —3) x 2+ ( — 6) = 0,解得 k = 3.
& F2［2014 •福建卷］在下列向量组中，可以把向量 a = (3 , 2)表示出来的是( )
A. e 1= (0, 0) , e 2= (1 , 2)
B. e 1 = ( — 1, 2) , e 2= (5 , — 2)
C. e 1 = (3, 5) , e 2= (6 , 10)
D. e 1= (2, — 3) , e 2= ( — 2 ,3) & B ［解析］由向量共线定理，选项
A , C , D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；
而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选 B.
16. F2 , C4［2014 •山东卷］已知向量 a = (m , cos 2 x ), b = (sin 2 x , n ),函数 f (x ) 冗 厂 2 n
=a • b ,且y = f (x )的图像过点 12 ,
- 3和点 丁 , — 2 . (1)求m n 的值；
［解析］c = ma + b = (m + 4, 2m + 2)，由题意知
b • c
| b | •! c |
，即
(1, 2 )•( m+ 4, 2m+ 2) 2.
(4, 2) (4, 2m^ 2)
：42+ 22
，即 5n U 8 =
8m+ 20
2
，解得mi= C. 3 D. 15
~2
(2)将y =f (x )的图像向左平移 0 (0 V 0vn )个单位后得到函数 y = g (x )的图像，若y =g (x )图像上各最高点到点(0 , 3)的距离的最小值为1，求y = g (x )的单调递增区间.
16. 解： ⑴ 由题意知，f ( x ) = a •b = nsin 2 x + n cos 2 x .
n l
2 n
因为y = f (x )的图像过点 12， . 3和点 可,-2 ,
— n n 3= nsin 百 + n cos —,
所以 (2)由
(1)知 f (x ) = 3sin 2 x + cos 2 x = 2sin
n
由题意知，g ( x ) = f (x + 0 ) = 2sin 2x + 2 0 + —. 设y = g (x )的图像上符合题意的最高点为 (X o , 2).
由题意知，x o + 1 = 1 ,所以x o = 0 ,
即到点(0 , 3)的距离为1的最高点为(0 , 2).
n
将其代入 y = g (x )得，sin 2 0 + — = 1.
n
因为0< 0 < n,所以0 =—.
n
因此，g (x ) = 2sin 2x + — = 2cos 2 x .
, r n 由 2k n — nW 2x W 2k n, k € Z 得 k n — ~ W X W k n, k € Z ,
n
所以函数y = g (x )的单调递增区间为 k n — ■—, k n , k €乙
n
13. F2［2014 •陕西卷］设 0<0 <y ，向量 a = (sin 2 0 , cos 0) , b = (cos 0 , 1), 若 a II b ,贝U tan 0 = _________ .
1
13. 2 ［解析］因为向量 a I b ,所以 sin 2 0 — cos 0 - cos 0 = 0，又 cos 0 工 0,所
1
以 2sin 0 = cos 0,故 tan 0 = 2
18. F2, E5［2014 •陕西卷］在直角坐标系 xOy 中，已知点 A (1 , 1),耳2 , 3) , Q3 , 2)，点P (x , y )在厶ABC 三边围成的区域(含边界)上.
4 n
4 n
—2= nsin
V + ncos 〒，
3= ¥ n ，
即
n
,
解得 n = 3, n = 1.
(1) 若PA+ P B+ P C= 0，求| Of P ；
(2) 设OP= mAB- nA(fn n€ R)，用x, y 表示n—n,并求n—n 的最大值.
18.解：⑴方法一：T 陥PB+ PC= 0,
又 PA^ PB+ PC= (1 — x , 1 — y ) + (2 — x , 3— y ) + (3 — x , 2— y ) = (6 — 3x , 6— 3y ),
即 0P= (2 , 2)，故 |6p = 2 2. 方法二：••• P A + PB+ PC = o , 则(5A - S p + (dB- S p + (&— S p = o ,
f 1 S S S
••• 0F = 3(0用 0內 0C = (2 , 2),
•••I S P = 2 2.
⑵••• 0P= mA+ n f C
•- (x , y ) = ( m + 2n , 2m + n ),
x = m + 2n , y = 2m + n .
