高考备考冲刺阶段数学学科训练材料理科.docx

2015年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料理科
（）
说明：
1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共26题．
2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成． 3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．
希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！
1．已知向量2(2sin ,2sin 1)44
x x m =-u r
，(cos ,4x n =r ，函数()f x m n =⋅u r r ．
（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应x 的取值集合； （2
）若()3
f π
α+
=
，且(0,)απ∈，求tan α的值． 2. 已知函数2()sin (2cos sin )cos f x x x x x =⋅-+． （1）讨论函数()f x 在[0,]π上的单调性； （2）设
4
2
π
π
α<<
，且()f α=，求sin 2α的值． 3. 在△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且满足：
,)32()(22bc c b a -+-=又2
cos 1sin sin C
B A +=
. （1）求角A 的大小；
（2）若4=a ，求ABC ∆的面积S ．
4. 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a
bc ． （1） 求sinA 的值；
（2）求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值． 5. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准30952012,GB -PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM 2.5日均值（微克/立方米）[25,35
]
(35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85]
频数 3 1 1 1 1 3
级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）.
6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所
得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部
分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，
0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。

(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两
人中成绩不合格
．．．的人数，求X的分布列及数学期望；
(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在
9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.
7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：
认为作业多认为作业不多合计
喜欢玩游戏40 20
不喜欢玩游戏20
合计
（
（2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数X的分布列与数学期望。

附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
2
()
P K k
≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
D
A 1
A
C
B
B 1
C 1
E
0k
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8．2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为
23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为3
4
，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量ξ表示该射手一次测试累计得分，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

9. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角，12AA =．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点， E 是线段1BC 上一点，且11
3
BE BC =
． （1）求证：GE P //侧面11AA B B ；
（2）求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值． 10. 如图，三棱柱111
ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====, 1160AAC ??,平面1ABC ^
平面11AA C C ,1AC 与1A C 相交于点D . （1）求证：BD ^平面11AA C C ;
（2）设点E 是直线11B C 上一点，且//DE 平面11AA B B ，求平面EBD 与平面1ABC 夹角的余弦值.
11. 如图所示,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底
面ABCD 是梯形,//AD BC ,侧面11ABB A 为菱形,1DAB DAA ∠=∠. (1) 求证:1A B AD ⊥;
(2) 若12,60AD AB BC A AB ==∠=o
,点D 在平面
11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点,求平面11
DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
12．已知平行四边形ABCD ，4AB =，2AD =，
60o DAB ∠=，E 为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折
起至1A DE 位置，使得1
4AC =，F 是线段1A C 的中点． （1）求证：1//BF A DE 面； （2）求证：面1A DE ⊥面DEBC ； （3）求二面角1A DC E --的正切值．
13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：
91,18742==+S a a .递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：126,128,66121===+-k k k T b b b b ， （1）求{}n a 、{}n b 的通项公式 （2）设数列{}n c 对+∈∀N n ，均有
122
11+=+++n n
n a b c b c b c Λ成立，求201521c c c +++Λ 14. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2+1=4+43n n a S n -，且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，3()362
n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．
15．已知数列{}n a 满足1331(,2)n n n a a n N n *
-=+-∈≥且395a =。

（1）求12,a a 的值；
（2）是否存在一个实数t ，使得1()()3
n n n b a t n N *
=
+∈且{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；如不存在，请说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．
16．已知数列{}n a 中，111
,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩
为奇数，
为偶数.
D
C
B
A
E
C
D
A 1
F
B
E
（1）证明数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求2n S .
17. 已知椭圆2222:1x y C a b
+= (0)a b >>
经过点2M
，且其离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若F 为椭圆C 的右焦点，椭圆C 与y 轴的正半轴相交于点B ，经过点B 的直
线与椭圆C 相交于另一点A ，且满足=2BA BF ⋅u u u r u u u r
，求△ABF 外接圆的方程.
18．
已知圆2
2
7:(3
M x y +=，若椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为圆M 的圆心，
离心率为
2
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:l y kx =，若直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点（其中点G 在线段AB 上），且AG BH =，求k 的值．
19. 已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点3(1,)2
P 在椭圆C 上，O 为
坐标原点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设过定点(0,2)T 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角，求直线
l 的斜率k 的取值范围；
（3）过椭圆1:C 22
22153
x y a b +
=-上异于其顶点的任一点P ，作圆:O 3
422=+y x 的两条切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：
22
11
3m n
+为定值． 20．已知抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点
N 的坐标，若不存在，说明理由.
