【中小学资料】九年级数学下册 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决与最大值或最
2.4 二次函数的应用 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
第二章二次函数2.4二次函数的应用第2课时一、教学目标1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：1．探索销售中的最大利润问题．2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．难点：运用二次函数的知识解决实际问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《生产服装》动画，，.五、教学过程【情境导入】【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．【探究新知】教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．那么销售量可表示为1350005000.1x-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭件．所以销售额为1350005000.1xx-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；所获利润135000500(10)0.1xy x-⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭．整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．答：厂家批发单价是12元时可以获利最多．设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．议一议在本章开始“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x （棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题．解：（1）列表：描点、连线，如下图所示，由图象知，当0≤x≤10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x≥10时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少．（2）由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子的总产量在60400个以上．设计意图：进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【典例精析】例某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？旅馆的客房师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，师生共同完成解题过程．解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440．∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20．当x=2时，y最大=19440．这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．【课堂练习】1．某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位每天可全部租出，若每张床位每天的收费每提高2元，则相应地每天就减少了10张床位的租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使每天租出的床位少且总租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）．A．14元B．15元C．16元D．18元2．某产品进货单价为90元，按每个100元售出时，每周能售出500个，如果这种商品的销售单价每上涨1元，其每周的销售量就减少10个，那么为了获得最大利润，其销售单价应定为（）．A．130元B．120元C．110元D．100元3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？4．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y= -10x+500．（1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．C．2．B．3．销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．4．解：（1）因为单价上涨x元后，每件商品的利润是(80+x-60)元，每月售出的件数为(300-10x)件，所以y与x之间的函数关系式为y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6 000．（2）将y=-10x2+100x+6 000配方，得y=-10(x-5)2+6250．因为a=-10＜0，所以y有最大值．因为300-10x≥0，且x≥0，所以0≤x≤30．所以当x=5时，y有最大值，最大值为6 250．所以当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元．5．解：（1）由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)= -10x2+700x-10 000．当x=7003522(10)ba-=-=⨯-时，w有最大值，符合题意，所以当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000．解这个方程，得x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结利用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意，列出二次函数表达式，注意实际问题中自变量x的取值范围；（2）将二次函数表达式配方为顶点式的形式；（3）根据二次函数的图象及其性质，在自变量的取值范围内求出函数的最值．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.4二次函数的应用（2）1．一般步骤。
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的应用2》公开课课件.ppt
（1）求当28<x≤188时，V关于x的函数表达式；
（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流
量P(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值． y(千米/时） (注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流
量=车流速度×车流密度)
80
o 28
188 x(辆/千米）
解析 设窗框的宽为xm，则窗框的高为 8 - 3 x m，其中 0 x 8
则窗框的透光面积为
2
3
Sx8-3x3x24x,0x8
配方可得
22
3
S3x24x3 （ x4)28.
2
2 33
因0 4 8，
33
故当 x 4 时，S取最大值 8 .这时高为2m.
3
则当窗框的宽为
4
3 m，高为2m时，窗框的透光面积最大，
直角坐标系.设抛物线解析式为：y a x 2 .
已知水面宽4m，拱顶离水面高2m，因此A
（2，-2）在抛物线上，由此得出 2a22 解得 a 1
2 因此，函数表达式为 y 1 x 2，其中| x |是水 面宽度的一半，y是拱顶离水面2 高度的相反数.
