2017版高考数学(文)一轮总复习教师用书2(第2章 函数的概念与基本初等函数1~4节) Word版含解析

第一节函数的概念
1.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________.
解析由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，
解得a＝－2.
答案－2
2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －
1－2，x ≤1，
－log 2（x ＋1），x >1，
且f (a )＝－3，
则f (6－a )＝( ) A.－74
B.－
54 C.－34
D.－14
解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－7
4. 答案 A
1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，
0，x ＝0，－1，x <0，
则(
)
A.|x |＝x |sgn x |
B.|x |＝x sgn |x |
C.|x |＝|x |sgn x
D.|x |＝x sgn x
解析 对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，显然
不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，显然
不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0
，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，显
然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，
－x ，x <0，显
然正确；故应选D. 答案 D
2.(2013·陕西，10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A.[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ＋12＝[x ] C.[2x ]＝2[x ]
D.[x ]＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ＋12＝[2x ]
解析 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1， 所以A 错；
令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－1
2]＝－1，所以B 错； 令x ＝0.5，[2x ]＝1，2[x ]＝0，所以C 错；故选D. 答案 D
3.(2013·湖北，5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(
)
解析 根据其运动情况，开始时匀速行驶，离学校距离越来越近，是一个减函数.后交通堵塞停留了一段时间，距离不变，最后加速行驶，离学校越来越近，且变化趋势越来越快.结合图象，选C.
答案 C
4.(2013·浙江，11)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析 由a －1＝3，解得a ＝10.
答案 10
5.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1]
B.(－3，1)
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为 (－∞，－3)∪(1，＋∞). 答案 D
6.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )
A.(2，3)
B.(2，4]
C.(2，3)∪(3，4]
D.(－1，3)∪(3，6]
解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；且
x 2－5x ＋6x －3
>0，解得x >2且
x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4].故选C. 答案 C
7.(2014·山东，3)函数f (x )＝1
log 2x －1
的定义域为( )
A.(0，2)
B.(0，2]
C.(2，＋∞)
D.[2，＋∞)
解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得
x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞). 答案 C
8.(2013·重庆，3)函数y ＝1
log 2（x －2）
的定义域是( )
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞)
D.(2，4)∪(4，＋∞)
解析 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2（x －2）≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，
x ≠3.
所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C. 答案 C
9.(2013·陕西，1)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
解析 要使f (x )＝
1－x 有意义，则须1－x ≥0，即x ≤1，
所以M ＝{x |x ≤1}，∁R M ＝{x |x ＞1}. 答案 B
10.(2013·广东，2)函数y ＝lg （x ＋1）
x －1
的定义域是( )
A.(－1，＋∞)
B.[－1，＋∞)
C.(－1，1)∪(1，＋∞)
D.[－1，1)∪(1，＋∞)
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，
x ＋1＞0，解得x ＞－1且x ≠1，故选C.
答案 C
11.(2012·安徽，2)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)
B.[1，2]
C.[1，2)
D.(1，2] 解析由题知A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，
∴A∩B＝(1，2]，故选D.
答案 D
12.(2013·安徽，11)函数y＝ln(1＋1 x
)＋1－x2的定义域为________ .
解析由条件知
⎩⎪
⎨
⎪⎧1＋1x＞0，
x≠0，
1－x2≥0
⇒
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＜－1或x＞0，
x≠0，
－1≤x≤1
⇒x∈(0，1].
答案(0，1]
13.(2012·广东，11)函数y＝
x＋1
x的定义域为________.
解析由
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥－1，
x≠0
得函数y＝
x＋1
x
的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}.
答案{x|x≥－1，且x≠0}
14.(2015·山东，10)设函数f(x)＝
⎩
⎨
⎧3x－b，x＜1，
2x，x≥1.
若f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
6＝4，则b＝()
A.1
B.
7
8
C.
3
4 D.
1
2
解析由题意，得f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
6
＝3×5
6
－b＝5
2
－b.
若5
2
－b≥1，即b≤3
2
时，25
2－b＝4，
解得b＝1
2.若
5
2
－b＜1，即b＞3
2
时，3×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
5
2
－b－b＝4，解得b＝7
8(舍去).所以b＝
1
2. 答案 D
15.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，
2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )
A.－1
B.14
C.12
D.32
解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＝1－
14＝1－12＝12，故选C.