两式相减得，m — n = y — x ,
令y — x = t ，由图知，当直线 y = x +1过点B (2 , 3)时，t 取得最大值1,故m- n 的最 大值为1.
F3平面向量的数量积及应用
10. F3[2014 •北京卷]已知向量 a , b 满足 | a | = 1, b = (2 , 1),且 入 a + b = 0(入€ R), 贝y |入| = .
6— 3x = 0, 6 — 3y = 0, 解得
x = 2,
y = 2,
10. 5 ［解析］•/ 入 a + b = 0,「.入 a =— b , .| 7 |
|b | 並斥
•-|
入 |
=面=三=
.5.
11. F3［2014 •湖北卷］设向量 a = （3 , 3） , b = （1 , — 1）.若（a + 入 b ）丄（a —入
b ），则
实数入= __________ .
11 .± 3
［解析］因为 a +入 b = （3 + 入，3 —入）,a —入 b = （3 —入，3+ 入），又
（a +
入 b ）丄（a —入 b ），所以（a + 入 b ） -（a —入 b ） = （3 + 入）（3 —入）+ （3 —入）（3 + 入）=0,解得 入=± 3.
1
e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3，向量 a = 38
3
14. F3［2014 •江西卷］ 已知单位向量
3 ，则 cos a - b 3
=时 2 2 9e 1— 9e©+ 2e 2
—2e 2与b = 3e 1 — e 2的夹角为
14.
［解析］cos 3 = ------------------ .
（3e 1 — 2e 2） - （3e 1 — e 2）
建立如图所示的坐标系， 则A — 1,0)，耳0 , — . 3) , C (1 ,0) ,D(0 , 3) •设4. （ ） A. \ - 9e 1 — 12e 1 - e 2 + 4e2\ 9e 1 — 6e 1 - e 2 + e 2
1
9— 9x ：+2
___________ 3 ___________ 8 2 yj 2 ' 1 ~ / 1 ~ = 3x 2 J2= 3 . 9— 12x 3+ 4 -飞.：:9— 6x 3+ 1 '
F3［2014 •全国卷］若向量 a , b 满足：|a| = 1, （a + b ）丄a , （2a + b ）丄b ,则 |b | =
B. 2
二
2
［解析］因为（a + b ）丄a ,所以（a + b ） - a = 0,即 |a| 2+ b - a = 0.因为（2a + b ）丄b , C. 4.
D.
所以（2a + b ） - b = 0,即 2a -b + |b| = 0,与 |a| + b -a = 0 联立，可得 2|a| — |b| = 0,所 以 |b| = ,2|a| = ,2.
F3［2014 •新课标全国卷n ］设向量 a , b 满足|a + b | =J i0, |a — b | =J 6，则a -b ）
1 B .
2 C .
3 D . 5 A ［解析］由已知得|a + b | 2= 10, | a — b | 2= 6，两式相减，得4a - b = 4，所以a - b
3. =（ A. 3. =1. 12. F3, C8［2014 •山东卷］在厶 ABC 中，已知 AB- AC= tan A,当 A =+时，△ ABC 的
6 面积为 _______ .
12. 6 ［解析］因为 AB- AC= | AB - | AC cos A = ta n 代且 A =；，所以 |AB - | AC = |,
1 _1
2 1
所以△ ABC 的面积 S= 7| AB | - | AC sin A = - x sin n
=-.
2 2
3 6
6
& F3［2014 •天津卷］已知菱形 ABC 啲边长为2, / BAD= 120°,点E F 分别在边BC
2
口 DC 若X E - A F = 1, S E - C F = — 3,^y 入 + 口 =（ ）
DC 上, BE= 入BC, 1 A.1 B. 2 2 C. 5
6 D.
7 12
&C ［解析］
E(x i, y i), F(X2, y2)•由BE=入BC得(X i, y i+ 3) = X (1 , 3)，解得
v可y i = ^/3 (入—i),
即点E入，3( X —i)) •由DF = 口DC(得(X2, y2 一 3 ) = 口(i , — 3 ),解得
X2 = 口，
l 即点F( 口, \f3(i—(1)) •又T AE・ AF= ( X + i, ^/3( X —i)) • ( 口+ i, y2 = ,3 (i—1), '
3(i —1)) = i,①
CE- CF= ( X —i, 3( X —i)) •( i —i, 3(i —i)) = —3.②
①—②得X + i =召.
