雁山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

雁山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A ．2=1
B ．2=1
C ．2=2
D ．2=2
2． 若集合A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|1＜x ＜3} C ．{x|1＜x ＜2} D ．{x|x ＞1}
3． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
4． 复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5． 若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）
6． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7
7． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
8． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
9． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）
A
．该几何体体积为 B
．该几何体体积可能为 C
．该几何体表面积应为
+ D ．该几何体唯一
10．
已知函数()sin f x a x x =关于直线6
x π
=-对称 , 且12()()4f x f x ⋅=-,则12x x +的最小值为
A 、
6π B 、
3
π
C 、
56π D 、23π 11．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A
．
＞
B
．
＞
C ．|a|＞|b|
D ．a 2＞b 2
12．函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，则12x x +的值为__________．
14．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
15．若关于x ，y
的不等式组（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
k= ． 16．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0
，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
17．设某双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .
18．在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，
点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈， 则2λμ-的取值范围是___________．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60o
ABC ∠=，侧面PDC 为等边三角形，
且与底面ABCD 垂直，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PA ⊥DM ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值．
20．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2
ABC π
∠=
，AD =33AB DC ==．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．
21．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数
y=的图象上．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2
）设，T n 是数列{b n }的前n
项和，求：使得
对所有n ∈N *
都成立的最大正整数m ．
22．函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，函数的解析式为f （x ）
=﹣1． （1）用定义证明f （x ）在（0，+∞）上是减函数； （2）求函数f （x ）的解析式．
A
B
C
D
P
23．已知数列{a n }的首项a 1=2，且满足a n+1=2a n +3•2n+1，（n ∈N *）． （1）设b n =
，证明数列{b n }是等差数列；
（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．
24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）求||||PB PA ⋅的最值.
雁山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=
，
∴圆的方程为2
=2．
故选：D ．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
2． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}， ∴A ∩B={x|2＜x ＜3}， 故选：A ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 4． 【答案】A
【解析】解：∵z=
=
=+i ，
∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．
故选A ．
【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．
5． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f （x ）也是增函数， 又∵f （﹣3）=0， ∴f （3）=0
∴当x ∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f （x ）＜0；当x ∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f （x ）＞0； ∴（x ﹣2）•f （x ）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A ．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