答案 C
16.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x ，x ≥0
2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝
( ) A.14 B.12 C.1
D.2
解析 因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0， 所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝1
4. 答案 A
17.(2012·福建，9)设f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，
g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，
0，x 为无理数，
则f (g (π))的值为
( ) A.1 B.0 C.－1
D.π
解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，故选B. 答案 B
18.(2013·福建，13)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝
⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案 －2
19.(2012·陕西，11)设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x ，
x ≥0，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________.
解析 f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4
＝16，又f (16)＝16＝4，∴f (f (－4))＝4.
答案 4
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A 、B
设A ，B 是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合 对应关系
f ：A ―→B 如果按照某种确定的对应关系
f ，使对于集合A 中的任意一个
数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应
如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素
x ，在集合B 中都有唯一确定的元
素y 与之对应
名称 称f ：A ―→B 为从集合A 到集合B 的一个函数
称对应f ：A ―→B 为从集合A 到集合B 的一个映射
记法
y ＝f (x )(x ∈A )
对应f ：A ―→B 是一个映射
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法.
►两个基本概念：函数；映射.
(1)[掌握函数与映射的概念时，要把握其本质]有下列命题：
①y＝2－x＋x－3是函数；
②函数是特殊的映射；
③与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.
其中正确的有________.
解析①x∈∅，不是函数；由函数与映射的概念知②，③正确.
答案②③
►一个易错点：函数的定义域.
(2)[处理函数问题，应首先考虑其定义域]下列表示同一函数的是()
A.f(x)＝x2－1
x＋1
与f(x)＝x－1 B.f(x)＝x0(x≠0)与f(x)＝1
C.f(x)＝3
x3与f(x)＝x2 D.f(x)＝2x＋1与f(t)＝2t＋1
解析A、B中定义域不同；C中对应关系不同；D表示同一函数，故选D.
答案 D
(3)若f(x)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为________.
解析设x＝t，则x＝t2，t≥0，所以f(t)＝t2＋1，即f(x)＝x2＋1(x≥0).
答案f(x)＝x2＋1(x≥0)
1.分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个解析式来表示，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要的函数.
2.复合函数
若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y ＝f (u )，u ＝g (x )，若x ∈(a ，b )，u ∈(m ，n )，那么y 关于x 的函数y ＝f [g (x )]，x ∈(a ，b )叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g (x )的值域.
►一类重要函数：分段函数.
(4)[分段函数是一个函数，由几部分组成，其定义域是各段自变量取值的并集，
值域是各段函数值的并集]函数 的定义域为________，最大
值为__________.
解析 f (x )定义域为(－∞，1)∪[1，＋∞)＝R . 当x ≥1时，f (x )≤f (1)＝1，
当x ＜1时，f (x )≤f (0)＝2，所以f (x )的最大值为2. 答案 R 2
函数定义域的求解方法
(1)当f (x )是整式时，其定义域为R .
(2)当f (x )是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合.
(3)当f (x )是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合.
(4)对于x 0，x 不能为0，因为00无意义. (5)f (x )＝tan x
的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x ∈R ，且x ≠π
2＋k π，k ∈Z .
(6)f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为{x |x >0}.
(7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要具体问题具体分析.
(8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.
(9)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
【例1】(1)(2016·山东淄博月考)函数f(x)＝2－x
lg x的定义域是()
A.(0，2)
B.(0，1)∪(1，2)
C.(0，2]
D.(0，1)∪(1，2]
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域.
答案 D
(2)解∵f(2x＋1)的定义域为(0，1)，
∴1＜2x＋1＜3，所以f(x)的定义域是(1，3).
[点评] (1)易忽略lg x ≠0的情况.(2)无论f (x )还是f (g (x ))自变量都是x ，定义域为x 的取值集合.
函数解析式的求解方法
(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程(组)法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 或f (x )与f (－x )的表达式，可根据已知条件
再构造出另一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f (x ).
【例2】 (1)(2016·山东青岛一中检测)奇函数f (x )在(0，＋∞)上的表达式f (x )＝ x ＋x ，则在(－∞，0)上的f (x )表达式为f (x )＝________.
