材料力学求主应力公式

材料力学求主应力公式
材料力学中，主应力是指在三个正交方向上的应力中最大的值。

对于一个三维应力状态，主应力可以通过求解应力张量的特征方程
来获得。

假设应力张量表示为：
σ = [σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃。

σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃。

σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃]
其中，σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃是应力张量的主应力。

求解特
征方程det(σ λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值，可以
得到三个特征值λ₁, λ₂, λ₃。

这些特征值就是主应力。

特征方程det(σ λI) = 0展开后可以得到一个三次方程：
(σ₁₁ λ)(σ₂₂ λ)(σ₃₃ λ) + 2σ₁₂σ₂₃σ₃₁
σ₁₁σ₂₂λ σ₁₁σ₃₃λ σ₂₂σ₃₃λ + σ₁₂²λ + σ₂₃²λ + σ₃₁²λ = 0。

解这个三次方程可以得到三个特征值λ₁, λ₂, λ₃，它们就是主应力。

主应力的公式可以表示为σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃。

这些主应力代表了材料在三个正交方向上受到的最大应力值。