由于拱桥跨度为4.9m,因此自变量x的取值范围是：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
九年级数学下册 第1章 二次函数 课题 二次函数的应用(
课题：二次函数的应用(2)——建立二次函数模型解决最大面积或最大利润问题【学习目标】1．分析题目条件，列出解析式，并根据自变量取值范围求最大面积．2．理解销售利润类二次函数解析式列法，并求出最大利润．【学习重点】根据题目条件求出自变量取值范围，并求最大面积或最大利润．【学习难点】根据条件求最大、最小值．情景导入 生成问题情景导入：1．小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，设一边长__x__cm ，则另一边为__(4－x)__cm ，面积为__x(4－x)__cm 2，所围矩形最大面积为__4__cm 2.2．如图，已知平行四边形ABCD 的周长为8cm ，∠B ＝30°.若设边长AB ＝x cm .(1)▱ABCD 的面积y(cm 2)与x(cm )的函数关系式为__y ＝－12x 2＋2x__，自变量x 的取值范围为__0<x<4__； (2)当x 取__2__时，y 的值最大，最大值为__2__．自学互研 生成能力知识模块一 最大面积问题阅读教材P 30～P 31，完成下列问题：1．如何利用二次函数求最大面积？答：(1)分析题中的数量关系；(2)找出等量关系，根据面积公式建立函数模型；(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量取值范围，求出面积的最大或最小值．2．(包头中考)将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm 2.【例1】 如图，利用一面墙(墙长不超过45m )，用80m 长的篱笆围一个矩形场地，当AD ＝__20__m 时，矩形场地面积最大，最大值是__800__m 2.【变例1】 如图所示，是用9m 长的塑钢制作的窗户的窗框，设窗宽为x m ，窗的面积为y m 2，用x 表示y 的函数关系式为__y ＝－32x 2＋92x__，要使制作的窗户面积最大，那么窗户的宽是__32__m ，窗户的最大面积是__278__m 2.【变例2】 (聊城中考)已知△ABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20.(1)写出△ABC 的面积y 与BC 的长x 之间的函数关系式，并求出面积为48时BC 的长；(2)当BC 多长时，△ABC 的面积最大？最大面积是多少？解：(1)y ＝－12x 2＋10x ，解方程48＝－12x 2＋10x ，得x 1＝12，x 2＝8. ∴△ABC 的面积为48时，BC 的长为12或8；(2)将y ＝－12x 2＋10x 配方变形为y ＝－12(x －10)2＋50， ∴当BC ＝10时，△ABC 的面积最大，最大面积为50.知识模块二 最大利润问题求最大利润问题常用公式是什么？答：利润＝销售总金额－总成本＝(售价－进价)×销售量－其他支出．【例2】 某单位商品利润y 元与变化的单价x 之间的关系式为：y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x≤2时，最大利润是__5元__．【变例1】 某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，且y 是x 的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为__160元__．【变例2】 大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．(1)则y 与x 的函数关系式为__y ＝－4x ＋360(40≤x≤90)__；(2)设王强每月获得的利润为P(元)，求P 与x 之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？解：P ＝(x －40)(－4x ＋360)＝－4x 2＋520x －14400(40≤x≤90)，当P ＝2400时，－4x 2＋520x －14400＝2400，解得x 1＝60，x 2＝70，∴销售单价应定为60元或70元．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 最大面积问题知识模块二 最大利润问题检测反馈 达成目标1．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富．经调查得知，若我们把每日租金定为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人．每间住了人的客房每日所需服务、维修等各项支出共计40元．要想赚最多的钱，定价应该为( C )A ．160元B ．240元C ．360元D ．450元2．如图，有长为24m 的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)能围成面积比45m 2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．解：(1)S ＝－3x 2＋24x(143≤x ＜8)；(2)S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，∵143≤x ＜8，当x ＝143时，S 最大值＝1403m 2，∴能围成比45m 2更大鸡舍，最大面积为1403m 2.课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________________________。
湘教版九年级下册数学 第1章 二次函数的应用
所以公司将销售单价定为620元时，每月销售B型活
动板房所获利润最大，最大利润是19200元.
方法点拨： 利用二次函数解决利润最大问题的一般策略：
知1－讲
1. 明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出
二次函数的表达式.
2. 讨论最大值时可借助顶点式y=a(x－h)2+k，然后利用
(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论.
要点解读：
知1－讲
1. 用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容
易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关
系，还要符合实际问题的意义.
2. 在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数
表 达 式 ， 用 配 方 法 把 函 数 表 达 式 化 为 y=a(x －
第1章二次函数
1.5二次函数的应用
1 课时讲解 用二次函数解实际问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 用二次函数解实际问题
知1－讲
1. 常用方法：利用二次函数解决实际问题，首先要建立数 学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存 在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象 和性质去解决问题.
