北京市通州区第六中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

北京市通州区第六中学八年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
一、压轴题
1．如图1，我们定义：在四边形ABCD 中，若AD=BC ，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD 叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰ABE △中，AE=BE ，四边形ABCD 是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=
1
2
∠AEB ． （2）如图3，在非等腰ABE △中，若四边形ABCD 仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=
1
2
∠AEB 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
2．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结
AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．
（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；
（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点． （3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则
AG
CG
=______．（直接写出结果） 3．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．
4．如图，若要判定纸带两条边线a ，b 是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB 折叠的方式来进行探究．
（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________； （2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；
（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿
11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，
AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1AC 的长． 5．在△ABC 中，已知∠A ＝α．
（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ． ①当α＝70°时，∠BDC 度数＝ 度（直接写出结果）； ②∠BDC 的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ，求∠BFC 的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）． 6．阅读并填空：
如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE
OD ，那么CD BE =
，为什么？
解：过点E 作EF AC 交BC 于F
所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
D OEF ∠=∠（________）
在OCD 与OFE △中
()________COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
所以OCD OFE △≌△，（________） 所以CD FE =（________） 因为AB AC =（已知） 所以ACB B =∠∠（________） 所以EFB B ∠=∠（等量代换） 所以BE FE =（________） 所以CD BE =
7．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．
8．(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．
①请直接写出∠AEB 的度数为_____；
②试猜想线段AD 与线段BE 有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．
9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①． （1）求证：∠ACN =∠AMC ；
（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：
12S AC S AB
； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）
10．已知，如图1，直线l 2⊥l 1，垂足为A ，点B 在A 点下方，点C 在射线AM 上，点B 、C 不与点A 重合，点D 在直线11上，点A 的右侧，过D 作l 3⊥l 1，点E 在直线l 3上，点D 的下方．
（1）l 2与l 3的位置关系是 ；
（2）如图1，若CE 平分∠BCD ，且∠BCD ＝70°，则∠CED ＝ °，∠ADC ＝ °； （3）如图2，若CD ⊥BD 于D ，作∠BCD 的角平分线，交BD 于F ，交AD 于G ．试说明：∠DGF ＝∠DFG ；
（4）如图3，若∠DBE ＝∠DEB ，点C 在射线AM 上运动，∠BDC 的角平分线交EB 的延长线于点N ，在点C 的运动过程中，探索∠N :∠BCD 的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．
11．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中m
n 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+． （1）已知()()1,10,0,28T T -==．
①求m
n 、的值； ②若关于p 的不等式组()()2,24
4,32T p p T p p a
⎧->⎪
⎨
-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围；
（2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出m
n 、满足的关系式．
学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 12．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形
语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则1
2
CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：
已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点
（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________
（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．
(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．
13．如图，在ABC 中，3AB AC ==，50B C ∠=∠=，点D 在边BC 上运动（点D 不与点,B C 重合），连接AD ，作50ADE ∠=，DE 交边AC 于点E ．
（1）当100BDA ∠=时，EDC ∠= ，DEC ∠= （2）当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA ∠的度数；若不可以，请说明理由．
14．探究发现：如图①，在ABC 中，内角ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线相交于点E ．
（1）若80A ∠=︒，则E ∠= ； 若50A ∠=︒，则E ∠= ；
（2）由此猜想：A ∠与E ∠的关系为 (不必说明理由)．
拓展延伸：如图②，四边形ABCD 的内角DCB ∠与外角ABE ∠的平分线相交于点F ，
//BF CD ．
（3）若125A ∠=︒，95D ∠=︒，求F ∠的度数，由此猜想F ∠与A ∠，D ∠之间的关系，并说明理由．
15．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边
BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；
（1）如图1，求BAN ∠的度数；
（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．
16．完全平方公式：()2
22
2a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值．
解：因为3,1a b
ab
所以()2
9,22a b ab +== 所以2229,22a b ab ab ++== 得227a b +=．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值；
（2）①若()45x x -=,则()2
2
4x x -+= ；
②若()()458x x --=则()2
2
()45x x -+-= ；
（3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．
17．如图1，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上，∠EDF ＝30°，∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，记∠ADF 为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；
（1）如图2，当∠α＝ 时，//DE BC ，当∠α＝ 时，DE ⊥BC ；
（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是 ；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．
18．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且
//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从
点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()
2
S cm ，求S 与t 之间的关系式．
19．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足a 6b 80-+-=． （1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC =∠D CO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOD ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．
20．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6． （1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度； ②当t 为何值时，点M 与点N 重合； ③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）见解析；（2）仍然成立，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和互补等对边四边形的定义可利用SAS证明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，从而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根据三角形的内角和
