Carnot群上次椭圆方程组的正则性可控增长条件

N q .6Noe. 20192019 年
第六期赣南师范大学学报 Journal of Gannan Normal University -基础数学-
Carnoy 群上次椭圆方程组的
正则性:可控增长条件
”
张宗锋，张水金，杨强，廖冬妮十
（赣南师范大学数学与计算机科学学院，江西赣州341900）摘 要：本文考虑Carnoy 群上具有VM0系数的拟线性次椭圆方程组，在可控增长条件下，利用改进的A -调和 逼近技巧建立其弱解的Holder 连续性.
关键词：Holder 连续性；可控增长条件；Carnoy 群；VM0系数；改进的A-调和逼近技巧
中图分类号：0175. 2 文献标志码:A 文章编号：1004 -8334（2219）06 -0001 -061引言和主要结果
本文的主要目的是对Camuy 群上的一类具有VM0系数的次椭圆方程组，建立其弱解局部Holder 连续 性，即考虑以下拟线性次椭圆方程组
y (,u')X j u ll ) = F a(,u,X u ) , a.e.g e Q,a = 7,2,-・，N ,
其中Q 是Carnot 群G 中的一个有界区域,2『e VM0.这里我们用X = （X -…,X »）表示Carnot 群上的水平 梯度,X 的定义在下文中给出.
我们称向量值函数“ e HW }2（Q,R N ）是方程组（1.1）的弱解，如果它满足如下积分等式
)X ” - X<pde = f
F (,2,X u ) 0de V o e C (Q ,).自De Gorgiv 奠基工作［1］发表以来，线性和非线性方程的正则性理论一直被广泛研究,见文献［2-3］. Duzaar 和Steffe 在文献［4］中提出了 A-调和逼近方法，进一步地，文献［-9］研究了具有连续系数椭圆方程 组的弱解正则性，文献［5-8］则研究了非连续系数的椭圆组弱解的正则性.
近年来,Camoe 群上次椭圆方程和方程组的正则性研究得到了广泛的关注,见文献［9 - 7 ］及其参考文 献，最近，张水金等人在文献［9］研究了 Camoe 群上一类齐次椭圆方程组弱解的部分正则性,本文将研究带 非齐次项的一类拟线性次椭圆方程组弱解的正则性问题•在可控增长条件下，利用改进的A-调和逼近方法, 建立弱解的HOder 连续性.该方法避免了水平梯度厂-U 估计和反向HOder 不等式的应用，简化证明过程.
下面引进VM0空间定义：
定义】称一个局部可积函数2 e BM0（Q ）（在Q 中有界平均振荡），如果2 e 比（0）并且对于任意的 0 <s < 8 满足m s （2,q ） = * —、— r 2n ） - 2,p e < + 8 ,其中
0(,,) = Q n B (,) 2(n)e = I Q (,p) I - f I 2(n ) 1 切
我们称 2 e VM0(Q )当且仅当 M 0(2)= IS m M 5(2,Q) = 0.
下 ,给出如下 条件：
D0I ：19.13698/j. cnkV cn36 - 1346/c. 2219.26. OH
基金项目：国家自然科学基金资助项目（11661006）；江西省研究生创新专项资助项目（YCOH -S385）；赣南师范大学研究生创新专项 资助项目（YCX19A025）；大学生创新训练项目（221719418013）
作者简介:张宗锋（1999 -），男，赣南师范大学数学与计算机科学学院2218级研究生，研究方向:偏微分方程.t 通讯作者:廖冬妮（1983 -），女,赣南师范大学数学与计算机科学学院讲师，硕士，研究方向:泛函分析与偏微分方程.
2赣南师范大学学报2219年
H1存在常数0<入<4使得
A I n12三 A即—4I n,V g e Q,u e R N,e R22XN(3)
H2A(-,u)在点g处关于"属于一致卩MO空间，且在"处关于g e Q—致连续，即lim甌(!『(•,))= 0,并且存在常数c e［1,8)及有界非减连续凸函数®：［1,8)—［0,1］满足lim®()=0=3(0),使得
5—0
\A°f((,u)-AA(g,u0)—丨"-"0丨),V u,0e r N,g e O(4) H3(可控增长条件)F(g,u,Xu)满足
\F a(g,u,Xu)—Z(I Xu12(1-1/Y+I uI Y~l+\g a\I,(5)其中Y=起，(0>2)，"e Lg,>以及L>0为正常数.
本文主要结果如下：
定理1在(H1_H3)假设条件下，设u e HW/,(O,R n)是方程组⑴的弱解，则存在一个开集Q°U Q且dim/Q'Q。

