广东省佛山市南海区罗村高级中学2011-2012学年高二下学期数学(理) 153定积分的概念 学案

1.53定积分的概念
教学目标：1、理解定积分的概念及其几何意义
2、掌握定积分的基本性质
教学重点：定积分的定义；难点：对定积分概念的理解
复习回顾：从求曲边梯形面积以及求变速直线运动路程的过程可以通过哪四个步聚得到？
曲边梯形面积：
变速直线运动路程：
*学习探究：（阅读书本P50---53）
1、我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。

如下图所示：
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。

因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。

显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。

为此我们产生了定积分的概念。

2、定积分的概念
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a=x0<x1<...<x n-1<x n=b
把区间[a,b]分成n个小区间为：
在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(x i-1≤ξi≤x i),作函数值f(ξi)与小区间长度的
乘积f(ξi)△x i，并作出和S= 如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，即n→∞时，上述和S无限接近某个常数，
这时我们称这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，
记作：即：
积分上限：积分下限：积分区间：积分变量：被积式：
例如曲边梯形面积：变速直线运动路程：3、定积分的几何意义：
解决P46思考 P46探究
*典型例题：
P47例1：利用积分的定义，计算
13
x dx
⎰的值
*动物试试：P48练习: 计算
23
x dx
⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么？
*定积分的性质：（1）
（2）：
（3）：
*学习小结：定积分的概念及其几何意义、基本性质；用定义求定积分
*课后作业：P50习题1.5 A组第4、5题。