上海民办交华中学八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(含答案)

一、选择题
1．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（）
A．7 B．10 C．6 D．5A
解析：A
【分析】
当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=1
2
AD，由AD＝14，求出
即可．
【详解】
解：当EP⊥BC时，EP最短，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，∴EP=EA，
同理，EP=ED，
此时，EP=1
2
AD=
1
2
×14=7，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．30°B
解析：B
【分析】
由SAS证明△BDE≌△CFD，得出∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
【详解】
解：在△BDE 与△CFD 中，
BD CF B C BE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BDE ≌△CFD （SAS ）；
∴∠BDE=∠CFD ，
∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF ）=180°-（∠CFD+∠CDF ）=180°-（180°-∠C ）=50°； 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 3．下列说法正确的（ ）个．
①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1
＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3B
解析：B
【分析】
根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．
【详解】
解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；
②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；
③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1
＜3.2，因此③正确；
④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；
所以正确的只有③，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．
4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）
A ．HL
B ．SAS
C ．SSS
D ．ASA C
解析：C
【分析】 根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC 和△ONC 中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
5．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为
( )
A ．40︒
B ．45︒
C ．50︒
D ．55︒A
解析：A
【分析】 由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．
【详解】
解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，
∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，
∴ ()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠
()1802OBC OCB =︒-∠+∠
()1802180BOC =︒-⨯︒-∠
()1802180110︒=︒-⨯-︒
40=︒．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
6．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4D
解析：D
【分析】 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
共四处，
故选：D ．
．
【点睛】
此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．
7．下列说法不正确的是（）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；
D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
8．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且
OD=2，△ABC的面积是（）
A．20 B．24 C．32 D．40A
解析：A
【分析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F；然后利用角平分线定理可得OF=OE=DO=2,然后用S△ABC=S△AOC+S△OBC+S△ABO求解即可．
【详解】
解：如图:连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F,
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE,OF=OD,即OF=OE=DO=2,
∴S△ABC=1
2×2AC+
1
2
×2BC +
1
2
×2AB
=1
2
×2（AC+BC+AB）
= AC+BC+AB
=20．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线定理，正确作出辅助线、利用角平分线定理得到OF=OE=DO=2是解答本题的关键．
9．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：
①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④D
解析：D
【分析】 易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，
∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，
∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，
∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 是等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
故③正确；
作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：
∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG
=⎧⎨
=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，
∴BG=BF ，
在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩
∴△CEG ≌△AFE ，
∴ AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 10．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b B
解析：B
【分析】 在线段AC 上作AF=AB ，证明△AEF ≌△AEB 可得∠AFE=∠B ，∠AEF=∠AEB ，再证明△CEF ≌△CED 可得CD=CF ，即可求得四边形ABDC 的周长．
【详解】
解：在线段AC 上作AF=AB ，
∵AE是BAC
∠的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵AE CE
⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵
D CFE
CEF CED
CE CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b+，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题
11．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．
100°【分析】根据全等三角形对应角相等
可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理
解析：100°
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．
【详解】
解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，
1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，
23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，
1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，
DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），
1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，
2100α∴∠=∠=︒．
故答案为：100︒．
【点睛】
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．
12．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆
BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．
5【分析】根据题意证明利用证明根据全等三角形的性质得到
米再利用时间=路程÷速度计算即可【详解】解：∵∴又∵∴∴在和中∴∴米（米）∵该人的运动速度他到达点M 时运动时间为s 故答案为5【点睛】本题考查了全
解析：5
【分析】
根据题意证明C DMB ∠=∠，利用AAS 证明ACM BMD ≌，根据全等三角形的性质得到12BD AM =
=米，再利用时间=路程÷速度计算即可．
【详解】
解：∵90CMD ∠=︒，
∴90CMA DMB +=︒∠∠，
又∵90CAM ∠=︒，
∴90CMA C ︒∠+∠=，
∴C DMB ∠=∠，
在 Rt ACM △和Rt BMD △中， A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()Rt ACM Rt BMD AAS ≌，
