【高考试卷】2017年高考仿真卷

2017高考仿真卷·理科数学(一)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=()
A.(2,3]
B.(-∞,1]∪(2,+∞)
C.[1,2)
D.(-∞,0)∪[1,+∞)
2.已知i是虚数单位,若a+b i=(a,b∈R),则a+b的值是()
A.0
B.-i
C.-
D.
3.已知p:a<0,q:a2>a,则p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()
A.①④
B.②③
C.②④
D.①②
5.已知双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,若过右焦点F,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,则此双曲线的实半轴长的取值范围是()
A.(2,4)
B.(2,4]
C.[2,4)
D.(2,+∞)
6.若数列{a n}满足=d(n∈N*,d为常数),则称数列{a n}为调和数列.已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()
A.10
B.20
C.30
D.40
7.已知实数x,y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是()
A. B.-1 C. D.1
8.执行如图所示的程序框图,输出的S的值是()
A.2
B.-
C.-3
D.
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若f(x)≤对任意的x∈R恒成立,且f>f(π),则φ等于()
A. B. C. D.
10.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取5次球时停止取球的概率为()
A.B.C.D.
11.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()
A. B. C. D.2
12.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.(0,2)
D.(2,+∞)
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(1-)6的展开式中含x的项的系数是.
14.已知等比数列{a n}为递增数列,a1=-2,且3(a n+a n+2)=10a n+1,则公比q=.
15.
如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点.设向量=λ+μ,则λ+μ的最小值为.
16.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为.(用含有a的式子表示)
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin.
(1)求cos C的值;
(2)若△ABC的面积为,且sin2A+sin2B=sin2C,求a,b及c的值.
18.(本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数据(人数):
(1)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为对这一问题的看法与性别有关?
(2)进一步调查:
①从赞同“男女延迟退休”的16人中选出3人进行陈述发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率;
②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈,设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和均值.
附:
K2=,其中n=a+b+c+d.
19.
(本小题满分12分)如图,在几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,FB=,M,N分别为EF,AB的中点.
(1)求证:MN∥平面FCB;
(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°,求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值.
20.
(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点B(0,)为短轴的一个端点,∠OF2B=60°.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过右焦点F2,且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于D,E两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AD分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k'.试问k·k'是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x--a ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=f(x)+2a ln x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x1∈(0,e],求g(x1)-g(x2)的最小值.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
极坐标系与平面直角坐标系xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin,曲线C2的极坐标方程为ρsin θ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-,θ=+φ与曲线C1分别交于四点A,B,C,D.
(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;
(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若f(x)≤m的解集为[-1,5],求实数a,m的值;
(2)当a=2,且0≤t<2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2).
参考答案
2017高考仿真卷·理科数学(一)
1.D解析因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以(∁U A)∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).
2.D解析因为a+b i=,所以a=,b=0.所以a+b=
3.B解析因为p:a≥0,q:0≤a≤1,
所以p是q的必要不充分条件.
4.A解析由题图中的正方体可知,△P AC在该正方体上、下面上的射影是①,△P AC在该正方体左、右面上的射影是④,△P AC在该正方体前、后面上的射影是④,故①④符合题意.
5.A解析因为双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,所以双曲线的半焦距c=4.因为过右焦点F,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,所以双曲线的其中一条渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即<tan 60°,即b<a.又因为c2=a2+b2,所以c2-a2<3a2,整理得c<2a.所以a>2.又因为a<c=4,所以双曲线的实半轴长的取值范围是(2,4).
6.B解析∵数列为调和数列,=x n+1-x n=d.∴{x n}是等差数列.
又x1+x2+…+x20=200=,
∴x1+x20=20.
又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.
7.D解析约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示.
因为x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,
所以x2+y2+2x表示点(-1,0)到可行域内一点距离的平方减1.
由图可知,当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.
8.A解析由题中的程序框图可知,S=2,i=1;S==-3,i=2;S==-,i=3;
S=,i=4;S==2,i=5;S==-3,i=6;……可知S的值以4为周期循环出现.
当i=2 017=4×504+1时,结束循环,输出S,即输出的S=2.
9.C解析若f(x)对任意的x∈R恒成立,则f为函数f(x)的最大值或最小值,即2+φ=kπ+,k∈Z.
则φ=kπ+,k∈Z.
又因为f>f(π),
所以sin φ<0.
又因为0<φ<2π,
所以只有当k=1时,φ=才满足条件.
