南京市2018届高中三年级数学二轮专题复习资料专题9_等差数列、等比数列、数列通项、求和

应用专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和
问题归类篇
类型一：等差、等比数列的基本运算
一、前测回顾
1．已知{a n }是等差数列，若2a 7－a 5－3＝0，则a 9＝________． 答案：3．
解析：方法一：设公差为d ，则2(a 1＋6d )－(a 1＋4d )－3＝0，即a 1＋8d ＝3，所以a 9＝3．
方法二：由等差数列的性质得a 5＋a 9＝2a 7，所以(a 5＋a 9)－a 5－3＝0，即a 9＝3．
2．(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 2
2＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.
答案：20．
解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2
＝－3，5a 1＋5×4
2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.
3．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________． 答案：－7．
解析：设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 4＋a 7＝2，
a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝4，
a 7＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝－2，
a 7＝4，
所以
⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－8，q 3＝－12或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
q 3
＝－2，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－8，
a 10＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.
4．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝________. 答案：60．
解析：方法一：设等比数列{a n }公比为q ，由题意可得q ≠1，则
由3161(1=41(1=4+81a q q a q q
⎧-⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩）
） 得13412a q q ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩ ，所以S 12＝a 1 (1－q 12)1－q
＝60.
方法二：由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，
S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，所以S 9－S 6＝16，S 12－S 9＝32，所以S 12＝(S 12－S 9)＋(S 9－S 6)＋(S 6－S 3)＋S 3＝32＋16＋8＋4＝60.
5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大. 答案：8．
解析：根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，即a 8＞0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10＜0，所以a 9＜0，所以当n ＝8时，
{a n }的前n 项和最大.
二、方法联想
1．基本量运算
等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．求解涉及等差、等比数列的运算问题时，通常会抓住a 1、d (或q )，列出方程、不等式或方程组求解，这样做的好处是思路简洁，目标明确，但有时运算量比较大．为了减少运算量，我们要掌握一些运算技巧，例如“设而不求，整体代入”．
2．性质的应用
用好等差、等比数列的性质也能减少运算量．
方法 (1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q 则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特别若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ．
在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q 则a m a n ＝a p a q ．特别若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a p 2
．
(2) 在等差数列{a n }中，由S n ＝
n (a 1＋a n )
2
得，若n 为奇数，则S 2n －1＝(2n －1)a n ．
方法 在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．
在等比数列{a n }中，一般情况下S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．
3．等差数列S n 的最值问题
方法 在等差数列{ a n }中S n 的最值问题： 方法1：(1)当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0
的项数m 使得S m 取最大值.
(2)当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎨
⎧a m ≤0，a m ＋1≥0
的项数m 使得S m 取最小值，
方法2：由S n 的解析式，结合二次函数图象分析．
三、归类巩固
*1．(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．
(等比数列基本量计算) 答案：4．
*2．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8＝
_______.
(等比数列基本量计算) 答案：32．
**3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则S n 的最小值为________．
(等差数列前n 项和的最值) 答案：－25
3
．
解析：方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10
＝10a 1
＋10×9
2d ＝0，S 15＝15a 1
＋15×14
2d ＝25，
解得a 1
＝－3，d ＝2
3.
所以S n ＝na 1＋n （n －1）2
d ＝－3n ＋n （n －1）2
×23
＝n 23
－103
n ＝13
(n －5)2
－253
.当n ＝5时，S n 有最小
值为－253
.
方法二：设S n ＝An (n －10)，由S 15＝25，得A ＝13．所以当n ＝5时，S n 有最小值为－25
3.
*4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于________． (等比数列基本量计算) 答案：5．
*5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10
＝2，则S 2015的值为________.
(等差数列基本量计算) 答案：－2015．
解析：根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也是等差数列，由已知可得S 11＝a 1＝－2 015，由S 1212－S 10
10＝2
＝2d ，得公差d ＝1.故S 2 015
2015＝－2 015＋(2 015－1)×1＝－1，所以S 2 015＝－2015.
*6．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 3＋a 4＋…＋a 8＝________． (等差数列基本量计算)
答案：3．
*7.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________． (等差数列基本量计算) 答案：88．
***8．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是________．
(等差数列前n 项和的最值) 答案：4 032．
解析：因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4 032＝
4 032(a 1＋a 4 032)
2
＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4033a 2 017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的
最大正整数n 是4 032．
**9．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前10项和等于前5项和，若a m ＋a 6＝0，则m ＝________. (等差数列基本量计算)
答案：10．
解析：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由题意S 10＝S 5，所以S 10－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，又a 6＋a 10
＝a 7＋a 9＝2a 8，于是a 8＝0，又a m ＋a 6＝0，所以m ＋6＝2×8，解得m ＝10.
