学文科数学通用练酷专题二轮复习 课时跟踪检测(二十二) 圆锥曲线

课时跟踪检测(二十二） 圆锥曲线
1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C ：x 2
a 2＋错误!＝1(a ＞
b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8,T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－错误!。

(1）求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点M （0，2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求错误!·错误!＋错误!·错误!的取值范围．
解：(1）设T (x ，y )，由题意知A （－4，0），B (4，0),
设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，
则k 1＝错误!，k 2＝错误!.
由k 1k 2＝－错误!，得错误!·错误!＝－错误!，
整理得x 216
＋错误!＝1. 故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1.
（2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)，联立方程错误!消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0。

所以x 1＋x 2＝－错误!，x 1x 2＝－错误!。

从而，错误!·错误!＋错误!·错误!＝x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 2＋（y 1－2）（y 2－2）
＝2（1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2）＋4＝错误!＝－20＋错误!。

所以－20＜错误!·错误!＋错误!·错误!≤－错误!。

当直线PQ的斜率不存在时，OP，―→·错误!＋错误!·错误!的值为－20.
综上，错误!·错误!＋错误!·错误!的取值范围为错误!.
2．（2017·张掖模拟)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的离心率为错误!,右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝错误!a上的任意一点,且(错误!＋错误!)·错误!＝2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A,B两点(点A 在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．
解：（1)设P错误!，又F(c，0），E（a,0），
则错误!＝错误!,错误!＝错误!，错误!＝（c－a,0），
所以（2c－3a）(c－a)＝4。

又e＝c
a＝错误!，所以a＝2，c＝1，b＝错误!，
从而椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1.
(2）证明:由（1)知A错误!，设M（x1，y1)，N(x2，y2），MN的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程错误!＋错误!＝1，
得（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则错误!
又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB ＝∠NAB,则k AM＋k AN＝0，
即错误!＋错误!＝0，则错误!(x2－1）＋错误!（x1－1）＝0,整理得(2k－1)（2m＋2k－3）＝0，得k＝错误!。

故直线MN的斜率为定值错误!。

3．（2017·全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:错误!＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足错误!＝错误!错误!。

（1)求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1.证明：过点P 且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

解：(1)设P(x，y),M（x0，y0)，
则N（x0,0），错误!＝(x－x0，y)，错误!＝（0，y0），
由错误!＝错误!错误!，得x0＝x，y0＝错误!y.
因为M（x0，y0）在椭圆C上，所以错误!＋错误!＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2。

（2)证明：由题意知F（－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则错误!＝(－3，t )，错误!＝（－1－m ，－n )，
OQ ―→·错误!＝3＋3m －tn ,
错误!＝（m ，n ）,错误!＝(－3－m ，t －n ），
由错误!·错误!＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，
又由（1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0。

所以错误!·错误!＝0,即错误!⊥错误!.
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,
所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
4。

(2017·安徽二校联考)已知焦点为F 的抛物线
C 1：x 2＝2py （p ＞0），圆C 2：x 2＋y 2＝1，
直线l 与抛物线相切于点P ,与圆相切于点Q 。

（1)当直线l 的方程为x －y －错误!＝0时，求抛物线C 1的方程；
（2)记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积,求错误!的最小值． 解：(1）设点P 错误!，由x 2＝2py （p ＞0)得,
y ＝错误!，求得y ′＝错误!，因为直线PQ 的斜率为1， 所以x 0p
＝1且x 0－错误!－错误!＝0，解得p ＝2错误!. 所以抛物线C 1的方程为x 2＝4错误!y 。

（2）点P 处的切线方程为y －错误!＝错误!（x －x 0)，
即2x 0x －2py －x 错误!＝0,OQ 的方程为y ＝－错误!x 。

根据切线与圆相切，得错误!＝1， 化简得x 错误!＝4x 错误!＋4p 2,由方程组错误! 解得Q 错误!.所以｜PQ |＝错误!｜x P －x Q |＝错误!错误!＝ 错误!·错误!, 又点F 错误!到切线PQ 的距离
d 1＝错误!＝错误!错误!,
所以S 1＝错误!|PQ ｜d 1
＝12·错误!·错误!·错误! 错误!
＝x 20＋p 2
4p 错误!，
S 2＝错误!｜OF ｜|x Q ｜＝错误!，
而由x 错误!＝4x 错误!＋4p 2知，4p 2＝x 错误!－4x 错误!＞0，得｜x 0|＞2，
所以S 1
S 2＝错误!错误!·错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!＋错误!＋3
≥2错误!＋3，
当且仅当错误!＝错误!时取等号，
即x错误!＝4＋2错误!时取等号，此时p＝错误!.所以错误!的最小值为2错误!＋3.。