10.B解析由题意可知有两种情况,3,1,1(表示一种颜色的球有3个,另外两种颜色的球各1个)及2,2,1(表示两种颜色的球各2个,另外一种颜色的球1个),且这两种情况是互斥的,下面计算每一种情况的概率.当取球情况是3,1,1时,试验发生包含的总的基本事件数是35,满足条件的基本事件数是,故这种结果发生的概率是;当取球情况是2,2,1时,同理求得这种结果的概率是根据互斥事件的概率公式可知所求的概率为
11.C解析设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π),|BF|=m.
∵|AF|=3,∴点A到准线l:x=-1的距离为3.
∴2+3cos θ=3,即cos θ=
∴sin θ=
∵|BF|=m,∴m=2+m cos(π-θ),
即m=
∴△AOB的面积为S=|OF|·|AB|·sin θ=1
12.C解析设g(x)=f(x)-x.
∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.
∴g(x)在R上为减函数.
又f(1)=1,f(log2x)>
=log2x+,
∴g(log2x)=f(log2x)-log2x
>log2x+log2x=
又g(1)=f(1)-=1-,
∴g(log2x)>g(1),即log2x<1.∴0<x<2.
13.31解析因为(1-)6的展开式中的第r+1项为T r+1=16-r=(-1)r,所以当r=4时,T5=(-1)4x2=15x2;当r=0时,T1=(-1)0x0=1.
所以(1-)6的展开式中含x的项的系数为2×15+1=31.
14解析因为等比数列{a n}为递增数列,且a1=-2<0,所以公比0<q<1.又因为3(a n+a n+2)=10a n+1,所以3(1+q2)=10q,即3q2-10q+3=0,解得q=3或q=又因为0<q<1,所以q=
15解析以A为原点,以AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为1,P(cos θ,sin θ),其中
可知E,C(1,1),D(0,1),A(0,0),故=(1,1),=(cos θ,sin θ).
因为=+,
所以+μ(cos θ,sin θ)
==(1,1).
所以
所以
令f(θ)=λ+μ=
=-1+,
可知f'(θ)=>0.
故y=f(θ)在上是增函数.因此,当θ=0时,λ+μ取得最小值为
16.1-3a解析因为f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=
所以可画出f(x)的图象如图所示.
因为函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的零点即为函数y=f(x)与y=a(0<a<1)的图象的交点的横坐标,
所以函数F(x)=f(x)-a有5个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,x4,x5.
因为函数f(x)为奇函数,所以结合图象可得x1+x2=-8,x4+x5=8.
当-2≤x<0时,则0<-x≤2.
所以f(-x)=lo(-x+1)=-log3(1-x).
所以f(x)=log3(1-x),其中-2≤x<0.由f(x)=log3(1-x)=a,解得x=1-3a,即x3=1-3a.所以函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为x1+x2+x3+x4+x5=1-3a.
17.解(1)因为sin,
所以cos C=1-2sin2=-
(2)因为sin2A+sin2B=sin2C,
所以a2+b2=c2.①
由余弦定理得a2+b2=c2+2ab cos C,将cos C=-及①代入上式得ab=c2.②
由S△ABC=及sin C=,得ab=6.③
由①②③得经检验都满足题意.所以
18.解(1)由题意可知,K2=2.932>2.706,
故在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为对这一问题的看法与性别有关.
(2)①设“男士和女士各至少有1人发言”为事件A,则所求概率为P(A)=;
②根据题意可知X服从超几何分布,故P(X=k)=,k=0,1,2,3,
因此,X的分布列为
X的均值为E(X)=0+1+2+3=1.
19.(1)证明取BC的中点Q,连接NQ,FQ,则NQ=AC,NQ∥AC.又MF=AC,MF∥AC,
∴MF=NQ,MF∥NQ,∴四边形MNQF为平行四边形.∴MN∥FQ.
∵FQ⊂平面FCB,MN⊄平面FCB,
∴MN∥平面FCB.
(2)解由AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,可得∠ACB=90°,AC=,AB=2.
∵四边形ACFE为矩形,
∴AC⊥CF.
又AC⊥BC,
∴AC⊥平面FCB.
∵直线AF与平面FCB所成的角为30°,
∴∠AFC=30°,
∴FC=3.
∵FB=,
∴FC⊥BC.
∴可建立如图所示的空间直角坐标系.
∴A(,0,0),B(0,1,0),M
设平面MAB的法向量m,则可得出平面MAB的一个法向量m=(2,6,1).