***10.设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是等比数列，记数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5
b 7＋b 5
＝________. (等差、等比数列混合)
答案：－5
13
．
解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q .由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 5＝
b 5，a 5＋d ＝b 5q ，2a 5＋3d ＝4(b 5＋b 5q )，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝－5，d ＝－6a 5.故
a 7＋a 5
b 7＋b 5＝2a 5＋2d b 5q 2＋b 5＝2a 5＋2(－6a 5)25a 5＋a 5＝－10a 5
26a 5
＝－5
13
. *11．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－1
3，则公比q ＝________.
(等比数列基本量计算) 答案：4．
*12．已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5
a 4＋a 6的值是________．
(等差、等比数列混合) 答案：
5－1
2
． ***13．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． (等比数列前n 项积的最值) 答案：64．
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12
.又a 1＋a 1q 2
＝10，
所以a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q
1＋2＋…＋(n －1)
＝23n
·⎝ ⎛⎭⎪
⎫12(n －1)n 2
＝23n －n 22＋n 2＝2－n 2
2＋72n .
记t ＝－n 22＋7n
2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *
可知n ＝3或4时，t 有最大值6.
又y ＝2t
为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26
＝64. **14．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3
a 5
＝________. (等差数列基本量计算)
答案：35．
解析：因为
S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，所以令n ＝1可得，S 1S 2＝26＝13，即a 12a 1＋d ＝13，化简可得d ＝a 1，所以a 3a 5＝a 1＋2d
a 1＋4d
＝3a 15a 1＝35
． **15．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________． (等差、等比数列混合) 答案：2
**16．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217＜d ＜－1
9，则当S n 取最大值时，n
的值为________．
(等差数列前n 项和的最值)
答案：9．
解析：法一：因为S n ＝n ＋
n (n －1)2
d ，所以S n ＝d 2
n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－d 2n .
因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－d 2x 的图象的对称轴方程为x ＝－1d ＋12，且开口向下，又－217＜d ＜－1
9，
所以9＜－1d ＋12＜19
2.所以S n 取最大值时，n 的值为9.
法二：由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)d ＞0，得n －1＜1
－d
.．
因为19＜－d ＜217，所以172＜1－d ＜9.又n ∈N *
，所以n －1≤8，即n ≤9.故S 9最大．
**17．已知{a n }为等差数列，若a 11
a 10
＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.
(等差数列前n 项和的最值)
答案：19． 解析：由
a 11a 10＜－1，得a 11＋a 10
a 10
＜0，且它的前n 项和S n 有最大值，则a 10＞0，a 11＜0，a 11＋a 10＜0，则S 19＞0，S 20＜0，那么当S n 取得最小正值时，n ＝19.
**18．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. (等差数列基本量计算)
答案：200
***19．在等差数列{a n }中，若任意两个不等的正整数k ，p 都有a k ＝2p ＋1，a p ＝2k ＋1，数列{a n }的前
n 项和记为S n .若k ＋p ＝m ，则S m ＝________.(用m 表示)
(等差数列基本量计算)
答案：m 2
．
解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意，a 1＋(k －1)d ＝2p ＋1，① a 1＋(p －1)d ＝2k ＋1，②
两式相减，得(p －k )d ＝2(k －p )．又k －p ≠0，所以d ＝－2.则a 1＝2p ＋2k －1＝2m －1. 因此S m ＝ma 1＋
m (m －1)
2
d ＝m (2m －1)－m (m －1)＝m 2.
**20．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝________. (等比数列基本量计算) 答案：2.
解析：方法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3
＋q 6
＋…＋q 84
)＝a 1q 2
·1－（q 3
）
29
1－q
3
＝
q 21＋q ＋q 2·
a 1（1－q 87）1－q ＝4
7
×140＝80. 方法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，
因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2
)＝140，而1＋q ＋q 2
＝7， 所以b 1＝20，b 3＝q 2
b 1＝4×20＝80.
***21．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. (等比数列基本量计算) 答案：3．
**22．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于________. (等差、等比数列混合)
**23.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于________. (等比数列基本量计算) 答案：150.
解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2
＝S 10(S 30－S 20)，
即(S 20－10)2
＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.
又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，则S 40＝S 30＋（S 30－S 20）2
S 20－S 10＝70＋40
2
20＝150.
**26.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d ＝________. (等差数列基本量计算)
答案：5．
解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .
由已知条件，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 偶＝192，S 奇＝162.
又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－162
6
＝5.
