山东省济南市章丘绣水中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析

山东省济南市章丘绣水中学2020-2021学年高二数学理
上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题中正确的是
(A)若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列
(B)若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列
(C)若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列
(D)若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
参考答案：
C
2. 已知三棱锥A-BCD中，，则该三棱锥的外接球的体积为（）
A. B. C. D. 4π
参考答案：
A
【分析】
先作出图形，结合长度关系证明△为直角三角形，确定球心，求出半径得到体积. 【详解】∵
∵，∴△为直角三角形；
取中点,如图，则，
∴为三棱锥外接球的球心，且半径；
∴外接球的体积为，故选A.
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的体积，此类问题的一般求解思路是：根据条件确定
球心位置，然后求出半径，代入公式可得体积；或者构造模型借助模型求解.
3. 在△ABC中，如果（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，那么A等于（）
A．30°B．120°C．60°D．150°
参考答案：
A
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：先化简（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，再由余弦定理的推论求出cosA的值，由A的范
围和特殊角的余弦值求出A．
解答：解：由题意得，（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，
则（b+c）2﹣a2=bc，化简得b2+c2﹣a2=﹣bc，
由余弦定理得，cosA==，
由0°＜A＜180°得A=120°，
故选：A．
点评：本题考查利用余弦定理的推论求角，以及特殊角的余弦值，注意内角的范围，属于中档题．
4. 已知命题关于的函数在上是增函数，命题关
于的函数在上为减函数，若且为真命题，则实数的取
值范围
是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角
的大小是（）
A 600
B 900 C
300 D 450
参考答案：
B
6. 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（）
A.B.
C. D.
参考答案：
D
7. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果
，那么（）
A. 10
B. 9
C. 6
D. 4
参考答案：
B
【分析】
依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长。

【详解】抛物线的准线方程是，所以，
，，故选B。

【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法。

8. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）
A. ①、③
B. ①、④
C. ②、③
D. ②、④
参考答案：
B
9. 已知函数满足对任意，都有
成立，则的取值范围为（）
A. B.(0,1) C. D.(0,3)
参考答案：
A
10. 在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（）
A. B． C． D．
参考答案：
D 解析：分三种情况：（1）若仅系数最大，则共有项，；（2）若与系数相等且最大，则共有项，；（3）若与系数相等且最大，则共有项，
，所以的值可能等于
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0的解集为．
参考答案：
（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：令（x﹣1）（x+1）（x﹣2）=0，解得：x=1或﹣1或2，
x＜﹣1时，x﹣1＜0，x+1＜0，x﹣2＜0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0，成立，
﹣1＜x＜1时，x﹣1＜0，x+1＞0，x﹣2＜0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，不成立，
1＜x＜2时，（x﹣1）＞0，（x+1）＞0，（x﹣2）＜0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2）＜0，成立，
x＞2时，x﹣1＞0，x+1＞0，x﹣2＞0，
故（x﹣1）（x+1）（x﹣2＞0，不成立，
故不等式的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（1，2），
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，2）．
12. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10
次，投中的次数如表：
= ．
参考答案：
0.4
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．
【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，
这组数据的平均数是7，
甲班投中次数的方差是，
乙班的投中次数是6，7，6，7，9，
这组数据的平均数是7，
这组数据的方差是
∴两组数据的方差中较小的一个为0.4，
故答案为：0.4
13. 已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为．
参考答案：
﹣1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得
|FA|，则|PA|+|PM|可求．
【解答】解：依题意可知，抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），
准线方程为y=﹣1，
只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，
（因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果），
由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点F的距离，
此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可，
显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，
由两点间距离公式得|FA|==，
那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
14. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数
是．
参考答案：
108
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】先选一个偶数字排个位，再考虑1、3都不与5相邻，利用分类计数原理及分步计数原理，可得结论．
【解答】解：先选一个偶数字排个位，又3种选法，再考虑1、3都不与5相邻
（1）若5在十位或十万位，则1，3有三个位置可排，有2=24个；
（2）若5排再百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有个，
故共有3×（24+12）=108个
故答案为：108．
15. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）= ．
参考答案：
120
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3项的系数，求和即可．
【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式展开式中，含x3y0的系数是： =20，故f （3，0）=20；
含x2y1的系数是=60，故f（2，1）=60；
含x1y2的系数是=36，故f（1，2）=36；
含x0y3的系数是=4，故f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故答案为：120．
16. 圆关于A(1,2)对称的圆的方程为
参考答案：
17. 函数的定义域为▲．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. m为何实数时，复数是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
参考答案：
（1）或2；（2）且；（3）
【分析】
首先化简所给的复数，然后得到关于m的方程或不等式，据此即可确定z为实数、虚数、纯虚数时m的值或取值范围.
【详解】复数，
（1）复数为实数可得，解得或2．
（2）复数为虚数可得，解得且．
（3）复数纯虚数可得：并且，解得．
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19. （本小题满分14分）如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，
E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
（I）求证：EF⊥CF；
(II) 求直线与所成角的余弦值。

参考答案：
（14分）(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，E(0，0，)，C(0，1，0)，F(，，0)，G(1，1，)
所以＝(，，－)，(，－，0)，(1，0，)．
因为，所以，即EF⊥CF．
(2)解：因为，
，
．
所以
所以直线EF和CG所成的角的余弦值是.
略
20. （本小题满分12分）
已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为, 若△ABC的外接圆的半径为，且
（I）求∠C；
（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．
参考答案：
（1）, (2)
21. 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目A:通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可能结果为:获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别
为；项目B:新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b、c.经测算，当投入A、B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求a、b、c的值;
(2)若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
参考答案：
(1) ，，；(2) 从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.
【分析】
（1）根据概率和为1列方程求得a的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得b、c的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．
【详解】（1）依题意，，，
设投入到项目的资金都为万元，变量和分别表示投资项目和所获得的利润，则和的分布列分别为
由分布列得
，
，
因为所以，即，
又，解得，；，，
（2）当投入100万元资金时，由（1）知，所以，
，
，
因为，说明虽然项目和项目的平均收益相等，但项目更稳妥，
所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
22. （1）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积？
（2）已知一个圆锥的底面半径为R，高为3R，求此圆锥内接圆柱表面积的最大值？
参考答案：略。