简谐振动及其周期推导与证明(原创)

简谐振动及其周期公式的推导与证明
简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。

位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一 般式：)cos(ϕω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；
振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；
全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程；
频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；
周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；
角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。

角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；
相位：ϕωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率
就是角频率，即dt
d φω=； 初相：位移一般式中ϕ表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；
回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。

（因此回复力同向心力是一种效果力）
如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得：
)cos(2ϕωω+-=t A a
又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式：
kx x m F -=-=2ω
由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。

式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

简谐振动周期公式：k
m T π
2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。

单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。

我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式：
L
x ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为
F=mgsin θ，
那么单摆运动中回复力系数L mg k =，代入简谐振动周期普适公式可得： g
L T π2= 简谐振动周期公式推导与证明：
（1）求导法：
对x 求二阶导，得：)cos(2ϕωω+-=t A a ，
由F=ma= -kx 得：m
k =ω， k
m T πωπ
22==。

（2）等效替代I ：
做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动。

这是研究简谐振动的一个重要结论。

下面给出证明：
如图，设物体做匀速圆周运动，线速度为v ，半径为r ，角速度为ω，以圆心为坐标原点建立坐标系，设初始位置与圆心连线和x 轴夹角为ϕ，经过的
时间为t ，则该物体在x 轴上投影相对于原点的位移x 满足
)cos(ϕω+=t r x ，
由此可见，该投影做的是一个简谐振动。

既然做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，那么投影做简谐
振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等。

投影在x 轴方向上运动的加速度与物体向心加速度沿x 轴方向分量相等，
)cos(ϕω+=t a a x ， 如果我们把投影当成一个质量为m 的物体，那么该物体做简谐运动所需回复力为
)cos(2ϕωω+==t r m ma F x ，
注意到)cos(ϕω+t r 刚好是投影偏离原点的位移大小，该位移方向与F 方向相反，故
kx x m F --2==ω，
那么m k =ω，故k
m T πωπ22==
（3）等效替代II （只对弹簧振子有效）：
以弹簧振子为例，设振幅为A ，弹簧劲度系数为k ，振子质量为m ，振动周期为T ，
假设从最大位移处开始运动的4
1周期内，存在这样的力f ，使得4·T f 在数值上等于物体
最大动量。

而该4
1周期内，回复力F 产生的总冲量大小为 ωωωπkA
ydy kA tdt kA Fdt I T T F ====⎰⎰⎰cos cos 40402
由动量定理可知，等价力f 产生的冲量与该冲量大小相等，那么
πωkA T kA I f T F 244
===， 对于弹簧振子，由能量守恒可得：
2max 2max 2121mv E kA E kamx p ===，由此可见A m
k v =max ，故A km p =max 因而由A km p T f ==max 4· 可得：k
m kA A km f A km T ππ2244===
（4）能量守恒（只对弹簧振子有效）
以弹簧振子为例，振动没有能量损耗时，动能、势能相互转化，机械能守恒。

设振子质量为m ，最大速度为v ，振幅为A ，弹簧劲度系数为k ，角频率为ω，那么 最大动能2max 21mv E k =
，又)sin(ϕω+=t A x ，对其求一介导得)cos('ϕωω+=t A x ，由 此可见最大速度为v=ωA ，故，222max 2121ωmA mv E k ==
， 最大势能2max 2
1kA E p = max max k p E E =，故2ωm k =，即m k =
ω，那么k m T πωπ22==。