21. 设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(1) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间和极值；
(2) 证明：当[)0+k ∈∞，时，函数()f x 在R 上有且只有一个零点． 22. 已知函数()22(0)b
f x ax a a x
=+
+->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行.
（1）求a ，b 满足的关系式；
（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：11111(21)()3521221n n n n n ++
+++>++∈-+L 1
2)12ln(21+++n n
n （n ∈N *）
23. 已知函数()ln f x x x a =-+有且只有一个零点. （1）求a 的值；
（2）若对任意的()1,x ∈+∞，有()22k
f x x x
<
-+恒成立，求实数k 的最小值； （3）设()()1h x f x x =+-，对任意()()1212,0,x x x x ∈+∞≠，
证明：不等式
()()
12
12x x h x h x --＞.
24. 已知函数2
1()ln (1)(0)2
f x x ax a x a R a =-
+-∈≠，. ⑴ 求函数()f x 的单调增区间；
⑵ 记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①12
02
x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由. 参考答案: 1.解析：（1
）
2()2sin cos 2sin )sin 2sin()4442223
x x x x x x f x m n π=⋅=-==+u r r ，
∴当
2232x k πππ+=+，即当{|4 ()}3
x x x k k Z π
π∈=+∈时，max 2f =；
（2）由（1）得：()2sin(
)2cos
3
2
2
2
f π
α
π
α
α+
=+
=，∴cos
2
α
=
，2
4cos 2cos 125
α
α=-=-。

∵(0,)απ∈，∴3sin 5α=
，∴sin 3
tan cos 4
ααα==-．
2.解析：（1）22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin2cos2x x =+)4x π
=+，
由[0,]x π∈得92[,]444
x π
ππ
+∈， 当2[,]442x π
ππ
+∈即[0,]8
x π
∈时，()f x 递增； 当32[,]422
x π
ππ+∈即5[,]88x ππ
∈时，()f x 递减；
当392[
,]424
x π
ππ+
∈即5[,]8x π
π∈时，()f x 递增．
综上，函数()f x 在区间[0,]8π、5[,]8ππ上递增，在区间5[,]88
ππ
上递减．
（2）由()f α=)413πα+=-，得5
sin(2)413
πα+=-，
因为
4
2
π
π
α<<
，所以
352444πππα<+<
，可得12
cos(2)413
πα+=-，
则sin 2αsin[(2)]44ππ
α=+-))2424ππαα=+-+
512()()1313=
--． 3. 解：（1）∵,)32()(22bc c b a -+-=
∴bc a c b 32
2
2
=-+, 又∵2
3232cos 222=
=-+=bc bc bc a c b A ∴π
6
A =
（2）∵2
cos 1sin sin C
B A +=
∴)cos(1cos 1sin sin 2B A C B A +-=+=， ∴1sin sin cos cos =+B A B A 即1)cos(=-B A ∴π0,6A B B A -===
即,2π3
C =
又∵C ab S a sin 2
1
,4== ∴34=S
4. 解：（1
）由余弦定理得222cos 23
b c a A bc +-==
又1
0,sin 3
A A π<<==
故 （2）原式2sin()sin()
441cos 2A A A
ππ
π+-+=
-
22sin()sin()
442sin A A A
ππ
+-=
2
2(
)(cos )22222sin A A A A A
+-=
222
sin cos 2sin A A A -=
7.2
=-
5.解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达
到一级”为事件A ，则1
2373
1021
()40
C C P A C ⋅== 答：恰有一天空气质量达到一级的概率为
21
40
（2）依据条件，ξ服从超几何分布，其中10,3,3,N M n ===
ξ的可能取值为0，1，2，3，
337
3
10
()(0,1,2,3)k k
C C P k k C ξ-=== 其分布列为
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为10
P = 设一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则(365,0.7)B η:
3650.7255.5256E η∴=⨯=≈
∴估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级
6. 解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为
7
500.14
=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) 即这次铅球测试成绩合格的人数为36 (2)X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
1475025=
,∴X ～7
(2,)25
B . 218324(0)(
)25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===
，2749(2)()25625
P X ===. 所求分布列为
714
()22525
E X =⨯
= 两人中成绩不合格．．．的人数的数学期望为1425 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为
810
9.510.5
x y ⎧⎨
⎩≤≤≤≤， 事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，如图所示.