(2)(2014·北京海淀区模拟)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x
，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝________.
解析 (1)设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－x ＋
－x ，又f (x )为奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝x －
－x ，
即x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －
－x .
(2)法一令1
x
＝t，∴x＝1
t
，
f(t )＝1 t
1－
1
t
＝1
t－1
，∴f(x)＝1
x－1
.
法二f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
x
＝x
1－x
＝1
1
x
－1
，用x替换1
x
，∴f(x)＝1
x－1
.
答案(1)x－－x(2)
1
x－1
[点评](1)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化；(2)的法一是换元法.即令
1
x＝t反解出x代入解析式求解.法二是构造法.即将解析式右边的式子通过变形，构造出含
1
x的式子，然后用x换
1
x即可.
分段函数问题求解方略
在一个分段函数中，当自变量取不同范围内的值时，函数的对应关系不一样，因此，研究分段函数的基本策略就是分段讨论.
(1)根据分段函数的解析式求函数值.
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)
根据每一段的解析式分别求解，但要注意所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.
(1)解析 f (4)＝－2×42＋1＝－31， f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.
当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1， 当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 21
2， ∴0＜1－a ＜12，∴1
2＜a ＜1.
即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1∪(1，＋∞).
答案 5 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1∪(1，＋∞)
当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ， 得x ＝－2或x ＝1.由x ＝1>0，所以舍去. 当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2、2.
[点评] 分段函数问题要分段求解，一定要注意各段自变量的限制条件.
数形结合求解分段函数问题
【示例】已知函数y＝|x2－1|
x－1
的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则
实数k的取值范围是________.
解析根据绝对值的意义.
在直角坐标系中作出该函数的图象，
如图中实线所示.根据图象可知，
当0＜k＜1或1＜k＜4时有两个交点.
答案(0，1)∪(1，4)
[方法点评](1)解析式含有绝对值符号的函数，一般要去掉绝对值符号，把函数化为分段函数，利用几何直观求解.
(2)直线方程中x或y的系数含有参数时，直线恒过定点，可通过该点旋转直线寻找满足条件的k的取值范围.
全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，3，
能力题9. 专项基础测试 模拟精选题
选择题
1.(2016·安徽安庆三模)函数f (x )＝1
ln （2x ＋1）
的定义域是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，0∪(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞ D.[0，＋∞)
解析 由ln(2x ＋1)≠0且2x ＋1>0得x >－1
2且x ≠0. 答案 B
2.(2016·河南六市一联)函数y ＝x 2－2x －3＋log 3(x ＋2)的定义域为( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－∞，－1)∪[3，＋∞) C.(－2，－1]
D.(－2，－1]∪[3，＋∞)
答案 D
3.(2015·湖南益阳模拟)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(1，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析 ∵3x ＋1＞1，且y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )＞0，∴f (x )的值域为(0，＋∞).故选A. 答案 A
4.(2015·眉山市一诊)若f (x )＝4log 2x ＋2，则f (2)＋f (4)＋f (8)＝( ) A.12 B.24 C.30
D.48
解析 ∵f (2)＝4log 22＋2＝4×1＋2＝6，f (4)＝4log 24＋2＝4×2＋2＝10，f (8)＝4log 28＋2＝4×3＋2＝14，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＝6＋10＋14＝30. 答案 C
5.(2014·山东济南模拟)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )
A.1
B.3
C.15
D.30 解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝
1－116
116
＝15，故选C. 答案 C
6.(2016·衡水中学调研)下列函数中，与函数y ＝13x
的定义域相同的是( )
A.y ＝1sin x
B.y ＝ln x x
C.y ＝cos x x
D.y ＝x 3e x
解析 易知函数y ＝
1
3x
的定义域为{x |x ≠0}，而函数y ＝1
sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，函数y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，函数y ＝cos x
x 的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝x 3e x 的定义域为实数集R ，所以与函数y ＝13x
的定义域相同的函数是y
＝cos x
x ，故选C. 答案 C
创新导向题
利用函数性质求函数值
7.已知定义在R上的函数f(x)图象关于直线x＝1对称，若x≥1时，f(x)＝x(1－x)，则f(0)＝()
A.0
B.－2
C.－6
D.－12
解析由对称性可得f(0)＝f(2)＝2(1－2)＝－2，故选B.