)—Q-2使得u e C(Q0,R)，若Q/2<q<0,则a=2-Q/q；q>Q,则a e(0,1),其中O)={g e O:li rn(()I u-u gp I2dd)=°},与曙(g)1u_逛=丨场(g)I(g)I u-%丨^gdim”是Hausdorff维数,Q为Carnot群上的齐次维数.
2记号和预备知识
本节将给出Caroot群G的基本介绍以及证明过程中会用到的一些结论.
一个r步Carnot群G是一个单连通#零李群，其李代数g式分层，即g=㊉;=［匕=卩1㊉卩2㊉…㊉K,满足11,%］=V J+1,j=1…,r-1和11,叮=0.
设X为卩的左不变向量基，其中1—/—r,1—i—叫叫=dim%为简单表示,我们记X=X,=叫,X=!X,X2,-,x J为卩的左不变向量场的一组基，并称X(i=1，…川)是水平向量场，并具有形式X =必+H1
记g=(gSg2,…,g")=((；兄，"・,易；2，"・,易；"；；，"・,略)e G,其到原点的拟距离为d(g)=［\(Y mi i%211)""广".对于任意两点g,e G，我们设d(g,)=d(n-•g)，其中n-=-n=(-n1，…,心1J"1
-n)是n的逆,并定义G上的乘法法则如下：•珋=g+g+P((,1),1,1e G,其中P：GxG^G是一个多项式，详见文献［13］.G的齐次维数记为Q=Y“J®，其中®=dm%，并且®=m.记如：^(0,1)I g 表示单位球的体积，则丨P(g,)丨。

=
现给出一些将要使用的定义和结论.
定义2设OU G是一个开集，水平Sobolev空间定义如下HW1'm(O)={u e L"(O)丨X,u e L"(O),
i=1，…II’HW1，"(O)依如下范数是Banoch空间：“惊‘”(o)=IM l”(o)+Y:“优“匸”⑺，且C(O)是依上述范数的完备化空间.
Jerfsob在文献［11］中证明了与Hormandvr向量场相关的Poincare不等式：
f|u(g)-uJ"d d—cx f|Xu|"d d,u e HW5(”((0),r"),(6)
其中u,=|B p(g0)-f u g)dd，C只与"和Q有关•不失一般性，我们假设C> 1.
「Bpd
Garofalb和Nhiev在文献［14］中建立了与HormanCvr向量场相关的Sobolvv嵌入定理：
引理1设1<m<Q,Q是齐次维数,则对于任意的u e HW01i(Bp(g。

))，存在常数C和R使得
(B r()0)-1/|u|""dd)—CR(B r()0)-1/|Xu|"dd)，(7)
」B R(g0)」B R((0)
其中g0e O,R—R°,1—"—
(J-m
第/期
张宗锋，张水金，杨 强，等Camoe 群上次椭圆方程组的正则性:可控增长条件8引理2设①(P)是(0,R )上的一个非负非减函数，若①()< 4( (R )2 + J ①(R)+ BR , V 0 < P <
R < dist(0,dQ)，其中A,,,为常数,a >0,则存在常数旳=s 0(A,a,/3)和C
C(A,a,0)使得对于任意的0 <<砌有①(()三C ((耗)+ Bpp),V 0 < p < R < dist(,,dQ).
参见文献[9],我们建立齐次常系数次椭圆组的先验估计.
引理8设烈,)e HW 1^2(B R(,),R N )是常系数方程组的弱解，则存在常数C 使得对V 0 <p <R < dist(,0 ,0) ,0 e Q,我们有
f \Xh\2e ^ C((p )q \Xh\2e (/)
」b p (o ) K 」b r (0
我们给出Hausdogf 测度的维数估计引理引理4设Q 是群G 的一个开集,e Z ；t (Q,R N ).则对0 < s < 0以及集合
E , = {0 e Q : lim vif p -- f 2 |dn > 0}, (9)
成立 H (s ) = 0.
在下文中,我们总假设存在常数0 <入< A < 8使得双线性型A f e BS(R N )满足
人『(0,2)用於二 a I n i 2, V n e R 22； (10)
4『(0,2)nnf -Al n 11 n 1, Vn , e R2oxo -
(n )
参考文献[12],我们不加证明地给出改进的A-调和逼近引理：引理5(改进的A-调和逼近) 假定0 < A < A <8且o > 2,那么对于s > 0,存在正常数k = k(o, N ,AA ,s )具有以下性质:对V A f e Bi((R k ")满足(10) - (11)及对任意的2 e HW 1,2(B r (0。

)，R ,存在 A-调和函数h e HW 12(B r (00),R )满足
f |Xh|2d
g -4 X2|2de , (12)
」B r (0)
」B r (o )以及"X 0“ z ,8(B r (00,r n ) — 1 ⑴)
使得
f 2 -h|2d e - s 2
f iX2|2d e + k R 2
f a • X2 - Xod e )2- (⑷
J b r (O) J b r (,) \ J b r (00) '8 Caccioppoli 型不等式
在本节我们将给出次椭圆方程组(1)弱解的Caccioppod 不等式.
引理6假定2 e HW 1,(Q,R n ) n Z 8(Q,R n )是拟线性方程组(1)的弱解，且满足条件(H1-H3)，则“ %,P
对任意的0 e Q 以及Bp(0。