类型二：等差等比数列的判断与证明
一、前测回顾
1．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2
k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正
整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 答案：21．
解析：在点(a k ，a 2
k )处的切线方程为：y －a 2
k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k
2
，故{a n }
是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2
＋bn ＋c (a ，b ，c ∈R )，则“c ＝0”是“{a n }是等差数列”的______
条件． 答案：充要．
解析：a 1＝a ＋b ＋c ，a 2＝S 2－a 1＝3a ＋b ，a 3＝S 3－S 2＝5a ＋b ，若{a n }是等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解
得c ＝0，所以“c ＝0”是“{a n }是等差数列”的必要条件；
当c ＝0时，S n ＝an 2
＋bn ，当n ＝1时，a 1＝a ＋b ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2an ＋b －a ，显然当n ＝1时也满足上式，所以a n ＝2an ＋b －a (n ∈N *)，进而可得a n －a n －1＝2a (n ∈N *)，所以{a n }是等差数列，所以“c ＝0”是“{a n }是等差数列”的充分条件； 综上可知，“c ＝0”是“{a n }是等差数列”的充要条件． 3．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，c ＋a b ，a ＋b
c
也成等差数列．
解：由已知得b (a ＋c )＝2ac ，所以b ＋c a ＋a ＋b c ＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac ＝2ac ＋a 2＋c 2ac ＝2(a ＋c )b
，
所以
b ＋
c a ，c ＋a b ，a ＋b
c
也成等差数列． 4．已知a n +1＝
2a n a n ＋2，a 1＝2 ，求证：数列{1
a n
}的等差数列． 解：由已知，a 1＝2，故a n ≠0，所以
1
a n +1
＝
a n ＋22a n ＝1 a n ＋12，所以1 a n +1－1 a n ＝1
2
， 所以数列{
1
a n
}是等差数列．
5．数列{a n }前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，令b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列.
解：由a n ＋S n ＝n ，得n ≥2时，a n －1＋S n －1＝n －1，两式相减得2a n －a n －1＝1，即2b n ＝b n －1．
从而有
b n b n －1＝1
2
(常数)，所以数列{b n }是等比数列.
二、方法联想
1．等差、等比数列的证明
方法 证明数列是等差数列：
方法1 定义法，即当n ∈N *
时，a n ＋1－a n 为同一常数．
方法2 中项公式法，即当n ∈N*时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2均成立．
说明：得到2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，最好改写为a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，回到定义． 方法 证明数列是等比数列：
方法1 定义法，即当n ∈N *
时，
a n ＋1
a n
为同一常数． 方法2 中项公式法，即当n ∈N *时，a n ＋12
＝a n a n ＋2均成立，且数列{a n }没有0． 说明：得到2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，最好改写为
a n ＋1a n ＝a n a n －1＝…＝a 2
a 1
，回到定义．
2．等差、等比数列的判断
判断数列是等差数列
方法1 定义法，即当n ≥1且n ∈N*时，a n ＋1－a n 为同一常数．
方法2 中项公式法，即当n ≥1且n ∈N *
时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2均成立．
方法3 特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意n ∈N *
成等差数列． 方法4 通项为一次形式，即a n ＝an ＋b ．
方法5 前n 项和为不含常数项的二次形式，即S n ＝an 2
＋bn ． 方法6 若数列{a n }为等比数列，则{log a a n }为等差数列．
注意 方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明．
判断数列不是等差数列
方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．
判断数列是等比数列
方法1 定义法，即当n ∈N *
时，
a n ＋1
a n
为同一常数． 方法2 中项公式法，即当n ∈N *
时， a n ＋12
＝a n a n ＋2均成立．
方法3 特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意n ∈N *
成等比数列．
方法4 通项公式为指数幂形式，即a n ＝aq n
．
方法5 若数列{a n }为等差数列，则{a an
}为等比数列． 注意 方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明．
判断数列不是等比数列
方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．
三、归类巩固
*1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3
，则{a n }的前10项和等于________．
(由定义判定等差数列)
答案：3(1－3－10
) ．
*2．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝________． (由定义判定等差数列) 答案：23．
*3．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝________．
(由S n 与a n 关系，结合定义判定等差数列) 答案：92．
*4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *
)，则a n ＝________． (由S n 与a n 关系，结合定义判定等比数列)
答案：2n ＋1
．
**5．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *
都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<t ，则实数t 的取
值范围为________．
(由前n 项的积与a n 关系，由通项公式判定等比数列)
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞． 解析：依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 2
2(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝2
2n －1，又a 1＝21＝22×1－1
，因此a n ＝2
2n －1
，1a n ＝1
22n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.