F4 单元综合
i5. F4［20i4 •安徽卷］已知两个不相等的非零向量a，b,两组向量X i，X2，X3, X4,
X5 和y i, y2, y s, y4, y5 均由2 个a 和3 个b 排列而成.记S= X i •y i + X2 •y2 + X3 •y3 + X4 •y4
+ X5 • y5, S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是____________ (写出所有正
确命题的编号)•
①S有5个不同的值
②若a丄b,则S min与| a|无关
③若a// b,贝y S min与|b|无关
④若|b| >4| a|，则S rnin>0
⑤若| b| = 2| a| , S min = 8| a|2，则a与b的夹角为_
4
15.②④ ［解析］S可能的取值有3种情况：S = 2a2+ 3b2, S2= a2+ 2b2+ 2a -b, S =
2
b + 4a • b,所以S最多只有3个不同的值.
因为a, b 是不相等的向量，所以S i —S3= 2a? + 2b —4a • b= 2(a—b)>0 , S—S2= a +
b —2a -b = (a —b) 2>0, S2—83= ( a—b)>0 ,所以S?<S2<S，故S min= S3= b2+ 4a -b. 对于
①，可知明显错误；
对于②，当a丄b时，S min与|a|无关，故②正确；
对于③，当a//b时，S min与| b|有关，故③错误；
对于④，设a, b 的夹角为B,贝U Sin = b + 4a •b = | b | + 4| a||b |cos 0 >| b | —
4|a|| b|>16|a| 1 2—16|a| 2= 0,所以撷>0,故④正确；
1 对于⑤，| b| = 2|a| , S min= 4| a| + 8| a| cos 0 = 8| a|，所以cos 0 =空，又0 € ［0 ,
n
n ］，所以0 = 3，故⑤错误.
16. F4［2014 •湖南卷］在平面直角坐标系中，O为原点，A—1, 0), B(0 , 3) , C(3 ,
0)，动点D满足|可)=1,则| O”屜6D的最大值是___________________ .
16.1+ 7 ［解析］由|CD = 1,得动点D在以C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3 + cos a , sin a ),
所以OAF OE+ OD= (2 + cos a , \『3 + sin a )，所以| OAF OE+ OD = (2 + cos a ) + (3+ sin a ) 2= 8 + 4cos a + 2；j3si n a = 8 + 2』7si n ( a+0),
所以(| OAb OE+ OD ) max= 8 + 2 7 ,即| OAb OE+ OD max="計7 + 1.
10. E6, F4［2014 •四川卷］已知F为抛物线y2= x的焦点，点A, B在该抛物线上且位
于x轴的两侧，OAOB= 2（其中O为坐标原点），则△ ABO W^ AFC面积之和的最小值是（
）
A. 2 B . 3 C. ^8^ D. 70
1
2 2
10. B ［解析］由题意可知，F 4, 0 .设A(y1, y1) , “, y",
取y = 2, y2=—2，则AB所在直线的方程为
1 x = 2，此时求得 &AB+ &AF= 2X -X 2X 2
1
> 8X 2 9| y1| X 8| y2| = 3，当且仅当9|灯| = 8| y2|且y%2 =—2时，等号成立•当y? = y2 时,
+2X1X 2=
&F4
［20
14
-
浙江卷］记max{x, }
x
，y
}
=
y,
面向量,
则（)
A.mi n{|a+ b|
,
| a—b|}< min{|a| , |b|}
B.mi n{|a+ b|| a—b|}> mi n{|a| , |b|}
C.max{|a+ b|
,
|a—b| 2 2} w|a|+ |b|2
D.max{|a+ b|
,
|a—b| 2 2} > |a|+ |b|2
& D ［解析］对于A,
当
f a= 0 ,b z0 时,
专，而¥>3,故选B.
x>y, y, x>y,
min{ x, y}= 设a, b 为平
x<y, x, x<y.
不等式不成立；对于B,当a= b z 0时，不
2,
解得y1y2= 1或y1y2= — 2.又因为A, B两点位于x轴两侧，所以
1 y1
+ y2 y1y2< 0，即yy=—2.