∴12BD AM ==米，
221210BM =-=（米），
∵该人的运动速度2m/s ，
他到达点M 时，运动时间为5210=÷s ．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt ACM Rt BMD ≌．
13．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．
5【分析】作DF⊥AB于F根据角平分线的性质得
到DE=DF根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DF⊥AB于
F∵BD平分∠ABCDE⊥BCDF⊥AB∴DE=DF∴×AB×DF+×BC×DE=
解析：5
【分析】
作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可；【详解】
如图：作DF⊥AB于F，
∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
∴1
2×AB×DF+
1
2
×BC×DE=ABC
S
∆
，
即1
2
×AB×2+
1
2
×7×2=12，
解得：AB=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；14．如图，ABC ADE
≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若120
EAB
∠=︒，30
B
∠=︒，10
CAD
∠=︒，则CFD
∠=________︒．
95【分析】根据全等三角形的
性质得∠BAC=∠DAE结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
≅，
解：∵ABC ADE
∴()
∠=∠=-÷=，
12010255
BAC DAE
∴85
∠=∠+∠=，
ACF BAC B
∴18085
∠=-∠-∠=，
CFA ACF CAD
∴1808595
CFD
∠=-=．
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．
8cm或15cm【分析】分情况讨论：①AP＝BC＝8cm时
Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时Rt△ABC≌Rt△PQA （HL）此时AP＝AC＝15cm【详解】解：①当P运动
解析：8cm 或15cm
【分析】
分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时，Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；
②当P 运动到与C 点重合时，Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），此时AP ＝AC ＝15cm ．
【详解】
解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：
在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，AB QP BC PA
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ），
即AP ＝B ＝8cm ；
②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：
在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，
AB PQ AC PA =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），
即AP ＝AC ＝15cm ．
综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．
故答案为：8cm 或15cm ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
16．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．
3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到
∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得
△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A
解析：3
【分析】
由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD ，
在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；
∴BE=CD ，CE=AD=9．
∵DC=CE-DE ，DE=6，
∴DC=9-6=3，
∴BE=3．
故答案为：3
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．
3【分析】过点D 作于点H 先证明BD 是的角平分线
然后根据角平分线的性质得到当点P 运动到点H 的位置时DP 的长最小即DH 的长【详解】解：如图过点D 作于点H ∵∴∵∴∴BD 是的角平分线∵∴∵点D 是直线BC 外一
解析：3
【分析】
过点D 作DH BC ⊥于点H ，先证明BD 是ABC ∠的角平分线，然后根据角平分线的性质得到3AD DH ==，当点P 运动到点H 的位置时，DP 的长最小，即DH 的长．
【详解】
解：如图，过点D 作DH BC ⊥于点H ，
∵BD CD ⊥，
∴90BDC ∠=︒，
∵180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒，180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒，ADB C ∠=∠，90A ∠=︒，
∴ABD CBD ∠=∠，
∴BD 是ABC ∠的角平分线，
∵AD AB ⊥，DH BC ⊥，
∴3AD DH ==，
∵点D 是直线BC 外一点，
∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长，即DP 长的最小值是3．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质定理．
18．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．22【分析】由三角形全等性质可得mn 中有一边为5pq 中有一边为3mn 与pq 中剩余两边相等再由
三角形三边关系可知mn与pq中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q的最大值【详解】∵△ABC≌△DE
解析：22
【分析】
由三角形全等性质可得m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m、n与p、q中剩余两边最大为7，如此即可得到
m+n+p+q的最大值．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴m、n中有一边为5，p、q中有一边为3，m、n与p、q中剩余两边相等，
∵3+5=8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7=22．
【点睛】
本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键．
19．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，-3），AB的长为12，则△ABD的面积是_____
18【分析】过点D作DE⊥AB于点E由角平分
线的性质可得出DE的长再根据三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E∵D（0-3）∴OD=3∵AD是Rt△OAB的角平分线
OD⊥O
解析：18
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得出DE的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵D （0，-3）
∴OD=3，
∵AD 是Rt △OAB 的角平分线，OD ⊥OA ，DE ⊥AB ，
∴DE=OD=3，
∴S △ABD =12AB•DE=12
×12×3=18． 故答案为：18．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．
或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论
通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确
解析：1或
72
【分析】
对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；
【详解】
如图1所示：
PEC ∆与QFC ∆全等，
PC QC ，
683∴-=-t t ，
解得:1t =；
如图2所示：
点P 与点Q 重合， PEC 与QFC ∆全等，
638∴-=-t t ，
解得:72t =； 故答案为:1或
72
． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
21．如图，在五边形ABCDE 中，AB DE =，AC AD =．
（1）请你添加一个与角有关的条件，使得ABC DEA ≌，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，求BAE ∠的度数．
解析：（1）添加一个角有关的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌，理由见解析；（2）BAE ∠的度数为135︒．
【分析】
(1)根据已知条件，选择SAS 原理，可确定添加的角；
(2)利用三角形全等，∠B 的度数，可求∠BAC+∠DAE ，问题可解.
【详解】
（1）添加一个角方面的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌.
在ABC 和DEA △中
∵AB DE =，BAC EDA ∠=∠，AC DA =，
∴()SAS ABC DEA ≌
△△； （2）在（1）的条件下∵
ABC DEA ≌，
∴ACB DAE ∠=∠，
若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，
则18070ACB BAC B ∠+∠=︒-∠=︒，
∴70DAE BAC ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴7065135BAE DAE BAC CAD ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，
即BAE ∠的度数为135︒.