**6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1
n ，…，
若S k ＝14，则a k ＝________. (由通项公式判定等差数列)
答案：78
．
解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n
2
，所
以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该
数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2
＋n 4.令T n ＝n 2
＋n 4
＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以
a k ＝78
.
**7．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n
＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *
)，则其前9项和S 9＝________.
(由定义判定等比数列) 答案：1 022．
解析：由已知，得a 2
n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2
n ，即a 2
n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2
n ＝(a n ＋1－2a n )2
＝0，所以a n ＋1＝2a n ，又因为
a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝2×(1－29
)1－2＝210
－2＝1 022.
***8．已知数列{a n }是等比数列(q ≠－1)，S n 是其前n 项的和，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 仍成等比数列． (由中项公式判定等比数列) 解：方法一：
(1)当q ＝1时，结论显然成立；
(2)当q ≠1时， S k ＝a 1(1－q k )1－q ，S 2k ＝a 1(1－q 2k )1－q ，S 3k ＝a 1(1－q 3k )
1－q ．
S 2k －S k ＝a 1(1－q 2k )1－q －a 1(1－q k )1－q ＝a 1q k (1－q k )
1－q ．
S 3k －S 2k ＝a 1(1－q 3k )1－q －a 1(1－q 2k )1－q ＝a 1q 2k (1－q k )
1－q
．
所以(S 2k －S k )2
＝a 2
1q 2k (1－q k )2(1－q )2S k ·(S 3k －S 2k )＝a 1(1－q k )1－q ·a 1q 2k (1－q k )1－q ＝a 12q 2k (1－q k )2
(1－q )2
． 所以(S 2k －S k )2
＝S k ·(S 3k －S 2k )，
又因为q ≠－1，所以S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 中没有零，
所以S 2k －S k S k ＝S 3k －S 2k
S 2k －S k
，所以S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列．
方法二：
S 2k －S k ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…a 2k )－(a 1＋a 2＋a 3＋…a k )
＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋…a 2k ＝q k (a 1＋a 2＋a 3＋…a k )＝q k
S k ≠0．
同理，S 3k －S 2k ＝a 2k ＋1＋a 2k ＋2＋a 2k ＋3＋…a 3k ＝ q 2k
S k ≠0．
所以(S 2k －S k )2
＝S k ·(S 3k －S 2k )，下同方法一．
*10．已知数列{a n }中a 1＝23，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *
)，求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式．
(根据定义证明等比数列)
解：由题意a n ≠0，a n ≠1，记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n ＝1
a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋1
3a n －1
1a n
－1
＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝1
3
，
又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为1
3的等比数列．
所以1
a n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3
n －1
1＋2×3
n －1.
***11．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a n b n ＝2，b n ＋1＝a n (b n －21＋a n )，n ∈N *
，证明数列{1b n
}是等差数列，并求数列{b n }的通项公式． (根据定义证明等差数列)
解：因为a n b n ＝2，所以a n ＝2b n ，则b n ＋1＝a n b n －2a n 1＋a n ＝2－4
b n 1＋
2b n
＝2－4b n ＋2＝2b n b n ＋2，所以1b n ＋1－1b n ＝1
2
．
又a 1＝3，所以b 1＝2
3
．
故1b n 是首项为32，公差为12的等差数列，即1b n ＝32＋(n －1)×12＝n ＋22，所以b n ＝2
n ＋2
．
**12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0，证明{a n }是等比数列，并求其通项公式．
(由S n 与a n 关系，结合定义证明等比数列)
解：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，a 1≠0.
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，
即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以
a n ＋1a n ＝λλ－1
. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－1n －1
. **13．已知{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n
，记S n 为其前n 项和，求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．
(利用中项公式证明等差数列) 解：因为
a n +1
a n
＝－2，所以{a n }是首项为a 1＝－2，公比为－2的等比数列， 所以S n ＝(－2)×[1－(－2)n
]1－(－2)＝－23＋(－1)n 2
n ＋1
3
.
由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43
＋(－1)
n 2
n ＋3
－2n ＋2
3
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23
＋(－1)n 2n ＋1
3＝2S n
，
所以S n ＋2－S n ＝S n －S n ＋1故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数. *(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
**(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.
(由S n 与a n 关系，证明递推关系，由{a n }的子数列成等差探究{a n }成等差的条件) 解：(1)由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，① 知a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，②
②－①得：a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.
(2)由题设可求a 2＝λ－1，所以a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列.
15.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上. *(1)求数列{a n }的通项公式；
**(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说
明理由.