又n=(,0,0)为平面FCB的一个法向量,∴cos<m,n>=平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为20.(1)解由题意可知a=2,b=,故所求椭圆方程为=1.
(2)证明设过点F2(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1).
由可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
因为点F2(1,0)在椭圆内,所以直线l和椭圆相交,即Δ>0恒成立.
设点E(x1,y1),D(x2,y2),
可得x1+x2=,x1x2=
因为直线AE的方程为y=(x-2),直线AD的方程为y=(x-2),
令x=3,可得M,N,
所以点P的坐标为
所以直线PF2的斜率为
k'=
=
=
=
=-,
所以k·k'为定值-
21.解(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1+
令f'(x)=0,得x2-ax+1=0.
①当-2≤a≤2时,Δ=a2-4≤0,此时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;
②当a<-2时,Δ=a2-4>0,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,
此时,f'(x)>0在(0,+∞)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;
③当a>2时,Δ=a2-4>0,解得x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上可得,当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a>2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
(2)由题意可知,g(x)=x-+a ln x,定义域为(0,+∞),
则g'(x)=1+
令g'(x)=0,得x2+ax+1=0,其两根为x1,x2,且
所以x2=,a=-
所以a<0.
所以g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=x1-+a ln x1-=2+2a ln x1=2-2ln x1.
设h(x)=2-2ln x,x∈(0,e],可知[g(x1)-g(x2)]min=h(x)min.
因为h'(x)=2-2,
所以当x∈(0,e]时,恒有h'(x)≤0.
所以h(x)在(0,e]上单调递减.
所以h(x)min=h(e)=-,
所以[g(x1)-g(x2)]min=-
22.解(1)因为C1的极坐标方程为
ρ=2sin=2sin θ+2cos θ,
所以C1的直角坐标方程为x2+y2=2y+2x,化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
由题意可知曲线C2的直角坐标方程为y=a.
因为曲线C1关于曲线C2对称,所以a=1,
所以曲线C2的直角坐标方程为y=1.
(2)因为|OA|=2sin,
|OB|=2sin=2cos φ,
|OC|=2sin φ,
|OD|=2sin=2cos,
所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|
=2sin2sin φ+2cos φ·2cos=8cos
=8=4
23.解(1)因为|x-a|≤m,所以a-m≤x≤a+m.
又因为f(x)≤m的解集为[-1,5],
所以解得
(2)当a=2时,f(x)+t≥f (x+2)等价于|x-2|+t≥|x|.
当x≥2时,不等式转化为x-2+t≥x,解得t≥2,与0≤t<2矛盾,故舍去;
当0≤x<2时,不等式转化为2-x+t≥x,解得0≤x;
当x<0时,不等式转化为2-x+t≥-x,解得t≥-2,符合题意.
所以原不等式解集是
2017高考仿真卷·理科数学(二)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i是虚数单位,则复数=()
A.-2+i
B.i
C.2-i
D.-i
2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()
A.[-2,4)
B.(-2,4)
C.(0,2)
D.(0,2]
3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()
A.12
B.13
C.14
D.15
4.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()
A.p∧q
B.(p)∧(q)
C.(p)∧q
D.p∧(q)
5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()
A. B. C. D.
6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
7.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()
A.若a2+a5>0,则a1+a2>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2,则a3>
D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>0
8.
如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V正四棱锥P-ABCD=,则球O 的表面积是()
A.4π
B.8π
C.12π
D.16π
9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()
A.k<-3
B.k>1
C.-1<k<1
D.-3<k<1
10.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()
A.26
B.32
C.36
D.48
12.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:
①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.
其中是“商高线”的序号是()
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.
执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.
15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:
①函数f(x)的最大值为;
②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;
③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;
④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
其中正确的结论有个.
16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.
(1)求tan C的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3. (1)试确定x ,y ,p ,q 的值,并补全频率分布直方图(图②);
(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;
(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值.
图①
图②
19.(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形,ED ∥FB ,ED ⊥平面ABCD ,AD=BD=2,BF=2DE=2. (1)求证:AE ⊥CF ;
(2)求二面角A-FC-E的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.
(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;
(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;
(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.
(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
2017高考仿真卷·理科数学(二)
1.B解析(方法一)=i.
(方法二)=i.
2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).
3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.
4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.
5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为
6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.
7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.
若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B错误.
若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.
所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.
由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.
8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.
因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.
9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.
10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.
可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=所以该几何体的体积V=1
11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.