∴由几何概型1111222()1216
P A ⨯⨯=
=⨯. 即甲比乙投掷远的概率为116 7. 解：（1）统计数据如下表：
将表中的数据代入公式，可求得()
2
110403020207.822 6.635.60506050
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
查表()
2 6.6350.010.P K ≥=∴有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。

（2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名。

由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X 的所有可能取值为2,3,4.
其中 ()22
42462
2,5C C P X C ===()31424
683,15
C C P X C ===()444614.15C P X C === 所以X 的分布列为
故X 的数学期望为()2341515153
E X =⨯
+⨯+⨯= 8. 解析：（1）ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则
1111
(0)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=
，
(2)())()()()()()()P P ABB P ABB P A P B P B P A P B P B ξ==+=+(131113634434448=⨯⨯+⨯⨯=
，
2(3)()3P P A ξ===
，
1339
(4)()()()()34448P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=
．
ξ的分布列为：
023*********E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=，
（2）射手选择方案1通过测试的概率为
1
P ，选择方案2通过测试的概率为
2
P ,
1
2931
(3)34848P P ξ=≥=+=；
21333133327
(3)()()()4444444432P P P BBB P BBB P BB ξ=≥=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=
,
因为
21
P P >，所以应选择方案2通过测试的概率更大．
9. 解：（1）延长B 1E 交BC 于点F ，
11B EC ∆Q ∽△FEB ，BE =21
EC 1， ∴BF =21B 1C 1=2
1BC ，
从而点F 为BC 的中点．
∵G 为△ABC 的重心， ∴A 、G 、F 三点共线． 且11//,3
1
AB GE FB FE FA FG ∴==， 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ， ∴GE //侧面AA 1B 1B （2）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，
∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ， ∴B 1H ⊥底面ABC ． 又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角，AA 1=2， ∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H =.3
在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF ，垂足为T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ， 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ，∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角． ∴AH =AB +BH =3，∠HAT =30°，∴HT =AH 2
330sin =︒． 在Rt △B 1HT 中，3
3
2tan 11=
=
∠HT H B TH B ， 从而平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233
解法2：（1）∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角，∴∠A 1AB =60°，
又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ． 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图， 则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()
3,0,0C
， ()10,0,3A ，()10,2,3B ，(
)
1
3,1,3C ．
∵G 为△ABC 的重心，∴3,0,03G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
． 113BE BC =u u u r u u u u r Q ，∴33,1,33E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
∴1310,1,33
CE AB ⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．
又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B ．
（2）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得323
0,3330.
3a b c b c ⎧--=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩
又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m
设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则 由于θ为锐角，所以
故平面B 1GE 与底面ABC
10.解析：：（1）由已知得侧面11AA C C 是菱形,D 是1AC 的中点，
11,BA BC BD AC =\^Q
平面1ABC ^平面11AA C C ，且1BD ABC Ì平面，平面1ABC Ç平面11AA C C =AC 1
∴BD ^平面11AA C C .