(由S n 与a n 关系，证明等比数列，利用特殊项成等差探究所有项成等差的条件)
解：(1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.①
当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1＝a n ，
在①中，令n ＝1得2a 2＋a 1＝2，又a 1＝1，所以a 2＝1
2，所以2a 2＝a 1，
所以2a n ＋1＝a n 对任意n ∈N*均成立． 因为a 1≠0，所以a n ≠0． 所以
a n ＋1a n ＝1
2
对任意n ∈N*均成立． 所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.
(2)由(1)知，S n ＝1－1
2n
1－12
＝2－1
2n －1.
若⎩
⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，
则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4
＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8， 解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋2
2n ＝2n ＋2，
显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2， 使得数列{S n ＋λn ＋λ
2n }成等差数列.
***16．已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *
)．若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列．
(利用通项公式或定义探究数列成等比的条件)
解析：方法一：显然公比q ≠1，因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，所以a 1q n
b n ＝a 1(1－q n )1－q
＋1，
所以q n
b n ＝11－q ＋1a 1－q n 1－q ，即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n －11－q
，
所以存在实数λ＝11－q ，使得b n ＋λ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n ， 又b n ＋λ≠0(否则{b n }为常数数列，与题意不符)， 所以当n ≥2时，
b n ＋λb n －1＋λ＝1
q
，此时{b n ＋λ}为等比数列，
所以存在实数λ＝1
1－q ，使得{b n ＋λ}为等比数列．
方法二：因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，① 所以当n ≥2时，a n b n －1＝S n －1＋1，② ①－②得，a n ＋1b n －a n b n －1＝a n ，③ 由③得，b n ＝
a n a n ＋1
b n －1＋a n a n ＋1＝1q b n －1＋1q
， 所以b n ＋11－q ＝1q ⎝
⎛
⎭⎪⎫b n －1＋11－q .
又b n ＋1
1－q ≠0(否则{b n }为常数数列，与题意不符)，
所以存在实数λ＝1
1－q ，使得{b n ＋λ}为等比数列．
类型三：数列求通项
一、前测回顾
1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n
(n ∈N *且n ≥2)，则a n ＝ ．
(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2n
a n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a n ＝ ．
答案：(1)a n ＝
3
n ＋1
－7
2
；（2）a n ＝2(n －1)(n ＋2)
2．
解析：(1)由题意a n －a n －1＝3n
，a n －1－a n －2＝3
n －1
，…，a 2－a 1＝32，叠加得a n －a 1＝3n ＋3
n －1
＋…＋32
＝
3
n ＋1
－92，所以a n ＝3n ＋1－72(n ≥2)，a 1＝1也符合．所以a n ＝3n ＋1
－72
； (2) 由题意a n ≠0，则a n a n －1＝2n ，a n －1a n －2＝2n －1，…，a 2a 1＝22，叠乘得a n a 1
＝2n .2n －1 (22)
＝2(n －1)(n ＋2)
2，
所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)
2
(n ≥2)，a 1＝1也符合．所以a n ＝2
(n －1)(n ＋2)
2
．
2．(1) 已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n 2
a n (n ∈N *)，则a n ＝ ．
(2) 已知数列{a n }中，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n 2
(n ＋1)，则a n ＝ ．
(3) 已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2
，则a n ＝ ．
答案： (1) 2
n (n ＋1)；(2) a n ＝3n －1；(3) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2．
解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
a n －(n －1)2
a n －1，化简得
a n a n －1＝n －1n ＋1，由叠乘得a n
a 1
＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·1
3＝2n (n ＋1)
，所以a n ＝2n (n ＋1) (n ≥2)，a 1＝1也符合．所以a n ＝2n (n ＋1)；
(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n 2(n ＋1)，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2
n ，两式相减得na n ＝n 2(n ＋1)－(n －1)2n ＝n (3n －1)，所以a n ＝3n －1 (n ≥2)，又a 1＝2也符合．所以a n ＝3n －1；
(3) 当n ≥2时，a 1a 2…a n ＝n 2，a 1a 2…a n －1＝(n －1)2
，两式相除得a n ＝n 2(n －1)2(n ≥2)，又a 1＝1不
符合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，n ＝1，n 2(n －1)
2，n ≥2．
3．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝2
3a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．
(2)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝2a n -1＋2n
(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． (3)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝
2a n －1
a n －1＋2
(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．
答案：(1)a n ＝3－2×(23)n －1； (2)a n ＝(2n －1)×2n －1
；(3)a n ＝2n ＋1
．
解析：(1)令a n －x ＝23(a n －1－x )，对比a n ＝23a n －1＋1，得x ＝3，所以a n －3＝2
3
(a n －1－3)，因为a 1－3＝
－2，所以a n －3≠0，所以
a n －3
a n －1－3＝23
对n ≥2恒成立，所以{a n －3}是首项为－2，公比为23的等比
数列，于是a n －3＝－2×(23)n －1，所以a n ＝3－2×(23