故(x+y+z)
=1+4+9+14+4+6+12=36,
当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.
12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.
13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.
14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.
所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.
15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.
因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.
由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.
16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以
所以,…,
所以
所以
所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.
所以a n=
17.解(1)∵A=,∴B+C=
∴sin=3sin C.
cos C+sin C=3sin C.
cos C=sin C.∴tan C=
(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.
∵a=,∴c=1,b=3.
∴△ABC的面积为S=bc sin A=
18.解(1)根据题意,有
解得
故p=0.15,q=0.10.
补全的频率分布直方图如图所示.
(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.
故ξ的可能取值为0,1,2,3,
且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)=0+1+2+3
(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.
19.(1)证明(方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2
∴AE2+EF2=AF2,
∴AE⊥EF.
在△AEC中,AE=,EC=,AC=2
∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.
又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.
又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.
(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2
故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).
=(-,-1,),=(,1,2).
=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.
∴AE⊥CF.
(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),
则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).
设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.
令z1=1,得n1=(0,-2,1).
设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.
令y2=-1,得n2=(-,-1,).
设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=
20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.
将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.
(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,
由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.
所以x1+x2=m,x1x2=
所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+
=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2
=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]
=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.
所以|P A|2+|PB|2为定值.
21.解(1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,
∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.
∴h(1)=0,h'(1)=-1.
∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.
(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),
∴g(x)=a ln x+c(c为常数).
∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.
∴c=0.
∴g(x)=a ln x.
由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.
∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,
∴ln x<x,即x-ln x>0.
∴aa
设t(x)=,x∈[1,e],
则t'(x)=
∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.
∴t(x)在[1,e]上为增函数.
∴t(x)max=t(e)=a
(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.
∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).
∵t≤-1,∴-t≥1.
∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).
=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,
∴a(1-t)ln(-t)<1.
当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.
当t<-1时,a<,
令φ(t)=(t<-1),
则φ'(t)=
∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.
∴φ'(t)>0.
∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.
∵当t→-∞时,φ(t)=0,
∴φ(t)>0.∴a≤0.
综上,可知a的取值范围是(-∞,0].
22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),
直线l的普通方程为x-y+2=0.
(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)
由Δ=8a(4+a)>0,
可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.
由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.
由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,
则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.
因为a>0,所以a=1.
23.解(1)原不等式等价于
解得x≤-或x
故原不等式的解集为
(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,
则g(x)=
当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.
因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.
所以实数a的取值范围是(-1,1).
2017高考仿真卷·理科数学(三)
(考试时间:120分钟试卷满分:150分)
第Ⅰ卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A=,B={x|log2(x+1)<1},则()
A.A⊆B
B.B⊆A
C.A=B
D.A∩B=⌀
2.若复数z满足(3-4i)z=1+i,则复数z对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.某城市建经济适用房,已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户,若首批经济适用房中有90套住房可解决低收入家庭的住房问题,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为()
A.40
B.36
C.30
D.20
4.若焦点在x轴上的双曲线=1的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为()
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±x
D.y=±x
5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是()
A.5
B.7
C.9
D.11
6.“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是矩形,宽BC为3丈,长AB为4丈,EF∥AB,EF为2丈,EF与平面ABCD之间的距离为1丈.问该多面体的体积是多少?”估算该几何体的体积为() A.2丈3 B.丈3
C.丈3
D.5丈3
8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6=()
A.8
B.10
C.12
D.14
9.若=a0++…+,则a3的值为()
A.40
B.-40
C.80
D.-80
10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且|AK|=|AF|,则点A的横坐标为()
A.2
B.3
C.2
D.4
11.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax-1恒成立,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,-6]
B.[-6,0]
C.(-∞,-1]
D.[-1,0]
12.已知函数f(x)=e x+x2+x+1与g(x)的图象关于直线2x-y-3=0对称,P,Q分别是函数f(x),g(x)图象上的动点,则|PQ|的最小值为()
A. B. C. D.2
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,a⊥(a+λb),则λ=.
14.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格m与3枝康乃馨的价格n的大小关系是.
15.设函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取得最小值,则φ的值为.
16.设数列{a n}的前n项和为S n,已知2S n=3a n+3,则S n=.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc.
(1)求cos C的值;
(2)若a=5,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥上底面ABC,AB=AC=2AA1,∠ABC=30°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,M是线段AD的中点.
(1)在平面ABC内,试作出过点M与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AB于点P,交AC于点Q,求二面角A-A1P-Q的余弦值.
