2019黑龙江中考数学专题训练-几何图形多解题

几何图形多解题
类型一 点位置不确定
★1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，若DE 是△ABC 的中位线且DE ＝2，则△ABC 的周长为________．
第1题图
12＋43或6＋23或4＋43 【解析】如解图①，若DE 与BC 平行，∵DE 是△ABC 的中位线，可得BC ＝2DE ＝4，又∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴
AB ＝2BC ＝8, AC ＝BC tan A ＝4tan30°
＝43，∴△ABC 的周长为12＋43；如解图②，若DE 与AB 平行，∵DE 是△ABC 的中位线可得AB ＝2DE ＝4，又∵∠C
＝90°，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝2, AC ＝BC tan A ＝2tan30°
＝23，∴△ABC 的周长为6＋23；如解图③，若DE 与AC 平行，∵DE 是△ABC 的中位线，可得
AC ＝2DE ＝4，又∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴BC ＝AC ·tan A ＝4×33＝433，AB
＝2BC ＝833，∴△ABC 的周长为4＋4 3.
第1题解图
★2. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA ＝3，OB ＝4，连接AB ，点P 在平面内若以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等(点P 与点O 不重合)，则点P 的坐标为______．
第2题图
(3，4)或(9625，7225)或(－2125，2825) 【解析】如解图，①作AP 1∥OB ，BP 1
∥OA ，AP 1，BP 1交于点P 1，∵△AOB ≌△BP 1A ，∠AOB ＝90°，∴∠AP 1B ＝90°，BP 1＝OA ＝3，AP 1＝OB ＝4，∴P 1(3，4)；②作P 1P 2∥AB 且AP 2＝3，BP 2＝4，
易得AB 所在直线表达式为y ＝－43x ＋4，∴P 1P 2所在直线表达式为y ＝－43x
＋8，设P 2点的横坐标为m ，∴P 2(m ，－43m ＋8)，∵A (3，0)，B (0，4)，AP 2
＝3，BP 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧（m －3）2＋（－43m ＋8）2＝32m 2＋（4＋43
m －8）2＝42，解得m ＝9625，∴P 2(9625，7225)；③作OP 3∥AB ，且AP 3＝4，BP 3＝3，易得OP 3所在直线表达式为y ＝－43x ，
设P 3(n ，－43n )，同理可得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋（－43n －4）2＝32（n －3）2＋（－43
n ）2＝42解得n ＝－2125，∴P 3(－2125，2825)．综上所述，P 点的坐标为(3，4)或(9625，7225)或(－2125，2825)．
第2题解图
类型二 等腰三角形腰不确定或
直角三角形直角不确定
★3. 已知在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点D 在线段BC 上，且AD ＝12BC ，则∠BAC 的度数为________．
75°或90° 【解析】分为三种情况：①如解图①，当AB ＝AC 时，∵AD
⊥BC ，∴BD ＝DC ＝12BC ，∵AD ＝12BC ，∴AD ＝BD ＝DC ，∴∠BAC ＝90°；②
如解图②，当AB ＝BC 时，∵AD ＝12BC ，∴AD ＝12AB ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB
＝90°，∠B ＝30°，∴∠BAC ＝∠C ＝12(180°－∠B )＝75°；③当AC ＝BC 时，
与②解法相同，可得∠BAC ＝75°.
第3题解图
★4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝________．
154或307 【解析】①如解图①，当AQ ＝PQ ，∠QPB ＝90°
时，设AQ ＝PQ ＝x ，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，∴BQ BA ＝PQ AC ，∴10－x 10＝x 6，解得x ＝154，
∴AQ ＝154；②如解图②，当AQ ＝PQ ，∠PQB ＝90°时，设AQ ＝PQ ＝y ，∵△
BQP ∽△BCA ，∴PQ AC ＝BQ BC ，∴y 6＝10－y 8，∴解得y ＝307.综上所述，满足条件的
AQ 的值为154或307.