)n －1
；
(2)由a n ＝2a n -1＋2n
得，a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 12＝12，所以{a n 2n }是首项为12，公差为1的等差数列，于是a n 2
n
＝12＋(n －1)＝n －12，所以a n ＝(2n －1)×2n －1
； (3)由a n ＝
2a n －1a n －1＋2，a 1＝1得a n ≠0，所以1 a n ＝a n －1＋22a n －1＝1 a n －1＋12，所以1 a n －1 a n －1＝1
2，所以数列{1 a n
}
是首项为1，公差为12的等差数列，于是1 a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋1
2，所以a n ＝2n ＋1．
4．(1) 已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝ ．
(2) 已知数列{a n }中，a n a n ＋1＝2n
，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝ ．
答案：(1) a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数；(2) a n ＝⎩⎨⎧( 2)n -1
，n 为奇数，(
2)n ，n 为偶数
．
解析：(1)由题意，a 2＝1．
当n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝2n ，a n －1＋a n ＝2(n －1)，两式相减得a n +1－a n －1＝2，所以{a n }的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，所以a 2k ＝a 2＋2(k －1)＝2k －1，a 2k －1＝a 1＋2(k －1)＝2k －1，所
以a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数；
(2) 由题意，a 2＝2．
当n ≥2时，a n a n ＋1＝2n
，a n －1a n ＝2
n －1
，两式相除得
a n +1
a n －1
＝2，所以{a n }的奇数项和偶数项都是公比为2的等比数列，所以a 2k ＝a 2·2k －1＝2k ，a 2k －1＝a 1·2k －1＝2k －1
，所以a n ＝⎩⎨⎧(
2)n -1
，n 为奇数，(
2)n ，n 为偶数
．
二、方法联想
1．形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2)
方法 累加法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1． 形如
a n
a n －1
＝f (n )(n ∈N*且n ≥2) 方法 用类乘法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2
a 1
·a 1． 注意 n ＝１不一定满足上述形式，所以需检验．
2．形如含a n ，S n 的关系式
方法 利用a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题，则考虑转化为仅含有S n 的关系式)．
注意 优先考虑n ＝1时，a 1＝S 1的情况．
形如a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )或a 1a 2…a n ＝f (n )
方法 (1)列出⎩⎨
⎧a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )
a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)
(n ∈N *且n ≥2)，两式作差得a n ＝
f (n )－f (n －1)
n
(n ∈N *且n ≥2)，而a 1＝f (1)． (2)列出⎩⎨
⎧a 1a 2…a n ＝f (n )a 1a 2…a n －1＝f (n －1)
(n ∈N *且n ≥2)，两式作商得a n ＝
f (n )
f (n －1)
(n ∈N *且n ≥2)，而
1(1)a f =．
注意 n ＝１是否满足上述形式须检验．
3．形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N*且n ≥2，p ≠1)
方法 化为a n ＋
q p －1＝p (a n －1＋q p －1)形式．令b n ＝a n ＋q
p －1
，即得b n ＝pb n －1，转化成{b n }为等比数列，从而求数列{a n }的通项公式．
形如a n ＝pa n －1＋f (n ) (n ∈N*且n ≥2)
方法 两边同除p n
，得a n p n ＝a n －1p n －1＋f (n )p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋
f (n )
p n
，转化为利用叠加法求b n (前提是数列{
f (n )
p n
}可求和)，从而求数列{a n }的通项公式．
形如a n ＝
pa n －1
qa n －1＋p
(n ∈N*且n ≥2)
方法 两边取倒数得1a n ＝1a n －1＋q p
，令b n ＝1a n
，得b n ＝b n －1＋q
p
，转化成{b n }为等差数列，从而求数列{a n }的通项公式．
4．形如a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n a n ＋1＝f (n )形式
方法 (1)列出⎩⎨⎧a n ＋a n ＋1＝f (n )a n ＋1＋a n ＋2＝f (n ＋1)
，两式作差得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，即找到隔项间的关系．
(2)列出⎩⎨
⎧a n a n ＋1＝f (n )
a n ＋1a n ＋2＝f (n ＋1)
，两式作商得a n ＋2a n ＝f (n ＋1)
f (n )，即找到隔项间的关系．
三、归类巩固
*1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋1，则该数列的通项公式为________．
（由a n ，S n 的关系式求通项）
答案：a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，
2n －1，n ≥2．
*2．(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *
)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 前10项的和为
_______．
(形如a n －a n －1＝f (n )的递推求通项) 答案：2011
．
**3．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n
1＋3a n
，a 1＝2，则a 20＝________. (形如a n ＝
pa n －1
qa n －1＋p
的递推求通项)
答案：2
115
．
**4．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前10项的和S 10＝________. (构造辅助等差数列求通项) 答案：1011
．
解析：因为a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，所以
1
a n ＋1－1a n
＝1，1
a 1
＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差
的等差数列，所以1
a n
＝n ，所以b n ＝
1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项的和S 10＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫110－111＝1－111＝1011. **5．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则S 5＝________. （形如a n ＝pa n －1＋q 的递推关系求通项）
答案：121.