定理和直角三角形的性质可得∠ABD=1
2
∠AEB，进一步可得结论；
（2）如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，根据互补等对边四边形的定义可利用AAS证明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，进一步即可根据HL证明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互补等对边四边形的定义、平角的定义和四边形的内角和可得∠AEB+∠DHC=180°，进而可得∠AEB=∠BHC，再根据三角形的外角性质即可推出结论．
【详解】
（1）证明：∵ AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SAS)，
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=1
2
（180°−∠AEB）=90°−
1
2
∠AEB，
∴∠ABD=90°−∠EAB=90°−(90°−1
2
∠AEB)=
1
2
∠AEB，
同理：∠BAC=1
2
∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=1
2
∠AEB；
（2）∠ABD=∠BAC=12
∠AEB 仍然成立；理由如下： 如图3所示：过点A 、B 分别作BD 的延长线与AC 的垂线，垂足分别为G ，F ， ∵四边形ABCD 是互补等对边四边形，
∴AD=BC ，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+∠ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADG ，
又∵AG ⊥BD ，BF ⊥AC ，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD 和△BFC 中，
∠AGD=∠BFC ，∠ADG=∠BCA ，AD=BC
∴△AGD ≌△BFC （AAS ），
∴AG=BF ，
在Rt △ABG 和Rt △BAF 中，
AB BA AG BF
=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABG ≌Rt △BAF （HL ），
∴∠ABD=∠BAC ，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC ．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD ，∠ABD=∠BAC ，
∴∠ABD=∠BAC=
12
∠AEB ． 【点睛】
本题以新定义互补等对边四边形为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角
形的性质、三角形的内角和定理与三角形的外角性质以及四边形的内角和等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）见解析；（3）
113或53
【解析】
【分析】
（1）证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论； （2）作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；
（3）过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
解：（1）证明：∵FD ⊥AC ，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE ，
在△AFD 和△EAC 中， AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），
∴DF=AC ，
∵AC=BC ，
∴FD=BC ；
（2）作FD ⊥AC 于D ，
由（1）得，FD=AC=BC ，AD=CE ，
在△FDG 和△BCG 中，
90FDG BCG FGD BGC
FD BC ︒
⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E 点为BC 中点；
（3）当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF ≌△ECA ，△GDF ≌△GCB ，
∴CG=GD ，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5， ∴4 1.5111.53AG CG +==， 同理，当点E 在线段BC 上时，
4 1.551.53AG CG -==， 故答案为：113或53
.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .
证明：∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴DF ＝BD
∵点D 是BC 的中点
∴BD ＝CD
∴DF ＝CD
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝
＝ ∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点
∴AD ⊥BC
∴90ADC ∠︒＝
∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝
∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝
在ADF ∆与EDC ∆中
AFD ECD DF CD
ADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌
∴AD ＝DE ；
（2）结论：AD ＝DE .
证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F
∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴BF ＝BD
∴AF ＝DC
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝
＝ ∵∠ADC 是ABD ∆的外角
∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋
∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋
∴∠FAD ＝∠CDE
在AFD ∆与DCE ∆中
AFD DCE AF CD
FAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌
∴AD ＝DE ；
（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.
证明：∵BC CD =
∴AC CD =
∵CE 平分ACD ∠
∴CE 垂直平分AD
∴AE =DE
∵60ADE ∠=︒
∴ADE ∆是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
4．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；
（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；
（3）分两种情况：①当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1AC 的长，即可得到答案．
【详解】
（1）∵12∠=∠，
∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），
故答案是：内错角相等，两直线平行；
（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，
若a ∥b ，则∠3=∠2，
∴∠4=∠2，
∵∠2+∠4+∠1=180°，
∴∠1+2∠2=180°，
∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．
故答案是：∠1+2∠2=180°；
（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2，
∵AB//11A B ，a ∥b ，
∴AA 1=BB 1=3，
∴1AC =AC- AA 1=7-3=4；
②当B 1在B 的右侧时，如图3，
∵AB//11A B ，a ∥b ，
∴AA 1=BB 1=3，
∴1AC =AC+AA 1=7+3=10．
综上所述：1AC =4或10．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．
5．（1）（1）①125°；②
1
90
2
α
︒+，（2）
1
BFC
2
α
∠=；（3）
1
BMC90
4
α
︒
∠=+
【解析】
【分析】
（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；
②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC
∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC
∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．
【详解】
解：（1）①∵
1
2
DBC
∠=∠ABC，∠DCB＝
1
2
∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣1
2
（180°﹣70°）
＝125°
②∵
1
2
DBC
∠=∠ABC，∠DCB＝
1
2
∠ACB，
∴∠BDC ＝180°﹣∠DBC ﹣∠DCB
＝180°﹣12（∠ABC +∠ACB ） ＝180°﹣
12（180°﹣∠A ） ＝90°+
12∠A ＝90°+12
α． 故答案分别为125°，90°+
12α． （2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE
∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2
∠=∠， ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝
11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠ 即1BFC 2
α∠=． （3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=
， 由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+
∠， ∴1BMC 904
α∠=︒+
． 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．
6．见解析
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．
【详解】
解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，
∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），
∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），
在OCD 与OFE △中
()()()COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）
∴CD FE =（全等三角形对应边相等）
∵AB AC =（已知）
∴ACB B =∠∠（等边对等角）
∴EFB B ∠=∠（等量代换）
∴BE FE =（等角对等边）
∴CD BE =；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
7．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;
（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.
