2020版高考数学刷题小卷练：23 Word版含解析

刷题小卷练23 不等式的性质及一元二次不等式
小题基础练○23
一、选择题
1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )
A ．ac >bd
B ．ac <bd
C ．ad <bc
D ．ad >bc
答案：B
解析：根据c <d <0，有－c >－d >0，由于a >b >0，故－ac >－bd ，ac <bd ，
故选B.
2．[2019·河南信阳月考]对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；③若a >b ，c >d
，则ac >bd ；④若a >b ，则1a >1
b
.其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：B
解析：因为ac 2>bc 2，可见c 2≠0，所以c 2>0，所以a >b ，故①正确．因为a >b ，c >d ，所以根据不等式的可加性得到a ＋c >b ＋d ，故②正确．对于③和④，用特殊值法：若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝bd ，故③错误；若a ＝2，b ＝0，则1
b
无意义，故④错误．综上，正确的只有①②，故选
B. 3．[2019·南宁二中、柳州高中两校联考
(二)]设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是( )
A ．ac 2
>bc 2
B.a
b
>1
C ．a －c >b －c
D ．a 2>b 2
答案：C
解析：当c ＝0时，ac 2
＝bc 2
，所以选项A 错误；当b ＝0时，a
b
无意义，
所以选项B 错误；因为a >b ，所以a －c >b －c 恒成立，所以选项C 正确；当
a ≤0时，a 2<
b 2，所以选项D 错误．故选C.
4．[2019·榆林调研]不等式2x 2－x －3>0的解集是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－32，1 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪
⎫
32，＋∞ C.⎝
⎛⎭⎪
⎫－1，32 D.⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，－32∪(1，＋∞)
答案：B
解析：2x 2
－x －3>0可化为(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >3
2
或x <－1，所以不
等式2x 2－x －3>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，＋∞.故选B.
5．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B
，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－3
答案：D 解析：由题意得，不等式x 2－2x －3<0的解集A ＝(－1,3)，不等式x 2＋x －6<0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b <0的
解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.
6．不等式
x
2x －1>1的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12，1 B ．(－∞，1)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫
－∞，12∪(1，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12，2 答案：A
解析：原不等式等价于
x
2x －1
－1>0，即错误!>0，整理得错误!<0， 不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得1
2
<x <1.故选A.
7．[2019·
成
都
一
诊]若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值
范围为( )
A ．(0，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．[0，＋∞)
答案：B 解析：解法一 当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x >0时，x 2＋2ax
＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2
＋1)⇒2a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，又－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝
1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．
解法二 设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a . 当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1>0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒
成立；
当－a >0，即a <0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2
－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a <0.
综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．
8．[2019·安徽蒙城、淮南等
“
五校”联
考]在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的
取值范围是( )
A ．(－3,5)
B ．(－2,4)
C ．[－3,5]
D ．[－2,4]
答案：D
解析：关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<x <a ；当a <1时，不等式的解集为a <x <1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－
2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D.
二、非选择题
9．[2019·
长
春
监
测
]已知角α，β满足－
π2
<α－β<π
2
，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是______________．
答案：(－π，2π)
解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则
⎩⎨⎧ m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧
m ＝2，n ＝1.
因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－
π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.
10．[2019·
全
国
名
校
大
联
考]不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________．
答案：{x |－a <x <3a }
解析：∵x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )·(x ＋a )<0，a >0，∴－a <3a ，则不等
式的解集为{x |－a <x <3a }．
11．给出下列四个命题： ①若a >b ，c >d ，则a －d >b －c ；
②若a 2x >a 2y ，则x >y ；
③若a >b ，则1
a －
b >1
a
；
④若1a <1
b
<0，则ab <b 2.
其中正确的命题是______________．(填所有正确命题的序号)
答案：①②④
解析：因为a >b ，c >d ，所以－d >－c ，由同向不等式的可加性得a －d >b －c ，故①正确；因为a 2x >a 2y ，所以a 2>0，所以x >y ，故②正确；当b ＝0时，不等式不成立，故③不正确；因为1a <1
b
<0，所以b <a <0，所以ab <b 2，
故④正确．
12．[2019·
江
苏
无
锡
一
中
月
考]若关于x 的方程(m －1)·x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数的平方
和不大于2，则m 的取值范围为________．
答案：{m |0<m <1或1<m ≤2} 解析：根据题意知方程是有两个根的一元二次方程，所以m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)·(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.由根与系数
的关系得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x1＋x2＝m －21－m
，
x1·x2＝1
1－m ，
因为
1x1
＋
1x2
＝
x1＋x2x1x2
＝m －2，所以
1x21
＋
1
x22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x1＋1x22－2
x1x2
＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．
课时增分练○23
一、选择题
1．[2019·河南月考]若1b <1
a
<0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab >b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |
答案：A
解析：由1b <1
a
<0可得a <b <0，所以a 2>b 2，故A 错，故选A.