知1－讲
(1)按如图1.5-3①所示的直角坐标系，抛物线可以用 y=kx2+m(k≠0)表示，求该抛物线的表达式；
解题秘方：根据图形及直角坐标系 可得到D，E的坐标， 代入y=kx2+m(k≠0)即可 求解；
解：由题可知D(2，0)，E(0，1)，
易∴抛得物，01线解＝＝的得4mk表，.＋达m式，为y=－xkm2＝+＝1－.1.14， 1 4
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用主要介绍了抛物线形二次函数的相关知识。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用二次函数解决实际问题。
教材通过引入抛物线形二次函数，使学生能够更好地理解二次函数在现实生活中的应用，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于抛物线形二次函数的应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解抛物线形二次函数的概念，掌握其图像特征。
2.能够运用抛物线形二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.抛物线形二次函数的概念及其图像特征。
2.抛物线形二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，使学生掌握抛物线形二次函数的应用方法。
3.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
4.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对抛物线形二次函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生应用抛物线形二次函数解决问题。
3.练习题：准备一些针对性的练习题，用于巩固所学知识。
4.板书设计：设计清晰易懂的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的抛物线现象，如篮球投篮、抛物线飞行等，引导学生关注抛物线形二次函数在现实生活中的应用。
2.呈现（10分钟）介绍抛物线形二次函数的概念，并通过课件展示其图像特征。
九年级数学下册阶段核心归类利用二次函数解实际应用问题的六种常见类型习题新版湘教版
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 解：由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm. 若△ PBQ 是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°， 于是 BQ＝12BP 或 BP＝12BQ，即 t＝12(3－t)或 3－t＝12t. 解得 t＝1 或 t＝2，即当 t 为 1 或 2 时，△ PBQ 是直角三 角形．
的取值范围是 h≥3.025.
3．【中考·十堰】某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌 月饼，其进价为18元/kg，设第x天的销售价格为y(元 /kg)，销售量为m(kg)．该超市根据以往的销售经验得 出 以 下 的 销 售 规 律 ： ① 当 1≤x≤30 时 ， y ＝ 40 ； 当 31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y ＝37；x＝44时，y＝33.②m与x之间的函数关系式为m ＝5x＋50.
(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达 式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出 最小面积． 解：过点 P 作 PM⊥BC 于点 M， 则易知 BM＝12BP＝12(3－t)cm. ∴PM＝ BP2－BM2＝ 23(3－t)cm.
∴S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12×3×32 3－12t·23(3－t)＝ 43t2－343t＋943，即 y＝ 43t2－343t＋943，易知 0<t<3.
最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
解：设抛物线对应的函数表达式为 y＝a(x－7)2＋h，将点 C(0，1.8)的坐标代入，得 49a＋h＝1.8，即 a＝1.84－9 hx－7)2＋h.
根据题意，得41(211.4(8194－.98h－)＋h)＋h＞h2≤.04，3， 解得 h≥3.025.故排球飞行的最大高度 h
九年级数学下册第1章二次函数1.5二次函数的应用教学课件新版湘教版
60200 60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 x/棵
何时橙子总产量最大 1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的
棵数之间的关系.
y 100 x600 5x 5x2 100x 60000 5x 102 60500.
点重合时，等腰△PQR以1 cm/s的速度沿直线l向左方向开
始匀速运动，t s后正方形与等腰三角形重合部分面积为
S cm2，解答下列问题： A
B
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
MP
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函
数关系式，并求S的最大值。 l D Q
C
R
通过前面活动，这节课你学到了什么？
30m bm
的长度如何表示？
D
C
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值
┐
时,y的值最大?最大值是多少?
A xm B
N
解: 1设AD bm,易得b 3 x 30.
40m
4
2y xb x 3 x 30 3 x2 30x 3 x 202 300.