故选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

7． 【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos （45°﹣15°） =cos30°
=
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8． 【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20
=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．
9． 【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为
的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•
（×1×1）
+•
（）2
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
10．【答案】D
【解析】
：()sin )(tan f x a x x x ϕϕ==-=
12(),
()()46
3
f x x k f x f x π
π
ϕπ=-
∴=+
⋅=-对称轴为
112212min
522,2,6
6
3
x k x k x x π
π
πππ∴=-
+=
+∴+=
11．【答案】A
【解析】解：∵a ＜b ＜0，
∴﹣a ＞﹣b ＞0，
∴|a|＞|b|，a 2＞b 2
，
即
，
可知：B ，C ，D 都正确， 因此A 不正确． 故选：A ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=x 3的导数为f'（x ）=3x 2
，由f ′（x 0）=0，得x 0=0，但此时函数f （x ）单调递增，无极值，充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若x=x 0是f （x ）的极值点，则f ′（x 0）=0成立，即必要性成立， 故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
二、填空题
13．【答案】56 27
【解析】
14．【答案】[﹣1，3]．
【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．15．【答案】﹣1或0．
【解析】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：
kx ﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx ﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）
由关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直，此时k=0或直线kx ﹣y+1=0与y=x 垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x 垂直，是解答的关键．
16．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y ＝－3x ＋z ＋m 与直线y ＝－3x 平行，且在y 轴上的截距最小时，z 才能取最小值，此时l 经过直线2x －y ＋2＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （－1，0），z min ＝3×（－1）＋0＋m ＝－3＋m ＝1， ∴m ＝4.
答案：4
17．【答案】15
42
2=-x y
【解析】
试题分析：由题意可知椭圆
136
272
2=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()
()()
4340153401522
2
2
2
=++--
-+-=
a ,故2=a ，5492=-=
b ，故所求双
曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15
42
2=-x y ． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 18．【答案】[]1,1- 【解析】
考
点：向量运算．
【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
三、解答题
19．【答案】
【解析】由底面ABCD 为菱形且60o
ABC ∠=，∴ABC ∆，ADC ∆是等边三角形， 取DC 中点O ，有,OA DC OP DC ⊥⊥，
∴POA ∠为二面角P CD A --的平面角， ∴90o
POA ∠=．
分别以,,OA OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，
则(0,1,0),(0,1,0)A P D B C -． …… 3分
（Ⅰ）由M为PB
中点，M ∴3
(
DM=
(3,0,3),
PA=-0),0,
DC PA DM PA DC
=∴==
∴PA⊥DM……6分
（Ⅱ）由(0,2,0)
DC=，0
PA DC
⋅=，∴PA⊥DC，
∴平面DCM的法向量可取(3,0,
PA=……
(0,1,
PC=，设直线PC与平面DCM所成角为θ
则sin|cos,|||
4
||||6
PC PA
PC PA
PC PA
θ
⋅
=<>===．
即直线PC与平面DCM所成角的正弦值为
4
．……12分
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当1
3
PE PB
=时，//
CE平面PAD.
设F为PA上一点，且1
3
PF PA
=，连结EF、DF、EC，
那么//
EF AB,1
3
EF AB
=.
∵//
DC AB，1
3
DC AB
=，∴//
EF DC，EF DC
=，∴//
EC FD．
又∵CE⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴//
CE平面PAD．（5分）
（Ⅱ）设O、G分别为AD、BC的中点，连结OP、OG、PG，
∵PB PC
=，∴PG BC
⊥，易知OG BC
⊥，∴BC⊥平面POG，∴BC OP
⊥．
又∵PA PD
=，∴OP AD
⊥，∴OP⊥平面ABCD．（8分）
建立空间直角坐标系O xyz
-（如图），其中x轴//BC，y轴//AB，则有(1,1,0)
A-,(1,2,0)
B, (1,2,0)
C-．由(6)(2
PO==-=知(0,0,2)
P．（9分）
设平面PBC的法向量为(,,)
n x y z
=，(1,2,2)
PB=-,(2,0,0)
CB=
u r
则
n PB
n CB
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
即
220
20
x y z
x
+-=
⎧
⎨
=
⎩
，取(0,1,1)
n=.
设直线PA与平面PBC所成角为θ，(1,1,2)
AP=-
u u u r
，则||3
sin|cos,|
2
||||
AP n
AP n
AP n
θ
⋅
=<>==
⋅
，
∴
3
π
θ=，∴直线PB与平面PAD所成角为
3
π
. （13分）
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意知：S n =n 2
﹣n ，
当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=3n ﹣2， 当n=1时，a 1=1，适合上式， 则a n =3n ﹣2； （2）根据题意得：b n ==
=
﹣
，
T n =b 1+b 2+…+b n =1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
，
∴{T n }在n ∈N *
上是增函数，∴（T n ）min =T 1=，
要使T n ＞对所有n ∈N *
都成立，只需
＜，即m ＜15，
则最大的正整数m 为14．
22．【答案】
【解析】（1）证明：设x 2＞x 1＞0，∵f （x 1）﹣f （x 2）=（
﹣1）﹣（
﹣1）=
，
由题设可得x 2﹣x 1＞0，且x 2•x 1＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故f （x ）在（0，+∞）上是减函数． （2）当x ＜0时，﹣x ＞0，f （﹣x ）=
﹣1=﹣f （x ），∴f （x ）=+1．
又f （0）=0，故函数f （x ）的解析式为f （x ）=．
23．【答案】 【解析】解：（1）∵=
，
∴数列{b n }是以为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，
∴
①
②
①﹣②得：
，
∴
．
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．
24．【答案】（1）
12
22
=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. 【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧==αα
sin cos 2y x （α为参数），消去参数α
得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分）
（2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分）
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1
[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+=
=⋅θθθt t PB PA . ∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. （10分）
考点：参数方程化成普通方程．。