)U Q,我们有
f 血吨-C (鳥e ) + C 2(f 冲(I X2I 2 + 2Y + "", (15)证 对任意的,0 e Q, < p < dist( 0 ,Q)，简单记B p ：=B p (,0), ：= 2^ ,,选取截断函数①e C 8 (B p (,))满足0 -①-1, X ①丨-1/p,且在球B ”/2(0o )上①三1,作试验函数o =①2(2 -2,0,),弋 B (2) 可f A(0,2)①2X “ • Xude = - 2 f <!>A (0,2)X2 • X ①(2 - 2) de + f F (0,,X") od
g ,J b p J b p J b p 利用椭圆性条件(H1 -H8)、HOder 不等式、Young 不等式，我们有(1 6 )(5a 1 ①X2i 2<e — 2a | ①X2112 -珔Xte + (1X2i 2(1_1/y ) +12卩-+1g " i ) o Ie = ： +11,J b p J b p J b p 对于I ，应用Young 不等式得
4
赣南师范大学学报2019 年1/2
1 —(打 ①Xu 12d g + C f A u - u 12d g )；对于□,利用Holder 不等式、Young 不等式和Sobolev 不等式得
n - cc [( |Xu |2 + |u 卩 + |g “ I"-) ) 1-1/21 01 dg -
C (A ( Xu |2 + \u\Y + |g “ I 1心1 1 ) dg )1 "7( A I 0l dg )"7 -
C ( A ( Xu I 2 + |u 卩 + Ig “|"11 ) dg
)1 A |X0| 2)
<■ / r x 2( 1-1/2 )s\B X 012d g + C (£)( A ( Xu I 2 + \u\Y + 1 ) dg ) -而我们知X0 = 2①X ①(u - U ) +①2Xu ,则有
I 【=q ①Xu|2d g + C ()A X &
2 u -珔2g + C («) (A ( Xu 12 + |u|Y + |g ”|Y /(Y - ) dg)(", 结合(18) (19)式可得 "(入-2q ) A ① X u |2d g — Cp) A u - U |2d g + C (£)(A ( Xu |2 +|u|Y +|g " y (Y_1) )dg )取q 充分小使得入-2)> 0 ,则由(20)化简，结论得证."
4定理1的证明
本节我们将利用改进的A-调和逼近技巧证明定理1的结论.
证明 对于$ e Q 与固定的p ： 0 <p <血由引理6我们有
• ' r “ 2 \ 、鎳1-1/2/)d g )+ C ( A ( Xu I 2 + u|Y + Igp/djdg )B p U Up P I I Xu|2dg v CJ I 记A ： = (A(g,u ”))g 0,” = * A(g,u ”)d g.由引理5可知，存在一个A-调和函数h e HW7B r ,F )满足.因 Bp
此由(21)我们有
A |Xu|2d ^<%$0 ,A u-u p - (A -h )
2g + A h -h 12g ) + c( A ( Xu 12 + u\y + g I y/(_1)) g )C / r x 2(1-1/2)/(I l + 在)+ C (A ( Xu |2 + \u\Y + |g "|Y /(Y - 1 ) dg ) -
对I ,由Poincare 不等式和先验估计引理3可得
I = A A h - h 2d g - cp A Xh|2d g - c 堆)Q (A |Xh|2d g )- c p 2矣)q ”|Xu|2d g .对I,同理可得
r 2I2 < Cs p I Xu |2 dg + Ck(s)p 4~Q ( f
A • Xu • X<pd g ) ' 'b p 7注意到u e HW 1，(Q,R N)是(1)的弱解，我们有(⑻
(19)(20)
(29)
(22)(23)(24)
I AXu ・ X (pA ^ 二
则有肿-化u )Xu -沁+-A (u ))X -沁+JI 1")庇,
2 2(J A • Xu • X^dg )三(| (A-A($,Up) )Xu • X^dg ) +
2 2(f(A (g ，u )-A(g,u) )Xu • X<pdg ) +(A F (g,u,Xu)<pdg ) =J 1 + J 2 + -h- 注意到0满足B 罟)S - 2,X<p||"(”肿)三卡,我们可得
(25)
第6期 张宗锋，张水金，杨 强，等Caroot 群上次椭圆方程组的正则性:可控增长条件
5人—C (®(；p Q 「X )(g , u))(f Xu |2 d),A — Cp i-®( Xu I 2 dd )(f Xu I 2 dd ),其中第2个不等式用到了 ®(・)e [0,(]的凸性•" "
注意到Y = QQ ，我们有
厶—L f |Xu|
2(1-1/q ) + |u|Y - + |g “ dd)2 — L f B Xu I 2 + |u|Y + |g “ 心9d 广""(％P )2/q
B B p \2(1-1/q)cp° (f B Xu |2 + |u 卩 + |g “ 心Id ) •
把(26 ) -(28)代入(25 )上可得
(f A • Xu • X<p d ) — Cp Q-(M ”(A (g ,u ”))+ 3(p 2| Xu |2d ))f Xu|2
d +C P Q_2( f ( Xu |2 + u|Y + |g “ I 心9
令 b(p) =M ”(A(g,u ”))+®(p 2| |Xu|2d)，且把(29)式代入到(24)式得2 r c/r
\ 2( 1_1/q)【—C (£ +(r(p) )p I |Xu|2d d + C C ( a ( Xu 12 + up + \g a \y(■y ~9')d)
2(1-1/q)(26)
(27)
(28)
(29)
—
综合估计h 和【2,(22)可化为
f Xu |2c ° — c( ((P )Q + £ + b(p)) f |Xu |2d d + c(f ( Xu 12 + up +
g a 7(7-))°) 下面，我们估计可控增长部分.
"注意到 g “ e L q (O), > Q
(30)QQ ,我们有2 (1-1/q) 风厂1))d )(f ( |Xu |2 + u Y + |g
“ ("“将其代入(30)式可得
fl Xu|2d d — c((务)Q +£+b(p) + ( f ( Xu I 2 + |u|Y)d d )M )
Xu I 2 + |u|Y )d d +CR 心％ ||g “|| 2，\ (Q+2)/Q 2Q/(Q+2)d d
)1 + 2Q —C f ( Xu 12 + |u|y )d ) +a \ 1+2/Q (Q+2)q-2Q q / -q ( “fl Xu I 2 +|u|Y d ) +%G Q q R Q 3Q 2l g “L q ，⑶)
c 另一方面,直接计算可得
(32)f up d — cf U pP d + cf u - U p |y dd —J B p /q % 卩 ％ 卩
C (斎)Q f u pdg + ( f Xu 12 d ) ( f ( Xu 12 + |u|Y ) dg ) •
(31)左右两边同时加上f u|Y dd 可得
f Xu I 2 + u pd
g — c( (-R- ) Q + £ + b(p ) + 3(p)) f ( Xu I 2 + \u\Y ) dg + CR Q +2-%||g “|| Lq,2Q 2( Q-
其中 )= ( f ( Xu |2 + \u\Y ) dd ) + ( f Xu |2
dd ) •由f ( Xu |2 + |up ) d 的绝对连续性可得3(() -0((-0 •若假设当p-0时，有p * |Xu|2 dd -0, e K J b p O 0 U O .进一步，利用A(g , u )的性质，则我们知当p 充分小时=M ”(A(g , u p )) +®(p 苗 Xu |2
d ) < £•又注意到纟< q < Q,则Q-2 <Q +2 -^ < Q '由迭代引理，我们可得2/Q
6赣南师范大学学报209 a(|X2I2+12Y)e-C(R心叫(I X2I2+丨2卩)4£+环35脸"||2,(33)
这意味着Xi e厂，(Q o)，其中A=0+2-20同理，若q>0,我们有
q
A/2(X2I2+ii y)e-c((/)°-s A R(X2I2+ii Y)e+c/vi g"ii：q,(34)则得Xi e02,(。