4
4
4
或用公式 :当x
b 2a
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Y/个 60095 60180 60255 60320 60375 60420 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
y/个 60600 60500 60400
或用公式 :当x
25
b 2a
二次函数的应用第二课时最大利润学年北师大版九年级数学下册课件
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定 为多少元？
解：（2）由题意，得：- 10x²+700x-10000=2000 解得x1=30,x2=40
∴李明想要每月获得2000元的利润， 销售单价应定为30元或40元.
2.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投 放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量 是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系
y=a(x-h)2+k顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h 当x=h时，y有最大值或最小值k
y=ax2+bx+c中顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴是直线x b 2a
当x b 时, y有最大或最小值 4ac b2 .
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， 当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大利润是6050元；
（3）当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4800元．
设旅行团人数为x人,营业额为y元,则 y= x [800-10(x-30)]
= - 10x2+1100x
= - 10(x-55)2+30250
九年级数学下册第1章二次函数小结与复习版湘教版
二次函数y＝ax2 一元二次方程
＋bx＋c的图象和 ax2＋bx＋c=0的
x轴交点
根
有两个交点
有两个相异的 实数根
有两个重合 的交点
有两个相等的 实数根
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的 判别式（b2-4ac）
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
6.二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最 大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
针对训练
1.对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( C ) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是
（ D） A. y= x2
2.二次函数的图象与性质：
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
25m
解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(4025)÷2=7.5(m).
第1章 二次函数复习
（二）二次函数图象及画法 y
2 b 4 ac b 顶点坐标 （ ， ） 4a 2a
b ( , c) a
x1 O x2
c
与X轴的交点坐标
(x1,0)
(x2,0)
x 与Y轴的交点坐标及它 关于对称轴的对称点
b 4ac b 2 （ ， ） 4a 2a
(0, c)
b ( , c) a
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（三）、平移，配方
1、y ax y a ( x - h )
2 向左(向右)平移 2
|m|个单位
y a ( x - h ) k |k|个单位
2
向上(向下)平移
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h， k） 直线x=h 由h和k的符号确定 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
当x=h时,最小值为k. 当x=h时,最大值为k.
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(五) 函数性质：
（1）
a>0时，对称轴左侧(x<2a ) ，函数值y随x的增大而减小 ；对 b 称轴右侧(x>)，函数值y随x的 2a 增大而增大 。 ，函数值y随x的增大而增大 ；对 b 称轴右侧(x>- )，函数值y随x的 2a 增大而减小 。
图 26.2.4
c>0
c<0 c=0
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（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
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2024年精品数学华师大版九年级课件全套一、教学内容第1章：二次函数1.1 二次函数的概念与图像1.2 二次函数的性质1.3 二次函数的应用第2章：圆2.1 圆的基本概念与性质2.2 点、直线与圆的位置关系2.3 弧、弦、圆心角、圆周角二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的概念、图像、性质，并能运用二次函数解决实际问题。
2. 培养学生运用逻辑思维和空间想象能力，理解圆的基本概念、性质及其相关问题。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数的性质及其应用；点、直线与圆的位置关系。
教学重点：二次函数的图像与性质；圆的基本概念、性质及其相关问题。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、PPT课件、黑板、粉笔、圆规、三角板。
学具：练习本、笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如抛物线运动，引入二次函数的概念。
以平面几何图形为例，引导学生发现圆的基本性质。
2. 知识讲解：详细讲解二次函数的定义、图像、性质。
通过例题，讲解二次函数在实际问题中的应用。
介绍圆的基本概念、性质，讲解点、直线与圆的位置关系。
3. 随堂练习：让学生绘制二次函数图像，分析性质。
让学生练习求解点、直线与圆的位置关系问题。
4. 知识巩固：对学生进行提问，了解他们对知识点的掌握情况。
5. 课堂小结：六、板书设计左侧：二次函数的定义、图像、性质；圆的基本概念、性质。
右侧：例题、解题步骤、关键点。
七、作业设计1. 作业题目：求下列二次函数的顶点、开口方向、最大（小）值：y = 2x^2 4x + 3。
已知圆的半径为5，圆心坐标为（3，2），求该圆的方程。
2. 答案：顶点：（1，1），开口向上，最小值：1。
(x 3)^2 + (y + 2)^2 = 25。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，了解学生对二次函数与圆的性质的掌握程度，针对学生存在的问题进行课后辅导。
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• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