2．[2019·
豫
西
南
联
考]如果a >0>b 且a 2>b 2，那么以下不等式中正确的个数是( )
①a 2
b <b 3
；②1a >0>1
b
；③a 3<ab 2.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案：C
解析：因为a 2>b 2，b <0，所以a 2b <b 3，故①正确；因为a 2>b 2，a ＞0，所以a 3>ab 2，故③错误；所以正确的个数为2，故选C.
3．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关
系是( )
A ．M <N
B ．M >N
C ．M ＝N
D ．不确定
答案：B 解析：∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)
又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N .
4．[2019·
广
州
模
拟]已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a
>0的解集为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬
⎫x －12
<x<－13 B.⎩
⎨⎧⎭⎬
⎫xx>－13或x<－12 C ．{x |－3<x <2}
D ．{x |x <－3或x >2}
答案：A
解析：由题意得错误!解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0
为－6x 2
－5x －1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x －12
<x<－13，故选
A.
5．[2019·
浙
江
名
校
协
作
体
月
考]以方程x 2＋px ＋1＝0的两根为三角形两边之长，第三边长为2，则实数p
的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)
B ．(－∞－2]∪[2，＋∞)
C ．(－2
2，2
2)
D ．(－22，－2)
答案：D
解析：设三角形的三边分别为a ，b ，c .
由题意可知⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＝－p ，ab ＝1，
Δ＝p2－4>0，
a ＋
b >2，|a －b |<2，
所以p <－2，|a －b |2＝(a ＋b )2－4ab ＝p 2－4<4， 解得－2
2<p <22，所以－22<p <－2，故选D. 6．[2019·
贵
州
贵
阳
适
应
性
考
试]不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解
集为( )
A.⎩
⎨⎧⎭⎬
⎫xx<－1或x>12 B.⎩
⎨⎧⎭⎬
⎫x －1<x<12 C ．{x |－2<x <1}
D ．{x |x <－2或x >1}
答案：A
解析：由题意，知ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b
a ，－1×2＝2
a ，解得a ＝－1，
b ＝1，则不等式2x 2＋bx ＋a >0，即2x 2＋x
－1>0，则不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
xx<－1或x>12，故选A.
7．[2019·
河
南
洛
阳
诊
断]若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤
－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝
⎛⎦⎥
⎤
－∞，－235 答案：B
解析：由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等
式在区间[1,5]上有解的充要条件是错误!解得－错误!≤a ≤1，故选B.
8．已知函数f (x )＝x 2
－2ax ＋a 2
－1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集
是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)
答案：C
解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1＝x 2－2ax ＋(a ＋1)(a －1)＝[x －(a －1)][x －(a ＋1)]，由f (x )<0，得a －1<x <a ＋1，则由f (f (x ))<0可得a －1<f (x )<a ＋1.又f (x )＝(x －a )2－1，所以当x ＝a 时，f (x )取得最小值－1，所以函数f (x )＝(x －a )2－1的值域为[－1，＋∞)．若原不等式的解集为空集，则不等式a －1<f (x )<a ＋1的解集为空集，所以(a －1，a ＋1)与函数f (x )＝(x －a )2－1的
值域[－1，＋∞)的交集为空集，所以a ＋1<－1，a <－2.
二、非选择题
9．[2019·皖南八校联考]不等式5－x
x －1
≥0的解集是______________．
答案：{x |1<x ≤5}
解析：原不等式可化为x－5
x－1
≤0，解得1<x≤5.
10．[2019·河南豫北豫南名校精英联
赛]不等式x2－3|x|＋2>0的解集是______________．
答案：(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)
解析：由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2>0，解得|x|<1或|x|>2，
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．11．已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1
的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>1
2
，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即错误!
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的m.。