第4题解图
类型三 三角形形状不确定(钝角三角形
或锐角三角形形状不确定)
★5. 已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足
为点D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 面积的所有可能值为________．
8或24 【解析】如解图①，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4，在
Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B ＝4×23＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；如解
图②，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ·tan B
＝12×23＝8，
∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.∴△ABC 面积的所有可能值为8或24.
★6. 已知BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝3，则CD的长为________．
2＋3或
3
3
或2－3【解析】由tan∠ABD＝3，得∠ABD＝60°，(1)
当△ABC为锐角等腰三角形时，①若AB为底边，得出∠A＝30°＝∠ABC，则∠C＝120°>90°，当△ABC为锐角三角形相矛盾，故此情况不存在；②若AB为腰，如解图①，则AD＝BD·tan∠ABD＝3，∴AB＝AD2＋BD2＝2，∴CD＝AC－AD＝2－3；(2)当△ABC为钝角等腰三角形时，①若AB为底边，如解图②，则∠CBA＝∠A＝90°－∠ABD＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD ＝BD·tan30°＝3
3
；②若AB为腰，则∠BAC＝120°，∠DAB＝60°，∴∠ABD
＝30°，则tan∠ABD＝3
3，∴这种情况不存在；(3)当△ABC为等腰直角三角
形时，与题意相矛盾，故此情况不存在，综上所述，CD的长为2＋3或3
3
或2－ 3.
第6题解图
类型四所画图形位置不确定
★7. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上
的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．
3或43【解析】如解图①，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM ＝x，在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，∴x2＝42＋(8－x)2，∴x＝5，∴PC ＝5，BP＝BC－PC＝8－5＝3；
如解图②，当⊙P与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt △PBM中，PB＝82－42＝43，综上所述，BP的长为3或4 3.
第7题解图①第7题解图②
★8. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是________．
30°或150°【解析】当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如解图①，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE ＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE ＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，∴∠AEB＝∠CED ＝15°，则∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝30°；当等边三角形AED在正方形ABCD内部时，如解图②，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∴DE＝DC，∵∠CED＝∠ECD，∴∠CDE ＝∠ADC－∠ADE＝90°－60°＝30°，∴∠CED＝∠ECD＝1
×(180°－30°)＝
2
75°，∴∠BEC＝360°－75°×2－60°＝150°，故答案为30°或150°.
第8题解图
类型五 图形旋转方向或边不确定
★9. 如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，将△BDE 绕点B 旋转30°，得到△BD ′E ′(D 和D ′是对应点，E 和E ′是对应点)，连接CD ′，则tan ∠BCD ′＝________．
第9题图
12或4＋313 【解析】如解图①，当△BDE 绕点B 逆时针旋转30°
时，易得∠D ′BC ＝90°，BD ′＝BD ＝12AB ＝3，BC ＝6，∴tan ∠BCD ′＝12；如解图
②，当△BDE 绕点B 顺时针旋转30°时，设D ′E ′交BC 于F ，易得D ′E ′⊥BC ，
D ′F ＝
E ′
F ＝32，∴BF ＝332，∴CF ＝6－332，∴tan ∠BCD ′＝3
26－332＝14
－3＝4＋3
13.
第9题解图
★10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为BC 上一点，且∠ADB ＝120°，若将线段AD 绕点A 旋转30°，得到AD
′，连接BD ′，则以BD ′为边长的正方形的面积为________．
4－23或10－43【解析】根据题意可得∠ABC＝∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，∴∠DAB＝15°，∴CD＝1，AD＝2；如解图①，当线段AD绕点A逆时针旋转30°时，可得△ADB≌△AD′B，∴BD′＝BD＝BC－CD＝3－1，即BD′为边长的正方形的面积为(3－1)2＝4－23；如解图②，当线段AD 绕点A顺时针旋转30°时，连接BD′，可知A，C，D′三点共线，∴CD′＝AD′－AC＝AD－AC＝2－3，由勾股定理可得BD′2＝CD′2＋BC2＝(2－3)2＋(3)2＝10－43，即以BD′为边长的正方形的面积为10－4 3.
第10题解图。