（-4，0）
o
x
（0，0）
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴， 建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数， 它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是 （0.0），因此这个二次函数
的形式为 y ax2
－2 －1 －2
12 A
－4
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高 2米，因此点A（2，-2）在抛物 线上由此得出 2 a 22
解得 a 1 2
－2 －1 －2
12 A
－4
因此，y 1 x2 其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的 相反数，这2样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变
化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过
？（1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
新北师版初中数学九年级下册第13讲二次函数的应用精编知识
结合几何图形
1根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
2根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
3利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数解决同样需注意自变量的取值范围
第13讲二次函数的应用
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的应用
关键点拨
实物抛物线
Байду номын сангаас一般步骤
若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解
1据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题
实际问题中
求最值
1分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
2研究自变量的取值范围；
3确定所得的函数；
④检验的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
⑤解决提出的实际问题
解决最值应用题要注意两点：
①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；
1.4二次函数的应用(第2课时)(同步课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步课堂(浙教版)
1.4 二次函数的应用第2课时 商品销售利润问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会根据销售问题中的数量关系列出二次函数关系式；2．利用列出的二次函数关系式，根据其性质解决商品销售过程中的最大利润问题；3、商品销售类二次函数问题，要注意二次函数自变量的取值范围； 导入新课目前，我国存在大量的商场，是人们平时购物、饮食、游玩等重要的场所；在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？知识点一二次函数的应用——商品销售问题问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.180006000数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.例某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10x y=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.60001.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当时,y=-10×52+100×5+6000=6250.即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18x y=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.60001.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.2.降价多少元时，利润最大，是多少？当 时,即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y =-18x 2+60x +6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?归纳总结求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.典例精析【例1】某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出30-x件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）A．24元B．25元C．28元D．30元【详解】解：设利润为w，由题意可得，w=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25∵-1＜0，20≤x≤30，∴当x=25时w最大，故选B；【例2】已知某商品的进价为每件40元．现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；定价为元才能使利润最大．【详解】解：设每涨价x元，获得的总利润为y元，根据题意得：y=(6--40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)==-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250(0≤x≤30)∴当x=5时，y的值最大，此时定价为：60+5=65（元）故答案为：65．练一练1．“爱成都，创文明，迎大运”，卫生环境先着手，为提高工作效率，某清洁工具生产商投产一种新型垃圾夹，每件制造成本为20元，在试销过程中发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+52．(1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；(2)当销售单价为多少元时，生产商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？【详解】（1）由题意得：w=y(x-20)=(-2x+52)(x-20)=-2x2+92x-1040；（2）w=-2x2+92x-1040=-2(x-23)2+18，∴当销售单价为23元时，每月能获得最大利润，最大利润是18万元；1．2022年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y=-2x+200，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（ ）A．80元，1800元B．70元，2000元C．70元，1800元D．80元，2000元【详解】设每月所获利润为w，由题意可知：w=(x-40)×y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70）2+1800∵抛物线开口向下，∴当x=70时，函数有最大值为1800．