（2）设点F 是11A C 的中点，因为点D 是1AC 的中点，所以DF //平面11AA B B ， 又因为//DE 面11AA B B ，所以平面//DEF 平面11AA B B ，又平面DEF ⋂平面
111A B C EF =，
平面11AA B B ⋂平面11111A B C A B =，所以11//EF A B ，所以点E 是11B C 的中点。

如图，以D 为原点,以1,,DA DA DB 所在直线分别为x 轴, y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
112,1,AC AD BD A D DC BC =====
= 所以
11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0)D A A B C
- 设平面EBD 的一个法向量是(,,)m x y z =u r
由m
DB ⊥u r u u u
r 00z =⇒=，
又111111()()22DE DC DB DC DB AA =+=++=-u u u
r u u u u
r u u u u r u u u u r u u u r u u u r 由
(,,)0m DE x y z ⊥⇒⋅-=u r u u u r 0x y ⇒-=
令31x y =⇒=，所以3
(1,
2
m
=u r
Q 平面1ABC ^平面11AA C C ，11DA AC ⊥，所以1DA ⊥平面1ABC ∴1DA u u u u r
是平面1ABC 的
一个法向量是1(3,0,0)DA =u u u u r ， 1327
cos ,3
134
m DA
<>==+⨯u r u u u u r
平面EBD 与平面1ABC 夹角的余弦值是
27
7
11.解析：解一：（1）因为侧面11ABB A 为菱形，所以1AB AA =u u u r u u u r
，又1DAB DAA ∠=∠，
所以()
11A B AD A A AB AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1A A AD AB AD =⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
11cos()cos A A AD DAA AB AD DAB
π=⋅-∠+⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r
11cos cos 0AB AD DAA AB AD DAA =-⋅∠+⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r
，
从而1A B AD ⊥.
（2）设线段1A B 的中点为O ，连接DO 、1AB ，由题意知DO ⊥平面
11ABB A .因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线
OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角
坐标系O xyz -，如图1所示.
设22AD AB BC a ===，由160A AB ∠=︒可知OB a =，13OA OB a ==，所以
22
OD AD OA a =
-=，从而(030)A a -，，，(00)B a ，，，1(030)B a ，，，
(00)D a ，，. 所以 11(30)CC BB a a ==-u u u r
，，.
由12
BC AD =u u u r u u u r 可得31()22C a a a ，，，所以31
()22DC a a a =-u u u r ，，
. 设平面11DCC D 的一个法向量为000()m x y z =u r ，，，由10m CC ⋅=u r u u u u r
，0m DC ⋅=u r u u u r ，
得 000003031
0.22
ax ay ax az ⎧-+=⎪
⎨+-=⎪⎩，
取01y =，则03x =，033z =，所以3133)m =u r ，，. 又平面11ABB A 的法向量为
(00)OD a =u u u r ，，，所以333cos =933131OD m a OD m a OD m
⋅〈〉=u u u r u r
u u u r u r u u u r u r ，
图3
C
D
A 1F
B
E G C
D
A 1
F
故平面11DCC D 与平面11ABB A 3
9331
解二：（1）连接1AB 、1A D 、BD ，设1AB 交1A B 于点O ， 连OD ，如图2所示.
由1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠可得△1AA D ≌△ABD ， 所以1A D BD =.由于O 是线段1A B 的中点，所以1DO A B ⊥，
又根据菱形的性质1AO A B ⊥，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥. （2）因为//AD BC ，2AD BC =，所以延长AB 、DC 交于点E ， 延长11A B 、11D C 交于点F ，且BE AB =，111B F A B =.连接EF ， 则1//EF BB .过点O 作1BB 的垂线交1BB 于点G ，交EF 于点H ， 连接DH ，如图3所示.因为1//EF BB ，所以OH EF ⊥. 由题意知DO ⊥平面11ABB A ，可得DH EF ⊥，
故DHO ∠是平面11DCC D 与平面11ABB A 所成二面角的平面角. 易知32OG a =
，3GH a =，所以33
2
OH a =.在Rt △DOH 中， 2
222
33312DH OH OD a a ⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪
⎝⎭
，所以33
3932cos 31
OH DOH DH a ∠=
==故平面11DCC D 与平面11ABB A 3
9331
12.解析： (1) 如图
证明：取1DA 的中点G ，连接FG GE 、
Q F 为1A C 中点
∴//GF DC ，且12
GF DC =
Q E 为平行四边形ABCD 边AB 的中点
∴//EB DC ，且12
EB DC =
∴//EB GF ，且EB GF = ∴四边形BFGE 是平行四边形 ∴//BF EG
图2
D A 1
F
B
E
H
O
Q EG ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE
∴ //BF 平面1A DE
（2）取DE 的中点H ，连接1A H CH 、
Q 4AB =，2AD =，60o DAB ∠=，E 为AB 的中点
∴DAE
∆为等边三角形，即折叠后1DA E ∆也为等边三角形 ∴1A H DE ⊥，且1A H =在DHC ∆中，1DH =，4DC =，60o HDC ∠= 根据余弦定理，可得
222221
2cos6014214132
o HC DH DC DH DC =+-
⋅=+-⨯⨯⨯
=在1A HC ∆中，1A H =，13=HC 14A C =， ∴22211A C A H HC =+，即1A H HC ⊥
