河南省2019年中考数学总复习核心母题一全等在几何探究题中的应用深度练习word格式

全等在几何探究题中的应用
深度练习
1．(2018·襄阳)如图①，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F. (1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AG
BE 的值为________；
(2)探究与证明：
将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图②所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：
正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG 交AD 于点H.若AG ＝6，GH ＝22，则BC ＝______．
2．(2018·益阳)如图①，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°. (1)求证：BE ＝CE ；
(2)将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N(如图②)． ①求证：△BEM ≌△CEN ；
②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；
③当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图③)，求sin∠EBG的值．
参考答案
1．(1)证明： ①∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°. ∵GE ⊥BC ，GF ⊥CD ，
∴∠CEG ＝∠CFG ＝∠ECF ＝90°.
∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG ＝45°. ∴EG ＝EC.∴四边形CEGF 是正方形． ②AG
BE
＝ 2. (2)解：如解图①，连接CG ，由旋转性质可知∠BCE ＝∠ACG ＝α. 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG ＝cos 45°＝22，CB CA ＝cos 45°＝2
2.
∴CG CE ＝CA CB ＝ 2.∴△ACG ∽△BCE.∴AG BE ＝CA
CB ＝ 2. ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG ＝2BE. (3)解：如解图②，连接DF ，由(2)知△BCE ∽△ACG ， ∴∠BEC ＝∠AGC. ∵四边形CEGF 是正方形，
∴∠CEF ＝∠CFE ＝∠CGF ＝ 45°，CG ⊥EF. ∵∠BEC ＝180°－∠CEF ＝135°，∴∠AGC ＝135°. ∴∠AGC ＋∠CGF ＝135°＋45°＝180°. ∴A ，G ，F 三点在一条直线上． 又∠BCD ＝∠ECF ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DCF. 而BC ＝DC ，EC ＝FC ，
第1题解图②
∴△BEC ≌△DFC(SAS)．
∴BE ＝DF ，∠BEC ＝∠DFC.
∵
AG
BE
＝2，AG ＝6，
∴BE ＝DF ＝3 2.
∵∠BEC ＝135°，∠CFE ＝45°，
∴∠BFD ＝∠DFC －∠CFE ＝135°－45°＝90°.
又CH ⊥BF ，∴CH ∥DF.
∴△AGH ∽△AFD.∴GH FD ＝AG AF ＝AH
AD
.
∴
2232
＝
66＋GF ＝AH
AD
.
∴GF ＝3，AH AD ＝2
3
.
设AH ＝2x ，则AD ＝3x ，DH ＝x.
又由正方形ABCD 和正方形CEGF ，知AD ＝CD ＝3x ，GC ＝2GF ＝32， ∴在Rt △CDH 中，由DH 2
＋CD 2
＝CH 2
，得x 2
＋(3x)2
＝(22＋32)2
，
解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去)．
∴AD ＝35，即BC ＝3 5.
故答案为3 5.
2．解：(1)∵矩形ABCD ，∴AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°，
∵AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DCE ，
∴BE ＝CE ；
(2)①∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∠AEB ＋∠CED ＝90°，
第2题解图
∴∠ABE ＝∠CED ， ∵∠CED ＝∠ECB ， ∴∠ABE ＝∠ECB ，
∵∠BEC ＝∠MEN ＝90°，
∴∠BEM ＝∠CEN ，由(1)得BE ＝CE ，
∴△BEM ≌△CEN ；
②由(1)得△ABE ≌△DCE ，
∴∠BEA ＝∠CED ，
∵∠ABE ＝∠CED ，∴∠BEA ＝∠ABE ，
∴AB ＝AE ＝DE ＝2，
设BM ＝x ，由①得△BEM ≌△CEN ，
∴BM ＝CN ＝x ，∴BN ＝4－x ，
∴△BMN 面积＝12x(4－x)＝－12
(x －2)2
＋2，又0≤x ≤2，∴当x ＝2时，△BMN 面积最大，
最大值为2.
③如解图，过点E 作EH ⊥FG 于点H.在Rt △ABF 中，∠F ＝30°，AB ＝2，
∴FA ＝23，∴FE ＝FA ＋AE ＝23＋2，
∴EH ＝3＋1，
在Rt △BEH 中，
∵BE ＝22，
∴sin ∠EBG ＝EH BE ＝3＋122＝6＋2
4
.。