浅谈利用不等式性质得结论证数列不等式

浅谈利用不等式性质得结论证数列不等式
数列不等式的证明问题解决方法灵活多样、技巧性强，是同学们感到棘手的一类问题.本文通过不等式的性质，得到相应的结论，进而证明一类数列不等式.
众所周知，不等式有以下两种性质：a＞b，c＞da+c＞b+d；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.
将其运用到数列当中，就有如下结论：对于数列{an}，{bn}，其前n项和分别记为An，Bn，前n项积分别记为A′ n，B′ n.若满足an＞bn对任意的n∈N*均成立，则An＞Bn；若满足an＞bn＞0对任意的n∈N*均成立，则A′ n＞B′ n.
例1 求证：++…+＞（n∈N*）.
证明设数列{an}的通项公式为an=，则其前n项和
An=++…+；设数列{bn}的通项公式为bn=-=，则其前n项和Bn=.
易知＞，即an＞bn对任意的n∈N*均成立.
则An＞Bn，即++…+＞对任意的n∈N*都成立.
例2 求证：
1+•1+•1+•…•1+＞（n∈N*）.
证明设数列{pn}的通项公式为pn=，则其前n项积
Pn=•••…•；设数列{qn}的通
项公式为qn=，则其前n项积Qn=.
易得pn=＞0，qn=＞0，===＞1对任意n∈N*恒成立.
故pn＞qn＞0对任意的n∈N*恒成立，
则pn＞Qn，即•••…•＞对任意的n∈N*都成立.
通过上述证明可以看出，要借助此方法证明数列不等式，需要所证数列不等式的两边都可以表示成数列的和（或积）.解决这类数列不等式的关键在于根据所要证明的数列不等式恰当构造两个数列，通过两个数列的通项建立不等关系，然后利用不等关系的可加性（或可乘性）达到解决问题的目的.
1. 求证：1+++…+＜2-（n∈N*）.
2. 求证：1+++…+＜n（n∈N*）.
3. 求证：（1+1）
•1+•1+•…•1+
＞（n∈N*）.
1. 提示：＜（n∈N*，n≥2）.
2. 提示：+++…+＜1（n∈N*）.
3．提示：1+＞（3n-1）3＞（3n+1）•（3n-2）2（n∈N*）.。