又Q 11A H DE A H HC
DE DEBC HC DEBC DE HC H
⊥⎧⎪⊥⎪⎪
⊂⎨⎪⊂⎪=⎪⎩I 面面，所以1A H DEBC ⊥面
又Q 11A H A DE ⊂面
∴面1A DE ⊥面DEBC
（3）过H 作HO DC ⊥于O ，连接1A O HO 、
1A H DEBC ⊥Q 面 1A H DC ∴⊥
又1A H HO H =I
1DC A HO ∴⊥面
1,DC AO DC HO ∴⊥⊥
∴1
AOH ∠是二面角1
A DC E --的平面角 在1Rt
A HO ∆
中，1A H =sin 60122
o
HO
DH =⋅=⨯
=，故1
tan 2AOH ∠==
所以二面角1A DC E --的正切值为2
13. 解：由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧==+===+9172)(71824717342a a a S a a a ，得13,943==a a 则公差4=d ，则34)3(43-=-+=n n a a n
66,1281112=+==-k k k b b b b b b Θ
则k b b ,1是方程0128662=+-x x 的两根，得64,21==k b b 又126164211=--=--=q
q q q b b T k k ，则2=q ，则n n b 2=
（2）122
11+=+++n n
n a b c b c b c ΛΘ
)2(1
122
11≥=+++∴
--n a b c b c b c n n n Λ 两式相减得
)2(41≥=-=+n a a b c n n n
n
则)2(242
≥==+n b c n n n
又
2,5121
1
===b a b c ，则101=c 则62)2
22(1020182017
42201521-=++++=+++ΛΛc c c 14.解：（1）Q 2
+1=4+43n n a S n -，∴当2n ≥时，()21=4+413n n a S n ---，
()22+11=44=44
n n n n n a a S S a -∴--++，
()
2
22+1442n n n n a a a a ∴=++=+，
0n a >Q 恒成立，+12,2n n a a n ∴=+≥，
当2n ≥时，
{}n a 是公差2d =的等差数列.
2514
,,a a a Q 构成等比数列，
2
5214
a a a ∴=⋅，()()
2
2
22824a a a +=⋅+，
解得
23
a =，
∴当2n ≥时，()32221n a n n =+-=-，
由条件可知，2
21=4+43a a -，12a ∴=
∴数列{}n a 的通项公式为
2,1
21,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
123,9b b ∴==，∴数列{}n b 的通项公式为3n
n b =
（2）11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对*
n N ∈恒成
立， 即
24
3n n k -∴≥
对*n N ∈恒成立， 11分
令
243n n
n c -=
，1124262(27)
333n n n n n n n n c c -------=-=，
当3n ≤时，
1
n n c c ->，当4n ≥时，
1
n n c c -<
max 32()27n c c ∴==
，
227k ≥
． 15.解析：（1）当n=2时，2138a a =+，当n=3时，
3223269523a a a =+=⇒=，1123385a a ∴=+⇒=．
（2）法一：当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=
+-+()11
3-33n n n
a t a t -=+- ()112312133n n n
t
t +=
--=-． 要使{}n b 为等差数列，则必须使021=+t , 即存在1
2
t =-，使{}n b 为等差数列． 法二：利用1322b b b +=，可得12t =-，再证明11
()32
n n n b a =-为等差数列. （3） 因为当12t =-时，{}n b 为等差数列，且11n n b b --=，13
2
b = 所以n 31
(1)22
b n n =
+-=+ 所以n 1
1
()32
2
n a n =+⋅+
所以11n n 3(31)
222
n n n n T ++⋅+=+= 16.解析：（1）设232n n b a =-
，则1213131
(1)2326b a a =-=+-=-，
因为
21222(1)122221
313113(21)(6)(21)13232322.333332222n n n n n n n n n n a n a n n a a b b a a a a +++++--++--
-
=
====----
所以数列
23{}2n a -是以16-
为首项，13为公比的等比数列. （2）由（1）得
1
23111126323n n
n n b a -⎛⎫⎛⎫
=-=-⋅=-⋅ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭，
即2113232n
n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭， 由()2211213n n a a n -=+-，
得
()1
2121115
33216232n n n a a n n --⎛⎫
=--=-⋅-+
⎪
⎝⎭，
所以
1212111169269
2333n n n
n n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
()()()
21234212n n n S a a a a a a -=++++++L
()211126129333n
n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L 11133(1)26912
13
n
n n n
⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-
()221113631233n
n
n n n ⎛⎫⎛⎫
=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
17. 解：（1）因为椭圆C
经过点M ，所以2211
12a b
+=.① 因为椭圆C
的离心率为2
2=222a b =.② 联立①②解得，2
2
2,1a b ==.所以椭圆C 的方程为12
22
=+y x . （2）由（1）得，椭圆C 的方程为1222
=+y x ，所以(1,0),(0,1)F B . 设),(00y x A ，则12
2
02
0=+y x .③
因为)1,1(),1,(00-=-=BF y x BA ，且=2BA BF ⋅u u u r u u u r
，
所以00(1)2x y --=，即001y x =-.④
联立③④解得，000,1,x y =⎧⎨=-⎩或004,31.