解析：因为a n ＋1＝2S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫S n ＋12，所以数
列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，所以S 2＋
1
2S 1＋
12
＝3.又S 2＝4，所以S 1＝1，所以S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×3
4＝32×34
＝2432，所以S 5＝121. **6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n
a n ＋3
(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式为________．
（a n ＝
pa n －1
qa n －1＋p
，a n ＝pa n －1＋q 两种形式递推结合求通项）
答案：a n ＝2
3n －1．
解析：因为a n ＋1＝
a n
a n ＋3(n ∈N *
)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以
1
a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ＋12是以3
2为首项，3为公比的等比数列，所以1
a n ＋12＝32×3n －1＝3n 2，所以1a n ＝3n
－12，所以a n ＝23n －1
.
***7．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，且(n ＋2)a 2
n ＋1－(n ＋1)a 2
n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为________． （形如
a n
a n －1
＝f (n )的递推关系求通项） 答案：
2
n ＋1
． 解析：因为(n ＋2)a 2
n ＋1－(n ＋1)a 2
n ＋a n a n ＋1＝0，所以[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }为正
项数列，所以(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，即
a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2
a 1
·a 1＝n
n ＋1·n －1n ·…·23·1＝2
n ＋1
，a 1也符合． **8．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a n
a n S n －S 2n
＝1成立，则S 2 017
＝________.
(构造辅助等差数列求通项) 答案：11 009.
解析：当n ≥2时，由
2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2
n ＝－S n S n －1，所以2S n －
2S n －1＝1，又2S 1
＝2，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝1
1 009.
**9．已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n (1－na n ＋1)，则数列{a n }的通项公式为________． (形如a n －a n －1＝f (n )的递推关系求通项) 答案：a n ＝
2
n 2
－n ＋2
．
解析：原数列递推公式可化为
1
a n ＋1－1a n
＝n ，令b n ＝1
a n
，则b n ＋1－b n ＝n ，因此b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n
－2
)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋1＝
n 2－n ＋2
2
，所以a n ＝
2
n 2－n ＋2
.
**10．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． （形如a n ＋a n ＋1＝f (n )，a n －a n ＋1＝f (n )的递推关系求通项） 答案：1 830.
解析：不妨令a 1＝1，根据题意，得a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数
时，a n ＝1，当n 为偶数时构成以a 2＝2为首项，以4为公差的等差数列．所以{a n }的前60项和为
S 60＝30＋2×30＋
30×(30－1)
2
×4＝1 830. ***11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋2n
，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. （形如a n ＝pa n －1＋f (n )的递推关系求通项） 答案：2×3
n －1
－2
n －1
.
解析：当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＋2n
－2n －1
＝2a n ＋2
n －1
，从而a n ＋1＋2n ＝3(a n ＋2
n －1
)．
又a 2＝2a 1＋2＝4，a 2＋2＝6，故数列{a n ＋1＋2n
}是以6为首项，3为公比的等比数列，从而
a n ＋1＋2n ＝6×3n －1，即a n ＋1＝2×3n －2n ，又a 1＝1＝2×31－1－21－1，故a n ＝2×3n －1－2n －1.
***12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2
a n (n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. （形如
a n
a n －1
＝f (n )的递推关系求通项） 答案：(n ＋1)3
.
解析：当n ＝1时，4×(1＋1)×(a 1＋1)＝(1＋2)2
×a 1，解得a 1＝8.当n ≥2时，4(S n ＋1)＝(n ＋2)2
a n
n ＋1
，
则4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n ，两式相减得，4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ，整理得，a n a n －1＝(n ＋1)
3
n 3
，
所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×33
2
3×8＝(n ＋1)3
.检验知，
a 1＝8也符合，所以
a n ＝(n ＋1)3.