故选：C．2．某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出(100-5x)本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）A．250元B．500元C．750元D．1000元【详解】解：每本可获利x元，一天可售出(100-x)本，则一天的利润为(100-5x)x=-5x2+100x，设日利润为y，∴y=-5x2+100x=-5(x-10)2+500，∴最大利润为：500元，故选：B．3．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出，若每床每天收费提高10元，则有2张床位不能租出；若每床每天收费再提高10元，则再有2张床位不能租出；若每次按提高10元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）A．3125元B．3120元C．2950元D．1280元【详解】解：设每床每晚收费提高x个10元，旅店每天营业收入为y元，根据题意得：y=（10+10x）（30-2x）=-20x2+280x+300=-20(x-7)2+1280，∴当x=7时，y最大，最大值为1280元，∴该旅店每天营业收入最多为1280元，故选：D．4．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润为w（元）．则当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是_______元.【详解】解：由题意，得：涨了(x-25)元，销售量少10(x-25)件，现在的销售量为y=150-10(x-25)=(400-10x)件，W=(x-20)·y=(x-20)(400-10x)=-10x2+600x-8000当x=−ᵄ2ᵄ=30时，W最大，W=(30-20)×(400-300)=1000元．故当销售单价为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是1000元．故答案为：30，1000．5．超市销售的某商品进价是10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，则该商品的售价定为元/件时，每天销售该商品的获利最大．【详解】设获利W元，则W=（x-10）·y∴W=（x-10）（-5x+150）=-5x2+200x-1500当x=−ᵄ2ᵄ=20时，W的值最大，∴当x=20时，每天销售该商品的获利最大．故答案为：20．6．2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索．这一年，神舟十四号载人飞船成功发射．某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型．每个模型的进价是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1元，则每月销售量将增加2个．（降价为整元）(1)直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式；(2)设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？【详解】（1）根据题意得：y=30+2x；（2）设每个降价x元，根据题意得，w=(120-80-x)(30+2x)=-2x2+50x+1200=-2(x-252)2+30252，当每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．7．水果店新进一种水果，进价为每千克5元，每天的销售量y(kg)与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式，其图像如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)水果的销售单价定为多少元时，水果店卖这种水果每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0），由所给函数图像可知：8ᵅ+ᵄ=606ᵅ+ᵄ=100，解得：ᵅ=−20ᵄ=220，∴y与x的函数关系式为y=-20x+220．（2）解：设每天销售这种水果所获的利润为w元，∵y=-20x+220，∴w=(x-5)y=(x-5)(-20x+220)=-20(x-8)2+180，∴当x=8时，w有最大值，最大值为180，∴售价定为8元/件时，每天最大利润为180元．课堂小结求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.谢谢~。
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第2课时 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题知识点1 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米2．竖直向上发射的小球的高度h(m )关于运动时间t(s )的函数表达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图1－5－10所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )图1－5－10A ．第3秒B ．第3.5秒C ．第4.2秒D ．第6.5秒3．若销售一种服装的盈利y(万元)与销售量x(万件)满足函数表达式y ＝－2x 2＋4x ＋5，则盈利的最大值是________．4．2017·仙桃飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．5．教材例题变式某超市销售一种品牌的牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．当售价为每箱36元时，每月可销售60箱．经市场调查发现，这种品牌牛奶的售价每降低1元，每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元(x 为正整数)，每月的销售量为y 箱．(1)写出y 与x 之间的函数表达式和自变量x 的取值范围；(2)问超市如何定价，才能使每月销售牛奶获得的利润最大？最大利润是多少元？6．2017·德州随着新农村的建设和对旧城区的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池的中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，如图1－5－11，它喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1米处达到最高，水柱落地处与池中心的距离为3米．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线形水柱满足的函数表达式；(2)求水柱的最大高度是多少？图1－5－11知识点2 利用二次函数解决其他问题7. 公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形．水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s8. 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示学生的接受能力越强．(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．足球飞行的路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 ；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．