答案 B
分段函数求值
解析x≥5，f(x)＝f(x－5)，f(x)周期T＝5.∴f(2 016)＝f(403×5＋1)＝f(1).
又当0≤x<5时，f(x)＝x3，∴f(1)＝1.故f(2 016)＝1.
答案 1
专项提升测试
模拟精选题
一、选择题
A.7
B.9
C.11
D.13
解析f(－7)＝1＋log39＝3，f(log312)＝f(1＋log34)＝3log34＝4.
所以f(－7)＋f(log312)＝3＋4＝7.
答案 A
二、填空题
10.(2016·长春质量监测)函数f(x)＝1－ln x
ln x的定义域为________.
答案(0，1)∪(1，e]
11.(2015·绵阳市一诊)已知函数f(x)＝3x－2
2x－1
，则f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
11＋f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
11＋f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
11＋…＋f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
10
11＝
________.
解析因为f(x)＝3x－2
2x－1
，所以f(1－x)＝
3（1－x）－2
2（1－x）－1
＝
3x－1
2x－1
，所以f(x)＋f(1－
x)＝3，所以所求＝3×10
2
＝15.
答案15
解析当x0＜0时，由3x0＋1
2
＝－1
2
得x0＝－1
3.
当0≤x0≤π
2
时，由－sin x0＝－1
2
得x0＝
π
6.
答案π
6或－
1
3
13.(2014·东北六校大联考)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________.
答案[－4，6]
创新导向题
概念的新定义问题
14.能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()
A.f(x)＝4x3＋x
B.f(x)＝ln 5－x 5＋x
C.f(x)＝tan x
2 D.f(x)＝e
x＋e－x
解析对于A，B，C选项，函数为奇函数图象过原点且关于原点对称，故能够把圆O的周长和面积同时分为相等的两部分，而D选项，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意.
答案 D
第二节 函数的基本性质
1.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2
，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，＋∞ 解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x
2
，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－
11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x
（1＋x 2）
2
＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得1
3＜x ＜1，故选A.
答案 A
2.(2013·新课标全国Ⅱ，12)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )
A.(－∞，＋∞)
B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析 由题意可得，a ＞x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
(x ＞0).
令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，该函数为(0，＋∞)上为增函数，
可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立. 答案 D
3.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1
B.1
C.2
D.4
解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )， 将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1， 得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C
4.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数， g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f (x )g (x )是偶函数 B.|f (x )|g (x )是奇函数 C.f (x )|g (x )|是奇函数
D.|f (x )g (x )|是奇函数
解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C. 答案 C
5.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.
解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 3
1.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A.y ＝e －x B.y ＝x 3 C.y ＝ln x
D.y ＝|x |
解析 分别画出四个函数的图象，如图：
因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x
，在定义域内单调递减，故排除A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)
时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数.故选B. 答案 B
2.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A.f (x )＝1x 2 B.f (x )＝x 2＋1 C.f (x )＝x 3
D.f (x )＝2－x
解析 因为y ＝x 2在(－∞，0)上是单调递减的，故y ＝1
x 2在(－∞，0)上是单调递
增的，又y ＝1
x 2为偶函数，故A 对；y ＝x 2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B 错；y ＝x 3为奇函数，故C 错；y ＝2－x 为非奇非偶函数，故D 错.所以选A. 答案 A
3.(2013·北京，3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A.y ＝1x B.y ＝e －x C.y ＝－x 2＋1
D.y ＝lg|x |
解析 根据题意逐一验证，可知y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数. 答案 C
4.(2013·天津，7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 1
2a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A.[1，2] B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 D.(0，2]
解析 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝
2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1). 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得1
2≤a ≤2，故选C. 答案 C
5.(2012·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝－x 3 C.y ＝1x
D.y ＝x |x |
解析 逐一验证，易知y ＝x |x |为奇函数且为增函数，故选D. 答案 D
6.(2016·北京，10)函数f(x)＝
x
x－1
(x≥2)的最大值为________.