【点睛】
本题考查了三角形全等，熟练掌握全等三角形判定原理和性质是解题的关键.
22．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．
（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；
（2）若1GF =，求线段HC 的长．
解析：（1）见详解；（2）1
【分析】
（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌；
（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅
∆DCH ，进而即可求解． 【详解】
（1）∵AF CD =，
∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，
在Rt ABC 与Rt DEF △中，
∵AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；
（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，
∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，
∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，
∴∠AFG=∠DCH ，
又∵AF CD =，
∴∆AFG ≅∆DCH ，
∴HC=GF =1．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．
23．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．
（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；
（2）求证：点О为BF 的中点．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知可证∠B=∠F ，BC=EF ，然后根据SAS 可以得到结论；
（2）同（1）有∠B=∠F ，再结合已知条件和对顶角相等可以证得ΔABO ≅
ΔDFO ，从而得到OB=OF ，所以点O 为BF 中点 ．
【详解】
证明：（1）∵AB//DF ，
∴∠B=∠F ，
∵BE=CF ，
∴BE+CE=CF+CE ，即BC=EF ，
∴在ΔABC 和ΔDFE 中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABC ≅ΔDFE （SAS ）；
（2）与（1）同理有∠B=∠F ，
∴在ΔABO 和ΔDFO 中，AOB DOF B F AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABO ≅ΔDFO （AAS ），
∴OB=OF ，
∴点O 为BF 中点 ．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质并灵活应用是解题关键． 24．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．
解析：3
【分析】
根据同角的余角相等可得EBC DCA ∠=∠，根据“AAS”可证CEB △≌ADC ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．
【详解】
解：∵BE CE ⊥，AD CE ⊥，
∴90E ADC ∠=∠=︒，
∴90EBC BCE ∠+∠=︒．
∵90BCE ACD ∠+∠=︒，
∴EBC DCA ∠=∠．
在CEB △和ADC 中，
E ADC EBC ACD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴CEB △≌ADC （AAS ），
∴BE CD =，9AD CE ==，
∴963BE CD CE DE ==-=-=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
25．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且BD 是∠ABC 的角平分线．
求证：AE ＝12
BD ． 解析：见解析
【分析】
如图，延长AE 、BC 交于点F ，构建三角形，证明△ACF ≌△BCD ，即可得出：AF=BD ，求证出AE=AF 即求证△ABE ≌△FBE ，即可求解．
【详解】
证明：如图，延长AE 、BC 交于点F
∵AE ⊥BE ，∠ACB =90°
∴∠BEF =∠BEA =90°,∠ACF =∠ACB =90°
∴∠DBC +∠AFC =∠FAC +∠AFC =90°
∴∠DBC =∠FAC
在△ACF 和△BC D 中
ACF BCD 90AC BC
FAC DBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACF ≌△BCD (ASA)
∴AF =BD ．
∵BD 是∠ABC 的角平分线
∴∠ABE =∠FBE -
在△ABE 和△FBE 中，
BEA BEF BE BE
ABE FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABE ≌△FBE (ASA) ∴12AE EF AF ==
∴12
AE BD = 【点睛】
本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，熟练掌握三角形全等的判定定理，构建三角形是解答本题的关键．
26．已知：如图，AC ＝BD ，BD ⊥AD 于点D ，AC ⊥BC 于点C ．求证：∠ABC ＝∠BAD ．
解析：详见解析
【分析】
利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．
【详解】
∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，
∴∠D=∠C=90︒，
在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，
AB BA BD AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），
∴∠ABC ＝∠BAD ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且
()2
320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．
（1）求证：AO AB =；
（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；
（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵()2
320a b a b +-+-=， ∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩
∴()1,3A ，()2,0B ．
作AE OB ⊥于点E ，
∵()1,3A ，()2,0B ，
∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，
∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴AEO AEB ∆∆≌，
∴OA AB =．
（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，
∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．
在AOC ∆与ABD ∆中，
∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOC ABD ∆∆≌．
（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．
∵OA AB =，
∴AOB ABO α∠=∠=．
由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，
∴ABD AOB α∠=∠=．
∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，
∴OP 长度不变，
∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 28．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC
求证：AB ∥CD
证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠＝∠（等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝
∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
解析：（1）BEF，C，CEF，CD；（2）证明见解析；（3）∠E＝2∠F
【分析】
（1）过点E，作EF∥AB，根据内错角性质即可得出∠B＝∠BEF，利用等量代换即可证出∠C＝∠CEF，进而得出EF∥CD．
（2）如图3，过点N作NG∥AB，交BM于点G，可以知道NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝
∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，进而得出∠BCM+∠CBM＝
∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论．
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
【点睛】
本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。