【详解】
(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°，
在△ACP 和△BPQ 中，
{AP BQ
A B AC BP
=∠=∠=
∴△ACP ≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直；
(2)①若△ACP ≌△BPQ ，
则AC= BP ，AP= BQ ，
34t t xt
=-⎧⎨=⎩ 解得11
t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，
则AC= BQ ，AP= BP ，
34xt t t =⎧⎨=-⎩
解得：232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】
本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.
8．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由条件△ACB 和△DCE 均为等边三角形，易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．②由△ACD ≌△BCE ，可得AD=BE ；
（2）首先根据△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，可得AC=BC ，CD=CE ，
∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE ，即可判断出BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，进而判断出∠AEB 的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，可得CM=DM=EM ，所以DE=DM+EM=2CM ，据此判断出AE=BE+2CM ．
【详解】
（1）①∵∠ACB=∠DCE ，∠DCB=∠DCB ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在△ACD 和△BCE 中，
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ACD ≌△BCE ，
∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE，∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB，即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题．
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；
（2）过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；
（2）过点N作NE⊥AC于E，
∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，
∴△NEC≌△CDM（AAS），
∴NE=CD，CE=DM；
∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB
=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，
理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，
由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．
∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，
∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，
∴AE=BD+BP=DP ．
∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，
∴△NEA ≌△CDP （SAS ），
∴AN=PC ．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，
12 【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）直线l 2⊥l 1，l 3⊥l 1，
∴l 2∥l 3，
即l 2与l 3的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行；
（2）∵CE 平分∠BCD ，
∴∠BCE ＝∠DCE ＝
12
∠BCD ， ∵∠BCD ＝70°，
∴∠DCE＝35°，
∵l2∥l3，
∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案为：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BCF+∠AGC＝90°，
∵CD⊥BD，
∴∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠AGC＝∠CFD，
∵∠AGC＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠DFG；
（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于1
2
；理由如下：
∵l2∥l3，
∴∠BED＝∠EBH，
∵∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBE＝∠EBH，
∴∠DBH＝2∠DBE，
∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，
∵∠N+∠BDN＝∠DBE，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠BDN，
∴∠BCD＝2∠N，
∴∠N:∠BCD＝1
2
．
【点睛】
本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．
11．（1）①
1
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
；②42≤a＜54；（2）m=2n
【解析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得()0
88m n n ⎧--=⎨=⎩，
解得11m n =⎧⎨=⎩
， ②由题意得()()(
)()222424432464p p p p p p p p a ⎧+-+->⎪⎨+-+-≤⎪⎩， 解不等式①得p ＞-1． 解不等式②得p≤
1812a -， ∴-1＜p≤1812
a -， ∵恰好有3个整数解，
∴2≤1812
a -＜3． ∴42≤a ＜54；
（2）由题意：（mx+ny ）（x+2y ）=（my+nx ）（y+2x ），
∴mx 2+（2m+n ）xy+2ny 2=2nx 2+（2m+n ）xy+my 2，
∵对任意有理数x ，y 都成立，
