圆的对称性(1)

圆的对称性（一）
九年级数学（上册）
请观察下列三个银行标志有何共同点?
外国语学校 初三数学组
一.复习回忆
1、什么是轴对称图形？举例说明
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果
直线一旁的部分能够和另一部分互相重 合，那么这个图形叫做轴对称图形。 等腰三角形、矩形、菱形、正方形
圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？
EDA源自C练习：如 图，已知AB和CD为⊙O的 ⌒ 两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度 A D 数为50°求∠BOD的度数. 解：连结OE，则∠COE= 50° B OC= OE ∠C= ∠E ∠C= 65° CE ∥AB ∠C= ∠BOC
∠BOC= 65°
O E C
∠DOC= 180°
∠BOD=115 °
O1 O2
5.(辨一辨)
如图，∵∠AOC＝∠BOD ∴AC =BD O 问：以上说法对不对？为什么？
D A C
B
那么，怎样情况下， AC =BD？
例1.如图,已知AB、CD为⊙O的两条
弦，AD=BC， 求证：AB=CD
O D A C B
⌒
⌒
例 如 ,AB,AC,BC都 2： 图 是 O的 ， AOC=BOC， 弦 ABC与BAC相 吗 为 么 等 ？ 什 ？
若旋转角度不是180°，而是旋转任 意角度， 旋转过后的图形能与原图形重合 吗？ 圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的 B 图形重合。圆具有旋转不变性
O
α
A
圆既是轴对称图形，又是中心对称图
形,也是旋转对称图形。旋转角度可以是任
意度数。
（2）在同圆或等圆 中，圆心角、弧、 弦之间的关系?
A′
尝 试
讨论交流
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等， 那么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？ 为什么？
O A A’
B
O’
B’
AB=A’B’

AB = A’B’
AOB= A’O’B’
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两 条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组都分别相等。 AB=A’B’
⌒ ⌒
2.判断下列说法是否正确：
(1)相等的圆心角所对的弧相等。（ ×）
(2)相等的弧所对的弦相等。（ √ ）
(3)相等的弦所对的弧相等。（ ×）
B
3.如图，⊙O中，AB=CD，
1
A
，则 2 ____. 50 o 1 50
C
2
O
D
4、O1和O2是等圆，AD‖O1O2，下列 正确的是( C ) A AB= CD且AB≠CD B AB= CD且AB≠CD C AB= CD且AB= CD D 以上都不对 B C D A
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等。
思考：
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ O
讨论交流
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等， 那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？ A 为什么？ A’
O B O’ B’
AB = A’B’