解析f(x)＝
x
x－1
＝1＋1
x－1
，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
则f(x)最大值为f(2)＝2
2－1
＝2.
答案 2
7.(2015·福建，15)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.
解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，
∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，
∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.
∴m的最小值为1.
答案 1
8.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1
时，f(－x)＝－f(x)，当x＞1
2时，f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
1
2＝f⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
2.则f(6)＝()
A.－2
B.－1
C.0
D.2
解析当x＞1
2
时，f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋
1
2
＝f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
2
，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，
∴f(6)＝f(1).当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.
答案 D
9.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是()
A.y＝x2sin x
B.y＝x2cos x
C.y ＝|ln x |
D.y ＝2－x
解析 由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数. 答案 B
10.(2015·福建，3)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e x C.y ＝cos x
D.y ＝e x －e －x
解析 由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案 D
11.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x ＋12x
D.y ＝x 2＋sin x
解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋
12－x
＝2x ＋
12x ＝f (x )，为偶函数； y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. 答案 D
12.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝2x －1
2x B.y ＝x 3sin x C.y ＝2cos x ＋1
D.y ＝x 2＋2x
解析 选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数. 答案 A
13.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A.f (x )＝x －1 B.f (x )＝x 2＋x C.f (x )＝2x －2－x
D.f (x )＝2x ＋2－x
解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D. 答案 D
14.(2013·湖南，4)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋ g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1
解析 由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧－f （1）＋g （1）＝2，f （1）＋g （1）＝4，解得g (1)＝3. 答案 B
15.(2013·山东，3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A.2 B.1 C.0
D.－2 解析 由题意得f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案 D
16.(2013·重庆，9)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则 f (lg(lg 2))＝( ) A.－5
B.－1
C.3
D.4
解析 ∵log 210＝1
lg 2，∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2). 令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数.
∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5， ∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1.
∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.故选C. 答案 C
17.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52＋f (2)＝________.
解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x ，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －2
18.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.
解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
416
＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
76＝－316＋sin π6＝516.
答案 5
16
19.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.
解析 由已知易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
1
2
＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122
＋2＝1，
又由函数的周期为2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12＝1.
答案 1
1.单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任
意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有
f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数
f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，
则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足
条件 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
►单调性定义的两种变式.
(1)[设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1＜x 2，则
①f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
＞0(＜0)⇔f (x )在[a ，b ]上是增(减)函数.
②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔f (x )在[a ，b ]上是增(减)函数.]定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2＜0，若f (2x ＋1)≤f (x －1)，则x 的
取值范围为________.
解析 由f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2＜0知函数f (x )为减函数，
所以2x ＋1≥x －1，解得x ≥－2. 答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可以用逗号或“和”]函数f (x )＝x ＋1
x 的单调递增区间为________.
解析 由f (x )图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
(3)[函数单调区间为[a ，b ]，若f (x )在[c ，d ]上是单调函数，则有[c ，d ]⊆[a ，b ]]函数f (x )＝x 2－2a ＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.
解析f(x)递增区间为[a，＋∞)，由f(x)在[2，＋∞)递增知a≤2.
答案(－∞，2]
1.函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
►奇偶性两个性质.
(4)[若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称]若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析由定义域关于原点对称得a－1＋2a＝0，解得a＝1
3
，即f(x)＝1
3x
2＋bx＋b
＋1，又f(x)为偶函数，由f(－x)＝f(x)得b＝0.
答案1
30
(5)[若函数f(x)为奇函数且在原点有意义，则f(0)＝0]函数f(x)＝a－
2
2x＋1
是奇函数
的充要条件是a＝______.
解析由f(x)为奇函数且x∈R知f(0)＝a－
2
20＋1
＝0，解得a＝1.
答案 1
函数的单调性解题方法
求函数的单调性或单调区间的方法
(1)利用已知函数的单调性.
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
(5)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.
(6)利用函数的性质：如：
①当k＞0时，y＝kf(x)与y＝f(x)单调性相同，当k＜0时，y＝kf(x)与y＝f(x)单调性相反.
②y＝
1
f（x）
与y＝f(x)单调性相反(此时只能f(x)＞0或只有f(x)＜0).