∴m=2n ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1）AE//BF;QE=QF ；(2)QE=QF ，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS 得到AEQ BFQ ∆≅∆，得到AEQ BFQ ∠=∠、QE=QF ，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF ；
（2）延长EQ 交BF 于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（3）延长EQ 交FB 的延长于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．
【详解】
（1）AE//BF ；QE=QF
证明：延长EQ 交BF 于D ，
,AE CP BF CP ⊥⊥
//AE BF ∴
AEQ BDQ ∴∠=∠
AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, AEQ BDQ ∴∆≅∆
EQ DQ ∴=
90BFE ︒∠=
QE QF ∴=
（3）当点P 在线段BA 延长线上时，此时（2）中结论成立
证明：延长EQ 交FB 的延长于D
因为AE//BF
所以AEQ BDQ ∠=∠
AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AEQ BDQ ∴∆≅∆
EQ=QF
90BFE ︒∠=
QE QF ∴=
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法：AAS ，平行线的性质，根据P 点位置不同，画出正确的
图形，找到AAS 的条件是解决本题的关键．
13．（1）30，100；（2）3DC =，见解析；（3）可以，115或100
【解析】
【分析】
（1）根据平角的定义，可求出 ∠EDC 的度数，根据三角形内和定理，即可求出 ∠DEC ；
（2）当 AB=DC 时，利用 AAS 可证明 ΔABD ≅
ΔDCE ，即可得出 AB=DC=3 ； （3）假设 ΔADE 是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当 DA=DE 时，求出
∠DAE=∠DEA=70° ，求出 ∠BAC ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠BDA 即可；②当 AD=AE 时， ∠ADE=∠AED=40° ，根据 ∠AED>∠C ，得出此时不符合；③当 EA=ED 时，求出 ∠DAC ，求出 ∠BAD ，根据三角形的内角和定理求出 ∠ADB ．
【详解】
（1）在 △BAD 中，
∵∠B=50°,∠BDA=100° ，
∴1801805010030EDC ADE ADB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
1801803050100DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故答案为30EDC ∠=︒，100DEC ∠=︒．
（2）当3DC =时，ABD DCE ∆≅∆，理由如下：
∵3AB =，3DC =
∴AB DC =
∵50B ∠=，50ADE ∠=
∴B ADE ∠=∠
∵180ADB ADE EDC ∠+∠+∠=
180DEC C EDC ∠+∠+∠=
∴ADB DEC ∠=∠
在ABD ∆和DCE ∆中
AB DC B C
ADB DEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
∴ABD ∆≅DCE ∆
（3）可以，理由如下：
∵50B C ︒∠=∠=，180B C BAC ︒∠+∠+∠=
∴180180505080BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
分三种情况讨论：
①当DA DE =时，DAE DEA ∠=∠
∵50ADE ︒∠=，180ADE DAE DEA ︒∠+∠+∠=
∴()
18050265DAE ︒︒︒∠=-÷=
∴BAD BAC DAE ∠=∠-∠
8065︒︒=-
15︒=
∵180B BAD BDA ︒∠+∠+∠=
∴180BDA B BAD ︒∠=-∠-∠
1805015︒︒︒=--
115︒=
②当AD AE =时，50AED ADE ︒∠=∠=
∵180ADE AED DAE ︒∠+∠+∠=
∴180DAE AED ADE ︒∠=-∠-∠
1805050︒︒︒=--
80︒=
又∵80BAC ︒∠=
∴DAE BAE ∠=∠
∴点D 与点B 重合，不合题意．
③当EA ED =时，50DAE ADE ︒∠=∠=
∴BAD BAC DAE ∠=∠-∠
8050︒︒=-
30︒=
∵180B BAD BDA ︒∠+∠+∠=
∴180BDA B BAD ︒∠=-∠-∠
1805030100︒︒︒︒=--=
综上所述，当BDA ∠的度数为115或100时，ADE ∆是等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14．（1）40°25°；（2）12∠=
∠E A (或2E ∠=∠Ａ)（3）F ∠=()1902
A D ∠+∠-︒ 【解析】
【分析】
（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将A ∠的角度带入即可求解；
（2）由（1）可得，即可求解；
（3）在DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ，可知1==2BCF DCF BCD ∠∠∠12
EBF ABE ∠=∠，又因为//BF CD ，两直线平行内错角相等，得出F DCF ∠=∠，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和，得出
+EBF F BCF ∠=∠∠，再由四边形的内角和定理得出
++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，最后在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，代入整理即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题可知：BE 为DBA ∠的角平分线，CE 为BCA ∠的角平分线， ∴DBA ∠=2EBA ∠=2EBD ∠，BCA ∠=2BCE ∠，
∴1802ABC EBA ∠=-∠，
三角形内角和等于180，
∴在ABC 中：+180A ABC BCA ∠∠+∠=，
即：+(1802)2180A EBA BCE ∠-∠+∠=，
220A EBA BCE ∠-∠+∠=①，
在EBC 中：+180E EBC BCE ∠∠+∠=，
即：+180-180E EBA BCE ∠∠+∠=（），
-0E EBA BCE ∠∠+∠=②，
综上所述联立①②，由①-②×2可得 ：
22-2-0A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠+∠=（），
22-2+2-20A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠∠=，
-20A E ∠∠=，
1=2