410．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元/个的日用商品，如果以30元/个的价格出售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月内销售量减少20件．当销售单价是________元/件时，该商场才能在半月内获得最大利润．11．2018·滨州如图1－5－12，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：米)与飞行时间x(单位：秒)之间的函数关系为y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题．(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，飞行的时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？图1－5－12拓广探究创新练冲刺满分12．2018·仙桃绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图1－5－13，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价格y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数关系．(1)求该产品销售价格y1(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；(3)当产量为多少时，销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？图1－5－13教师详解详析1．C [解析] ∵高度h (米)和飞行时间t (秒)满足函数表达式h ＝－5(t －1)2＋6，∴当t ＝1时，小球距离地面的高度最大，最大高度为6米．2．C3．7万元 [解析] y ＝－2x 2＋4x ＋5＝－2(x 2－2x )＋5＝－2[(x －1)2－1]＋5＝－2(x －1)2＋7，则盈利的最大值为7万元．4．20 [解析] s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 取得最大值．故答案为20.5．解：(1)根据题意，得y ＝60＋10x ， 由36－x ≥24，得x ≤12， ∴1≤x ≤12，且x 为整数． (2)设所获利润为W (元)，则W ＝(36－x －24)(60＋10x )＝－10x 2＋60x ＋720＝－10(x －3)2＋810， ∴当x ＝3时，W 取得最大值，最大值为810.答：超市将牛奶的售价定为每箱33元时，才能使每月销售牛奶获得的利润最大，最大利润是810元．6．解：(1)答案不唯一，如图所示，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －1)2＋h ，将(0，2)和(3，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋h ＝0，a ＋h ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83.∴抛物线的函数表达式为y ＝－23(x －1)2＋83，即y ＝－23x 2＋43x ＋2(0≤x ≤3)．(2)由(1)，得y ＝－23(x －1)2＋83(0≤x ≤3)，∴当x ＝1时，y 最大＝83，即水柱的最大高度为83米．7．A [解析] 水流回落到地面时的高度h 为0，把h ＝0代入h ＝30t －5t 2，得30t －5t 2＝0，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间是6 s ．故选A.8．解：(1)当x ＝10时，y ＝－0.1×102＋2.6×10＋43＝59.(2)当x ＝8时，y ＝－0.1×82＋2.6×8＋43＝57.4，∴用8分钟来提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；当x ＝15时，y ＝－0.1×152＋2.6×15＋43＝59.5，∴用15分钟提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．9．B [解析] 由题意，得抛物线的函数表达式为h ＝at (t －9)，把(1，8)代入可得a ＝－1，∴h ＝－t 2＋9t ＝－(t －4.5)2＋20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25 m ，故①错误；∴足球飞行路线的对称轴是直线t ＝4.5，故②正确；∵当t ＝9时，y ＝0，∴足球被踢出9 s 时落地，故③正确；∵当t ＝1.5时，y ＝11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B.10．35 [解析] 设销售单价为x 元/件，销售利润为y 元．根据题意，得y ＝(x －20)[400－20(x －30)]＝(x －20)·(1000－20x )＝－20x 2＋1400x －20000＝－20(x －35)2＋4500.∵－20＜0，∴当x ＝35时，y 有最大值，故答案为35.11．解：(1)当y ＝15时，有－5x 2＋20x ＝15，化简得x 2－4x ＋3＝0，因式分解，得(x －1)(x －3)＝0，故x ＝1或x ＝3，即飞行时间是1秒或者3秒．(2)飞出和落地的瞬间，小球的高度都为0，即y ＝0，所以0＝－5x 2＋20x ， 解得x ＝0或x ＝4，所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(秒)．(3)当x ＝－b 2a ＝－202×（－5）＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米．12．解：(1)设y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝kx ＋b ，∵图象过点(0，168)与点(180，60)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝168，180k ＋b ＝60， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.6，b ＝168，∴y 1＝－0.6x ＋168(0≤x ≤180)．(2)y 2与x 之间的函数表达式为 y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧70（0≤x ≤50），－0.2x ＋80（50<x <130），54（130≤x ≤180）.(3)设产量为x 千克时，销售这种产品获得的利润为W 元． ①当0≤x ≤50时，W ＝x (－0.6x ＋168－70)＝－0.6x 2＋98x . ∵该函数图象的对称轴为直线x ＝2453，∴当0≤x ≤50时，W 随x 的增大而增大， ∴当x ＝50时，W 的值最大，最大值为3400.②当50<x<130时，W＝(－0.6x＋168＋0.2x－80)x＝－0.4x2＋88x＝－0.4(x－110)2＋4840，∴当x＝110时，W有最大值4840.③当130≤x≤180时，W＝(－0.6x＋168－54)x＝－0.6x2＋114x.∵该函数图象的对称轴为直线x＝95，∴当130≤x≤180时，W随x的增大而减小，∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680.综上，当产量为110千克时，销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元．。