0)，其中A=0-Se
综上，利用Morrey引理可得到结论：e C^B/’R)，当》<q<0时,=2-f；当q>0时"e(0,1).
最后我们估计集合Q\Q°的Hasdogf维数.注意到
Q\Q0={O0e Q I lim Of f2-2,12e>0},
p-0您⑧)旬利
利用Poiocm不等式可得
f丨2-2,12e-C p f|Xi|2e=E s s
JBp(O o)统0J B/((0)
即Q\Q°U Q\{O0e Qlimiof E s>0人则由引理4有0一2(。

\。

0)=0.定理1得证.
/—0
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Regularity for Subelliptic Systems in Carnot Group:
Controllable Growth Condition
ZHANG Zoogfexg,ZHANG Shuijik,YANG Qiaug,LIAO Doogal
(Schoo(t Mathematics and Computer Science,Gannao Normal University,Ganzhou331000,CCioo) Abstroci:this paneo,we00080x0discoutmuons quasdiaear suUePiptic systems with VMO-coeXiciexts io Carvoi group.BaseP on a moUifieP technique of A-harmooic appmximatioo,we estaUlisP a partiai H?IU cs cootiauity resuli for weak solutiou of the systems with coptrollaUle growth cooditioo.
Key word:H o IU cs cootkuim；cootrollaUle growth cooditioo；caruoi group;VMO-coefficient;moUifieP technique of A-harmooic approximaUop。