E A ∠∠， 当80A =∠，则E ∠=40；
当50A ∠=，则E ∠=25；
故答案为40，25；
（2）由（1）知：12
∠=∠E A (或2A E ∠=∠)； （3）∵DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ， ∴1==
2BCF DCF BCD ∠∠∠，12
EBF ABE FBA ∠=∠=∠ ， 又∵//BF CD ，
∴F DCF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）BCF =∠，
∵EBF ∠是CBF 的一个外角，
∴+=2EBF F BCF F FBA ∠=∠∠∠=∠（三角形一外角等于不相邻的两个内角的和）， 在四边形ABCD 中，四边形内角和为360，125A ∠=， 95D ∠=，
∴++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，
∴360---=360---2ABC A D BCD A D F ∠=∠∠∠∠∠∠①，
∴=360-125-95-2=140-2ABC F F ∠∠∠，
即140-2ABC F ∠=∠，
在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，
2FBC FBA ABC F ABC ∠=∠+∠=∠+∠，
由上可得：+2+180F F F ABC ∠∠=∠+∠，
4180F ABC =∠+∠②，
又∵=140-2ABC F ∠∠，
∴-42014018F F ∠=∠+，
240F ∠=，
20F ∠=，
由①②可得，-4-13608-20F A D F ∠+∠∠=∠，
2+180F A D =∠+∠∠，
+-9102
F A D ∠∠=∠）（． 【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
15．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【解析】
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论； （2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；
（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）//MN GH ，
180ACB NAC ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90CAN ∴∠=︒，
30BAC ∠=︒，
9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；
（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，
45ED F ∠=︒，
18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，
90DFE ∠=︒，
15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；
（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，
由（1）知，60BAN ∠=︒，
30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；
当90AFD ∠=︒时，如图4，
90DFE ∠=︒，
∴点A ，E 重合，
45ED F ∠=︒，
45DAF ∴∠=︒，
由（1）知，60BAN ∠=︒，
15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，
即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．
16．（1）12；（2）①6；②17；（3）
92 【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；
（2）①两边平方，再将(4)5x x -=代入计算；
②两边平方，再将()()458x x --=代入计算；
（3）由题意可得：6AC BC +=，2218AC BC +=，两边平方从而得到9AC BC =，即可算出结果．
【详解】
解：（1）8x y +=；
22()8x y ∴+=；
22264x xy y ++=；
又2240x y +=；
22264()xy x y ∴=-+，
2644024xy ∴=-=，
∴12xy =．
（2）①(4)4x x -+=，
22[(4)]4x x ∴-+=
222[(4)](4)2(4)16x x x x x x -+=-+-+=；
又(4)5x x -=，
22(4)162(4)16256x x x x ∴-+=--=-⨯=．
②由(4)(5)1x x ---=-，
2222[(4)(5)](4)2(4)(5)(5)(1)x x x x x x ∴---=----+-=-；
又(4)(5)8x x --=，
22(4)(5)12(4)(5)12817x x x x ∴-+-=+--=+⨯=．
（3）由题意可得，6AC BC +=，2218AC BC +=；
22()6AC BC +=，22236AC AC BC BC ++=；
22236()361818AC BC AC BC ∴=-+=-=，
9AC BC =；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
BC CF =， ∴1922
ACF S AC CF ∆==．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得
①(4)4x x -+=，②(4)(5)1x x ---=-是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段6AB BC +=，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到9AC BC =，再根据直角三角形面积公式得出答案．
17．（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和不变，理由见解析③55°＜α≤60°．
【解析】
【分析】
（1）当∠EDA ＝∠B ＝40°时，//DE BC ，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当//DE AC 时，DE ⊥AB ，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；
（2）①由已知得出∠ACD ＝45°，∠A ＝50°，推出∠CDA ＝85°，当点C 在DE 边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C 在DF 边上时，α＝85°，即可得出结果；
②连接MN ，由三角形内角和定理得出∠CNM ＋∠CMN ＋∠MCN ＝180°，则∠CNM ＋∠CMN ＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM ＋∠DMN ＋∠MDN ＝180°，即∠2＋∠CNM ＋∠CMN ＋∠1＋∠MDN ＝180°，即可得出结论；。