③若y＝f(x)，y＝g(x)都为增(减)函数，则y＝f(x)＋g(x)为增(减)函数；
若y＝f(x)为增函数，y＝g(x)为减函数，则y＝f(x)－g(x)为增函数，y＝g(x)－f(x)为减函数.
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)求函数值域或最值.常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法.
(2)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(3)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(4)利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函
数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
【例1】 (2016·河北衡水月考)函数f (x )＝log 1
2(x 2－x －2)的单调递增区间为( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ C.(－∞，－1)
D.(2，＋∞)
解析 由x 2－x －2＞0得x ＜－1或x ＞2，又u ＝x 2－x －2在(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y ＝log 1
2u 为减函数，故f (x )的单调递增区间为 (－∞，－1).故选C. 答案 C
[点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定义域内求解.
函数的奇偶性解题方略
奇偶性的判断 (1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
若f(x)，g(x)在其公共定义域上具有奇偶性，则奇＋奇＝奇；奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
函数奇偶性的应用
重点类型解决方法
求函数值或解析式
把待求值或自变量x利用奇偶性转化为已知区间的函数值
或解析式求解.
求参数值
利用待定系数法求解.根据f(－x)＝±f(x)得到关于待求参数
的恒等式，由系数的对等性得参数的值.
解决有关函数图象
的问题
利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴
对称，画出另一半对称区间上的图象.
奇偶性与其他性质
的综合应用
(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关
于原点对称的区间上单调性相反
(2)在利用函数的性质求函数值或比较函数值的大小时，要综
合利用函数的周期性与奇偶性，把自变量化归到已知区间
中，然后根据相关的性质求解.
【例2】(1)下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的函数是()
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝2|x|
C.f(x)＝log2
1
|x| D.f(x)＝sin 2x
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是______.
解析(1)函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log21
|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin 2x是奇函数，不合题意，故选C.
(2)由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，
所求解集为(－∞，1]∪[3，＋∞).
答案(1)C(2)(－∞，1]∪[3，＋∞)
[点评]解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2)的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|；
(3)若f (x ＋a )＝
1
f （x ）
，则函数的周期为2|a |； (4)若f (x ＋a )＝－1
f （x ），则函数的周期为2|a |.
2.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
【例3】 (2015·四川眉山一中模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝______.
解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋32＝f (x ).
∴f (x )是以3为周期的周期函数. 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案 2
[点评] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.
函数性质的综合应用问题解题策略
【示例】 函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2). (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明；
(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. [解题指导]
解 (1)令x 1＝x 2＝1，
有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，
有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x ).∴f (x )为偶函数. (3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3. 由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64).(*) ∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |).
∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64). 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64， 且(3x ＋1)(2x －6)≠0.
解得－73≤x <－13，或－1
3<x <3，或3<x ≤5.
∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－1
3，
或－1
3<x <3，或3<x ≤5}.
[方法点评] (1)要有明确的语言表示.如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”. (2)要写明转化的条件.如本例中：∵f (x )为偶函数， ∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64).
(3)转化的结果要等价.如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了.
