福建省诏安县四都中学高三数学上学期期中试题(高职班)

高三数学（高职）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 已知二次函数2
()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的
( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8.
9.
10.
11.
12.
14.
二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置).
15.
16.
17.
18
三、解答题：(本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.设向量→
a＝(3sin x，sin x)，
→
b＝(cos x，sin x)，x∈
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
0，
π
2
.
(1)若|→
a |＝|
→
b |，求x的值；
(2)设函数f(x)＝
→
→
⋅b
a，求f(x)的最大值．
20.
21. 已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋ax ln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是
自然对数的底数)．
(1)求实数b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
22. 已知函数f (x )＝13x 3－a ＋12x 2
＋bx ＋a .(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )的图象过原点．
(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程； (2)若存在x ＜0，使得f ′(x )＝－9，求a 的最大值．
23.
高三期中考数学试题答案
一．1.D2.C3.A4.C5.B6.D7.C8C9.B10.D11.A12.D13.B14.B 二．15.{}
21≤≤x x ，16－1，17.4
3
-
，18.(]2,∞-， 三．19.解 (1)由|a |2
＝(3sin x )2
＋(sin x )2
＝4sin 2
x ，
|b |2
＝(cos x )2
＋(sin x )2
＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2
x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2
x ＝
32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，
当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.
所以f (x )的最大值为3
2.
20.
21．解 (1)由f (e)＝2，得b ＝2.
(2)由(1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x . 从而f ′(x )＝a ln x . 因为a ≠0，故
①当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜1； ②当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得，x ＞1.
综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
22．解 由已知，得f ′(x )＝x 2
－(a ＋1)x ＋b .
由f ′(0)＝0，得b ＝0，f ′(x )＝x (x －a －1)．
(1)当a ＝1时，f (x )＝13
x 3－x 2
＋1，f ′(x )＝x (x －2)，f (3)＝1，
f ′(3)＝3.
所以函数f (x )的图象在x ＝3处的切线方程为y －1＝3(x －3)， 即3x －y －8＝0.
(2)存在x ＜0，使得f ′(x )＝x (x －a －1)＝－9， －a －1＝－x －9x
＝(－x )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－9x ≥2
－x
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－9x ＝6，
a ≤－7，当且仅当x ＝－3时，a ＝－7.
所以a 的最大值为－7.
23.。