黑河市外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

黑河市外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈
2． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．7
D ．9 3． A={x|x ＜1}，B={x|x ＜﹣2或x ＞0}，则A ∩B=（ ）
A ．（0，1）
B ．（﹣∞，﹣2）
C ．（﹣2，0）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）
4． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
5． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40
C ．60
D ．20
6． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则
等（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
9．下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（）
A．B．C．
D．
10．已知命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）
A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）
11．已知等差数列{a n}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
12．拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（）
A．4 B．6
C．8 D．10
二、填空题
13．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0． 其中正确命题的序号是 ．
14．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．
15．已知α为钝角，sin （
+α）=，则sin （
﹣α）= ．
16．如图，一船以每小时20km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km ．
17．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
18．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.
三、解答题
19．解关于x 的不等式12x 2﹣ax ＞a 2（a ∈R ）．
20．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（2，）． （1）求a 的值；
（2）比较f （2）与f （b 2
+2）的大小；
（3）求函数f （x ）=a （x ≥0）的值域．
21．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．
22．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．
（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =（n ∈N *
），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞
成立的最小正整数n ．
23．定义在R 上的增函数y=f （x ）对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），则 （1）求f （0）；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
24．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
黑河市外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系. 2． 【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，
∴sin
+acos
=﹣
=﹣2，∴a=
，∴f （x ）=sin ωx+
cos ωx=2sin （ωx+
）．
再根据f （）=2sin （+
）=﹣2，可得
+
=2k π+
，k ∈Z ，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7， 则ω的可能值为7， 故选：C ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
3． 【答案】D
【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）， ∴A ∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），
故选：D ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
4． 【答案】 B
【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，
∴mx ＜2lnx ，即＜在[1，e]上有解，
令h （x ）=
，则h ′（x ）=
，
∵1≤x ≤e ，∴h ′（x ）≥0，
∴h （x ）max =h （e ）=，
∴＜h （e ）=，
∴m＜．
∴m的取值范围是（﹣∞，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
5．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
6．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
7．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
8．【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．9．【答案】B
【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x ＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性．
所以B不能作为函数图象．
故选B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．
10．【答案】A
【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，
则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则，
解得：1＜a≤4．
故实数a的取值范围为（1，4]．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
11．【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n}，
∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，
∴a10=15，
故选：A．
12．【答案】
【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p
2＝2，
∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x y ＝±
x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.
二、填空题
13．【答案】 ①③④ ．
【解析】解：①∵
，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x 2﹣4x ﹣5=0，但当x 2﹣4x ﹣5=0时，不能推出x 一定等于5，故“x=5”是“x 2﹣4x ﹣5=0”成立
的充分不必要条件，故②错误；
③易知命题p 为真，因为＞0，故命题q 为真，所以p ∧（￢q ）为假命题，故③正
确；
④∵f ′（x ）=3x 2﹣6x ，∴f ′（1）=﹣3，∴在点（1，f （1））的切线方程为y ﹣（﹣1）=﹣3（x ﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④． 故答案为①③④．
14．【答案】﹣280
解：∵（﹣2）7
的展开式的通项为
=．
由
，得r=3．
∴x 2的系数是．
故答案为：﹣280．
15．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：∵sin （+α）=，
∴cos （﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin （
+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜
﹣
，
∴sin （﹣α）＜0，
∴sin （﹣α）=﹣
=﹣
=﹣
， 故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
16．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC 中，根据正弦定理得：BC==
海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为
．
17．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
18．【答案】120
【解析】
考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据sin:sin:sin3:5:7
A B C=，根据正弦定理，可设3,5,7
===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
a b
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，
①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
20．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），
∴a2=，
∴a=
（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，
又2＜b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2），
（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，
∴≤（）﹣1=3
∴0＜f （x ）≤（0，3]
21．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
． 【解析】
试题分析：（1）由于12
2a -==⇒()1
4127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭，；（2）由()()2741
44227lg241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<．设()44lg lg 128a g x x a =+，
原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与
不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思想
和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n ≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则
=1+（n ﹣1）1=n ，…
从而S n =n 2
．…
当n=1时，a 1=S 1=1，
当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2
=2n ﹣1．
因为a 1=1也符合上式， 所以a n =2n ﹣1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n ==
=
，…
所以b 1+b 2+…+b n =
==
，…
由
，解得n ＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
23．【答案】
【解析】解：（1）在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）中， 令x=y=0可得，f （0）=f （0）+f （0）， 则f （0）=0，
（2）令y=﹣x ，得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）， 又f （0）=0，则有0=f （x ）+f （﹣x ）， 即可证得f （x ）为奇函数；
（3）因为f （x ）在R 上是增函数，又由（2）知f （x ）是奇函数， f （k •3x ）＜﹣f （3x ﹣9x ﹣2）=f （﹣3x +9x +2），
即有k •3x ＜﹣3x +9x
+2，得
，
又有
，即
有最小值2
﹣1，
所以要使f （k •3x
）+f （3x
﹣9x
﹣2）＜0恒成立，只要使
即可，
故k 的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2
，且离心率e=，
∴
，解得a 2=4，b 2
=3，
∴椭圆C 的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN 的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t 2+4）y 2
+6ty ﹣9=0，
∴
，，
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），又F 1（﹣1，0），F 2（1，0），
则直线F 1M ：，令x=4，得P （4，），同理，Q （4，
），
∴=
||=15×|
|=180×|
|，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y=
=
在[1，
）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（
）min =
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．。