全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题1，6，
能力题10，11. 专项基础测试 模拟精选题
一、选择题
1.(2016·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( ) A.－4 B.4 C.－6
D.6
解析 由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1， f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4. 答案 A
2.(2015·洛阳市统考)设f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，若f (x )在[－2，0]上单调递减，则使f (a 2－a )＜0成立的实数a 的取值范围是( ) A.[－1，2] B.[－1，0)∪(1，2] C.(0，1)
D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 ∵f (x )是[－2，2]上的奇函数，∴f (0)＝0，f (a 2－a )＜0＝f (0)，
又∵f (x )在[－2，0]上单调递减，∴f (x )在[0，2]也单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，－2≤a 2－a ≤2，
即a ∈[－1，0)∪(1，2]. 答案 B
3.(2016·郑州质量预测)已知f (x )，g (x )是定义域为R 的不恒为零的函数，其中f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则下列说法不正确的是( )
A.函数|f (x )|为偶函数
B.函数－g (－x )为奇函数
C.函数f [g (x )]为偶函数
D.函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数
解析 对于选项A ，|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，即函数|f (x )|为偶函数，A 正确；对于选项B ，－g [－(－x )]＝－g (x )＝－g (－x )，所以函数－g (－x )为偶函数，B 错误；对于选项C ，f [g (－x )]＝f [g (x )]，所以函数f [g (x )]为偶函数，C 正确；对于选项D ，f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )，所以函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数，D 正确. 答案 B
4.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x ).若f (x )在[－1，0]上是减函数，则函数f (x )在[1，3]上( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减
D.先减后增
解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为2.又f (x )在[－1，0]上是减函数且f (x )是偶函数，所以f (x )在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数，在 [2，3]上是增函数，故函数f (x )在[1，3]上先减后增. 答案 D
5.(2014·荆州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.a ＞b ＝c
B. b ＞a ＝c
C.b ＞c ＞a
D.a ＞c ＞b
解析 依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0， 又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是f (1
2)＞f (0)＝f (2)＝f (3)， 即a ＞b ＝c . 答案 A
6.(2015·山西太原模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈⎝ ⎛
⎦
⎥
⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (x )在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32内是( )
A.减函数且f (x )>0
B.减函数且f (x )<0
C.增函数且f (x )>0
D.增函数且f (x )<0
解析 由f (x ＋1)＝f (－x )可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1
2对称，又函数f (x )为奇函数，故f (x ＋1)＝f (－x )＝－f (x )，
∴f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，又当x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，故可得到函数f (x )的大致图象如图所示.由图象可知选B. 答案 B 二、填空题
7.(2016·湖南四大名校3月联考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x >0），
g （x ） （x <0），若f (x )为奇函数，
则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14的值为________.
解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＝－log 214＝－log 22－2＝2. 答案 2
创新导向题
函数奇偶性与单调性的判断
8.下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为( ) A.y ＝1
x B.y ＝e －x －e x
2 C.y ＝sin x
D.y ＝lg x
解析 y ＝1
x ，y ＝sin x 是奇函数，但在其定义域内不是减函数；函数y ＝e －x －e x 2是奇函数，且在定义域内是减函数；函数y ＝lg x 是非奇非偶函数，故选B. 答案 B
利用奇偶性与单调性解不等式
9.定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)<f (ln x ＋1)，则x 的取值范围是________.
解析 由题意f (1)<f (|ln x ＋1|)，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增得|ln x ＋1|>1，即ln x ＋1>1或ln x ＋1<－1，解得x >1或0<x <1
e 2. 答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，1e 2∪(1，＋∞)
专项提升测试 模拟精选题
一、选择题
10.(2016·云南省名校统考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝ f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时f (x )＝2x ＋1
5，则f (log 220)＝( ) A.－1 B.4
5 C.1
D.－45
解析 ∵x ∈(0，1)，－x ∈(－1，0)， ∴f (－x )＝2－x ＋1
5＝－f (x )，
即f (x )＝－2－x －1
5，x ∈(0，1).由f (x －2)＝f (x ＋2)，可得f (x )＝f (x －4). ∵4＜log 220＜5，∴0＜log 220－4＜1， ∴f (log 220)＝f (log 220－4) ＝－2－(log 220－4)－1
5＝－1. 答案 A
11.(2016·日照诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m ＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln m n －2f (1)<0，则n m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e C.(e ，＋∞) D.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)
解析 因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n ＝f (－ln n m )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln n m .于是，原不等式可化为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m <f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m <f (1)，由函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
ln n m >1，即ln n m >1或ln n m <－1，解得n m >e 或0<n m <1e .故n m 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞).
答案 D 二、填空题
12.(2015·湖南长沙二模)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：
①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为________. 解析 由②知f (x )的周期为4， 由③知f (x )在[1，3]上为减函数，
∴f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)＝f (2)，f (2 013)＝f (1)， ∴f (1)＞f (2)＞f (3)，
即f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011). 答案 f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)
13.(2014·山东青岛模拟)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1).已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x
，则
①2是f (x )的周期；②f (x )在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③f (x )的最大值为1，最小值为0；④当x ∈(3，4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3
.
其中正确命题的序号是________.
解析 由已知条件得f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2，①正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x
，
函数y ＝f (x )的图象如图所示，则②正确，③错误；。