19.(本小题满分12分)
交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有5个级别:T∈[0,2)表示畅通;T∈[2,4)表示基本畅通;T∈[4,6)表示轻度拥堵;T∈[6,8)表示中度拥堵;T∈[8,10]表示严重拥堵.早高峰时段(T≥3),从某市交通指挥中心随机选取了三环以内50个交通路段,依据交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)据此频率分布直方图估算交通指数T∈[3,9]时的中位数和平均数.
(2)据此频率分布直方图求出该市早高峰时段三环以内的3个路段至少有2个路段严重拥堵的概率.
(3)某人早高峰时上班路上所用时间为:畅通时为25分钟;基本畅通时为35分钟;轻度拥堵时为40分钟;中度拥堵时为50分钟;严重拥堵时为60分钟.求此人上班所用时间的均值.
20.(本小题满分12分)已知长方形ABCD,AB=2,BC=,以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆P的标准方程;
(2)已知定点E(-1,0),直线y=kx+t与椭圆P交于M,N两点,证明:对任意的t>0,都存在实数k,使得以线段MN为直径的圆过E点.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a(x2-1)-x ln x.
(1)若F(x)=f'(x),当a=时,求F(x)的单调区间;
(2)若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=0.
(1)写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;
(2)求圆C截直线l所得的弦长.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1).
(1)若f(x)的最小值为3,求a的值;
(2)在(1)的条件下,求使得不等式f(x)≤5成立的x的取值集合.
参考答案
2017高考仿真卷·理科数学(三)
1.C解析∵A=(-1,1),B=(-1,1),∴A=B.
故选C.
2.B解析z==-i.故选B.
3.C解析应从乙社区抽取的户数为90=30.故选C.
4.A解析由题意知e=,解得m=1,故该双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.
5.C解析由题中的程序框图可知,k=1,S=1+2×1=3,k=1+2=3;k=3,S=3+2×3=9,k=3+2=5;k=5,S=9+2×5=19,k=5+2=7;k=7,S=19+2×7=33,k=7+2=9;此时S≥20,退出循环,输出k=9.故选C.
6.B解析根据逆否命题的等价性,只需要判断“x+y=3”与“x=1且y=2”的关系即可.当x=0,y=3时,满足x+y=3,但此时x=1且y=2不成立,即充分性不成立.
当x=1,y=2时,x+y=3成立,即必要性成立.所以“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件,
即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件.故选B.
7.D解析(方法一)
如图,连接AF,DF,可知四棱锥F-ABCD的体积为V四棱锥F-ABCD=S矩形ABCD·h=4×3×1=4(丈3),又该几何体的体积V=V四+V三棱锥E-ADF>V四棱锥F-ABCD=4丈3,故选D.
棱锥F-ABCD
(方法二)
如图,取AB的中点G,CD的中点H,连接FG,GH,HF,则该几何体的体积为V=V四棱锥F-GBCH+V三棱柱ADE-GHF.
而三棱柱ADE-GHF可以通过割补法得到一个高为EF,底面积为S=3×1=(丈2)的一个直棱柱,
故V=2+2×3×1=5(丈3),故选D.
8.C解析因为S3=3a1+3d=3×2+3d=12,所以d=2,所以a6=2+5×2=12.故选C.
9.B解析因为,
所以T4=22=-40故选B.
10.B解析由题意可知抛物线的焦点为,准线为x=-,椭圆的右焦点为(3,0),所以=3,即p=6,所以抛物线的方程为y2=12x.过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为M,则|AK|=|AF|=|AM|,所以|KM|=|AM|,设A(x,y),则y=x+3,将其代入y2=12x,解得x=3.故选B.
11.B解析
因为f(x)=所以可画出y=|f(x)|的图象如图所示.
因为y=ax-1的图象经过点(0,-1),
所以当a>0时不符合|f(x)|>ax-1恒成立.
当a≤0时,直线y=ax-1与y=x2-4x(x≤0)的图象相切时,a取得最小值-6,故a的取值范围是[-6,0],故选B.
12.D解析∵f(x)=e x+x2+x+1,
∴f'(x)=e x+2x+1.
∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线2x-y-3=0对称,∴函数f(x)的图象上的点到该直线的距离的最小值的2倍即为|PQ|的最小值.
直线2x-y-3=0的斜率k=2,令f'(x)=e x+2x+1=2,即e x+2x-1=0,解得x=0.。