***13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n
n
2＝a n (n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
（a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )，a n
a n －1
＝f (n )两种形式递推结合求通项） 答案：
2n n ＋1
. 解析：根据a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2＝a n ，① 有a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1
(n －1)
2＝a n －1，②
①－②得，a n n 2＝a n －a n －1，即n 2a n －1＝(n 2
－1)a n ，所以a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2(n ＋1)(n －1)
，
所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×22(2＋1)(2－1)×32(3＋1)(3－1)×…×n 2
(n ＋1)(n －1)
＝22×32×42×…×n 2
(2－1)(2＋1)(3－1)(3＋1)(4－1)(4＋1)…(n －1)(n ＋1) ＝22
×32
×42
×…×n 2
1×3×2×4×3×5×…×(n －1)×(n ＋1)＝2n
n ＋1
. 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *
)． *(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； **(2)求数列{a n }的通项公式．
（由a n ，S n 的关系式得递推关系，在根据递推关系求通项） 解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4a 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝1
2
.
由题可得，2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3. ②
②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.
(2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .
数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －3
2，
即n 为偶数时，a n ＝n －3
2
.
综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，n 为奇数，n －3
2
，n 为偶数.
类型四：数列求和
一、前测回顾
1．数列{1＋2n －1
}的前n 项和S n ＝________.
答案：n ＋2n
－1．
解析：S n ＝n ＋1－2n
1－2
＝n ＋2n
－1．
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n
1
S k
＝________.
答案：
2n n ＋1
． 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 依题意有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋2d ＝3，
4a 1＋6d ＝10，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝1，
所以S n ＝
n (n ＋1)
2
，1
S n
＝
2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1，
因此∑k ＝1
n
1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.． 3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 答案：15．
解析：设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9) ＝5×3＝15．
4．数列{(2n －1)(12)n
}的前n 项和S n ＝________.
答案：3−(2n ＋3)•(12)n
.
解析：S n ＝1•
12＋3•(12)2＋…＋(2n −1)•(12
)n
， 12S n ＝ 1•(12)2＋3•(12)3＋…＋(2n −3)•(12)n ＋(2n −1)•(1
2)n ＋1． 两式作差得：12S n ＝12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]−(2n −1)•(12
)
n ＋1 ＝12＋2•14[1－(12)n －1
]1－12
−(2n −1)•(12)n ＋1＝32−(2n ＋3)•(12
)n ＋1
． 所以S n ＝3−(2n ＋3)•(12
)n
．
二、方法联想
数列求和除了公式法外，还有下列的常见方法： 形如a n ±b n （a n ，b n 是等差或等比数列）的形式 方法 分组求和法．
形如1a n (a n +d )，1
n ＋d ＋n
或其它特殊分式的形式
方法 采用裂项相消法．
形如a n b n 形式(其中a n 为等差，b n 为等比) 方法 采用错位相减法．
首、尾对称的两项和为定值的形式 方法 倒序相加法． 正负交替出现的数列形式
方法 并项相加法，对项数n 进行分类即分奇偶性．
三、归类巩固
*1．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n a n ＋1
的结果可化为________．
（公式法求和） 答案：23⎝
⎛
⎭⎪⎫1－14n ．
*2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22
＋…＋2n －1
，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是________．
（分组求和） 答案：10.
*3．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1
n ，则S 17＋S 33＋S 50的值是________． （并项相加求和） 答案：1．
***4．数列{a n }的通项a n ＝n 2
(cos 2
nπ
3
－sin
2
nπ
3
)，其前n 项和为S n ，则S 30的值是________．
（分组求和） 答案：470.
解析：a n ＝n 2·cos 2n 3π，a 1＝12·(－12)，a 2＝22(－12)，a 3＝32，a 4＝42
(－12)，…
S 30＝(－1
2
)(12＋22－2·32＋42＋52－2·62＋…＋282＋292－2·302)
＝(－12)∑k ＝110[(3k －2)2＋(3k －1)2－2·(3k )2
]＝(－12)∑k ＝110 (－18k ＋5)
＝－12[－18·10(1＋10)2
＋50]＝470.
*5．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9．求数列{|a n |}的前n 项和T n ＝_______． (等差数列前n 项的绝对值之和)
答案：⎩⎨⎧－n 2
＋10n ，n ≤5，
n 2－10n ＋50，n ≥6．
6.已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. *(1)证明数列{a n ＋4}是等比数列； **(2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . （数列的前n 项的绝对值之和）
解：(1)因为a n ＋1＝2a n ＋4，所以a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)，
因为a 1＋4＝2，所以a n ＋4≠0，所以
a n ＋1＋4
a n ＋4
＝2， 所以{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n
，所以a n ＝2n
－4.。