当y1z y2时，AB所在直线方程为y —屮=占_ (x —y2)=
y1 —y
令y = 0,得x = —yy = 2,即直线AB过定点C(2 , 0).
十口 1 1 S+S=++S=
(x—y2),
1 1 1
2
x
4
| y1|
=稗
y1
+ 8|
y2
|)
等式不成立； 对于C , D,设O A a , O B b ,构造平行四边形 OACB 根据平行四边形法则，
2 2
/AOB 与/ OBC 至少有一个大于或等于 90。

，根据余弦定理，
max{|a + b | , | a -b | } > |a |
+ | b |2成立，故选D. 6. [2014 •汕头一模]如图 X19-1 所示，在三角形 ABC 中, BD= 2CD 若AB= a , AC= b , 则 AD=() 图 X19-1
1 2 2 1
A ・3a +3b B. 3a +3b
2 1 2 2 c ・a - -1b D. 3a - 3b 6. A ［解析］ •/ BC = A C-AB= b — a , :BD 奔 t b - 3a ‘・ •• °D= °B+ B D = a + 2b -|a
3 3 1 2 =3a +3b.
12. [2014 •四川自贡诊断]设0B= (3 , 2), OC= (2 , 4)(0为坐标原点)，点H 讨2, m —1) ABC 的垂心，贝V m= ______ .
12. 2 ［解析］易知 CH= O H - O C (m H 2- 2, m- 1 — 4) = (m , m- 5).由题知 2H-X B= 0, 即 mx 3+ (n — 5) x 2= 0，二 m= 2.
& ［2014 •广东韶关一模］已知向量°与
0的夹角为120°, 且 |°E | = 2, | °C | = 3.若°P =入°井°C 且°P 丄B C ,则实数 入的值为(
) 3 12
A.，B . 13 C . 6 D.—
8. D ［解析］由°P ・ BC =( x °B+ °C
- (AC — °B = x °B-°C — x (°B )3 +(°C 2—°C-
°B
12 =0，得一 3 入一 4 X + 9 + 3 = 0,解得 X = ~.
2. ［2014 •四川自贡一诊］在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A — 1,— 2) , B (2 , 3), a -
2,-1).
(1) 求以线段AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
11
(2) 当 k =——时，求(Afe- k °C - °的值.
2 •解：(1)由题意，得0= (
3 , 5) , °C = ( — 1, 1),
则 °B+ AC = (2 , 6) , °B- °C = (4 , 4).
故所求两条对角线的长分别为 4 --../2, 2 10. (2) ••• OC= ( — 2, — 1),辰 kOC= (3 + 2k , 5 + k ),
-° -° -°
kOC - OC= (3 + 2k , 5+ k ) - ( — 2, — 1) =— 11 — 5k .
11 ° ° °
-k = 一 5 , •( AB- kOC • OC= 一 11 一 5k = 0.
4. ［2014 •惠州调研］已知△ ABC 中 ,角A 为锐角，内角A B , C 所对的边分别为a , b ,
n
c .设向量 m= (cos 代 sin A ) , n = (cos A, — sin A ),且 m 与 n 的夹角为—.
3
(1) 计算m ・n 的值并求角A 的大小；
(2) 若a = .7, c = .3,求厶ABC 的面积S.
4.解：(1) T | m | = \cos A + sin A = 1,
| n | = v'cos 2A + (— sin A ) 2= 1,
n 1
••• m -n = | m| - |n | - cos-3 = g
⑵ 方法一：T a = 7 , c = 3 , A =—,且 a 2= b 2 + c 2—2bc cos 代 6
• 7= b 2 + 3 — 3b ,解得 b =— 1(舍去)或 b = 4 ,
1
3 2 1
■/ m- n = cos A — sin A = cos 2 代 • cos 2 A = ~.
7t
••• 0<A<y , 二 0<2A <n ,
故S= ^bc sin A= 3.
方法
sin A sin C,
C = 1 — sin C = & 2护 n 1 J 3 ■/ sin B = sin( n — A — C = sing + C = qcos C +-^si n
b = 4，故 S = I b
c sin A=
3 si n A 2 7 --sin c sin A 羽
■/ a >c ,
n
二
0<C <—, …cos 2。