AB=A’B’
AOB= A’O’B’
讨论
3.如 ， 同 中 若 图 在 圆 ， （ A） AB ＞ CD 2 AOB=2COD， AB与 CD的 小 系 （ 则 2 大 关 是 (B) AB ＜ CD 2 (C) AB＝ CD 2 (D) 不 确 能 定
C）
A
C O D
E
B
4.在 圆 ， 同 中 若 （ AB＞ A） 2CD
AB=2CD， AB与 则 2CD的 小 系 （ 大 关 是 (B)AB ＜ 2CD (C) AB＝ 2CD
︵
（第 2 题）
4.如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、 DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝ CD＝DE＝EF＝FB， 求∠AOC与∠COF的度数.
（第 2 题）
5、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦， 延长AB、CD交于点E，且AB=2DE， ︵ ︵ ︵ ∠E=200,求 AC, CD, BD的度数。
圆心角 相等， 2、弧相等，所对的____ 弦 所对的____相等，所对弦的 弦心距 _______相等 3、选择题：下列命题中正确的是 （ C ） （A）相等的圆心角所对的弧相等 （B）等弦对等弧 （C）等弧对等弦 （D）弦心距相等则弦相等
4、a、b分别是⊙O内两弦，它们的 弦心距分别为c和d，如果c>d, 那么（ C ） （A）a>b （B）a=b （C） a<b （D）无法确定
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _______,_____,_____。
（2）如果OE=OF，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD 。 _____,____,_____
（3）如果AB= CD
⌒
⌒
那么
_____,______ ____,____________。 ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF （4）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF AB=CD AB=CD _________,________,_________。
C D
1的 弧
O
n的 心 圆 角
B A
n的 弧
的 ，n 的 对 n 弧 弧 着 的 心 。 圆 角
n的 心 对 n 圆 角 着
圆 角 度 与 所 的 的 数 等 心 的 数 它 对 弧 度 相 。
典型例题
例 4如 在 1： 图 ABC中 C=90，B=28， C为 心 ， 以 圆 ， 以 CA为 径 圆 AB于 D， BC于 E， 半 的 交 点 交 点 B 求 AD，DE的 数 度 。
B′
B
O
·
A
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转 到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关 系？为什么？ 如果 AOB =AOB ⌒ ⌒ ∴ AB与A′B′重合, AB与A′B′重合 ⌒ ⌒ ∴ AB=A′B′, AB=A′B′
再 尝 试
1.在 张 明 片 ， 别 半 相 的 两 透 纸 上 分 作 径 等
作业
1.如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径， 且∠1＝∠2＝∠3，弦AC、EB、DF是否相 等？为什么？
2.如 ， 图 在 O中 AB =AC，A=40， ABC的 数 ， 求 度 。
A
O B
（第 1 题）
C
3.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE， ∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
︵
︵
B
M
O
A
图1
OM是唯一的。
下列图中弦心距作对了的是（ ④ ）
┐ ① ②
┐ ③ ④
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 OM=O'M', ? 为什么？
在同圆或等圆中
B
D E A O F
两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦的弦 心距 有一组量相等 C 它们所对应的 其余各组量都 分别相等
B ）
(D) 不 确 能 定
A C
E
B O D
动手操作：
Ａ Ｏ Ｂ
你能将⊙Ｏ二等分吗？
作法： 作⊙Ｏ的直径ＡＢ。
Ｃ
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｄ 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分． 作法： １、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ， 交⊙Ｏ于点Ｃ和点Ｄ。 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四 等分
动手操作： 如何将圆八等分？
你能将任意一个 圆八等分吗？
2 . 若 AOB AOB ,情况又如何 ?
在同一个圆 或等圆中，如果 圆心角不相等，那么它所对的弧 也不相等、所对的弦不相等, 所 对的弦的弦心距也不相等。 并且大的圆心角所对的弧也 大,所对的弦也大,所对的弦的弦 的弦心距反而小.
试一试你的能力
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、 OF为AB、CD的弦心距， （1）如果AB=CD，那么
B
E
A
P
O F D
练习：如图，P是 C ⊙O外一点，射 线PAB，PCD分 别交⊙O于A、B 和C、D，已知 AB=CD，
求证：PO平分∠BPD
B
E
O
若把上题改为：P C 是⊙O内一点， 直线APB，CPD A 分别交⊙O于A、 P B和C、D，已知 AB=CD， F 结论还成立吗？
D
1的 心 圆 角
∴ AB=CD ∴ ∠1=∠2 ∵∠1=45°
图 23.1.5 （在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
∴∠2=45°
例3、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为 圆心的圆和角的两边分别交于点 A、B和C、D。 求证：AB=CD
M
证明：作OM⊥AB， ON⊥CD，M，N为垂 足。
N
MPO NPO OM AB OM ON ON CD AB CD。
C D E A O B
2.在 O和 O’中 分 作 等 圆 角 ， 别 相 的 心 ， 接 连 AB， A’B’ 。
O和
O’
AOB，A’O’B’
3.将 张 明 片 在 起 使 两 透 纸 叠 一 ，
B
O与
B'
O重 。 合
O
A
O'
A'
结论
A A’
O
B
O’
B’
AOB= A’O’B’

AB = A’B’
AB=A’B’
解 ABC=BAC ：
∵AOC=BOC
O
AC=BC
ABC=BAC
A C B
你会做吗？
1.已知如图，∠1＝∠2 C 求证： AC =BD D
2
B
1
O
A
大胆说出你的见解
2.如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45,求∠2的度数。 解：∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质）
O
C
任意一条直径都是 圆的对称轴（ ）
B
N
一.复习回忆
2、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如
果旋转后的图形能够和原来的图形互相 重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 平行四边形、矩形、菱形、正方形 圆是中心对称图形吗？它的对称中心是什 么？
2、圆是中心对称图形，圆心是它的 对称中心。
若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
你还可以将圆 多少等分呢？
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组都 分别相等。
Ａ Ｃ Ｄ O Ｂ
1.下列说法正确的是（ D ） A.相等的圆心角所对的弧相等。 B.相等的圆心角所对的弦相等。 C.度数相等的两条弧相等。 D.相等的圆心角所对的弧的度数相等。
1.
AOB=A’O’B’

AB = A’B’
2.
AB = A’B’

AB=A’B’ AOB=A’O’B’
AB = A’B’ AOB=A’O’B’
3.
AB=A’B’

圆心角 A O B 所对 的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。
合作学习
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,
然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
结论：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
●
O
1.圆的对称轴是直线，不能说每 一条直径都是圆的对称轴 2.圆的对称轴有无数条．
M A D
或： 任意一条
经过圆心的直线 都是圆的对称轴。