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以
)1,0(-A 或)31,34(A .
当A 为)1,0(-时，因为1===OF OB OA ，所以△ABF 的外接圆是以O 为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为12
2
=+y x .
当A 为)3
1
,34(时，设△ABF 的外接圆方程为22
0x y Dx Ey F ++++=，
则10,10,1741
0,933D F E F D E F ⎧⎪++=⎪++=⎨⎪⎪+++=⎩解得4,34,31.3D E F ⎧=-⎪⎪
⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩
此时外接圆的方程为22441
0333
x y x y +-
-+=. 综上所述，△ABF 的外接圆的方程为12
2
=+y x 或22441
0333
x y x y +--+=. 18. 解：（1）圆M 的圆心为(2,0)，则2a 2
2
c e a =
=
Q ，1c ∴=，故2221b a c =-= 椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B
则22
22y kx x y =⎧⎨+=⎩
得22
(12)20k x +-= 所以120x x +=，122
2
12x x k ⋅=-
+
22
22
88(1)
(1)1212k AB k k k +∴=+++点M (2,0)到直线l 的距离221k
d k
=+，则2
2
2
2722231k GH r d k =--+ 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾
AG BH =Q ， AB GH ∴=
即2222
8(1)724()1231k k k k
+=-++， 解得21k =，即1k =± 19.解：（1）由题意得：1c = 所以221a b =+
又因为点3(1,)2
P 在椭圆C 上，所以22
1914a
b
+=，可解得224,3a b == 所以椭圆标准方程为22143
x y +=．
（2）设直线l 方程为2y kx =+，设11(,)A x y 、22(,)B x y
由221432
x y y kx =+
=+⎧⎪
⎨⎪⎩
得：22(43)1640k x kx +++=，
因为21230k ∆=->，所以21
4
k >， 又1221643k x x k -+=
+，122
4
43
x x k =+ 因为AOB ∠为锐角，所以0OA OB ⋅>u u u r u u u r
， 即12120x x y y +>，
所以1212(2)(2)0x x kx kx +++>，
所以2
1212(1)2()40k x x k x x ++++>．
所以222
416(1)2404343
k
k k k k -+⋅
+⋅+>++ 即22
1216043k k -+>+，所以243k <．所以21443
k <<，
解得132k -
<<-
或123
k << （3）由题意：1:C 22
3144
x y +=设点11(,)P x y ，22(,)M x y ，33(,)N x y , 因为,M N 不在坐标轴上，所以2
2
1PM OM
x k k y =-
=-
直线PM 的方程为2
222
()x y y x x y -=-- 化简得：224
3
x x y y +=
④
同理可得直线PN 的方程为3343
x x y y +=
⑤ 把P 点的坐标代入④、⑤得2121313143
43x x y y x x y y ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
所以直线MN 的方程为114
3
x x y y +=， 令0y =，得143m x =
，令0x =得1
43n y =， 所以143x m =
，143y n =又点P 在椭圆1C 上， 所以2244()3()433m n +=， 即2211334
m n +=为定值．
20.（1）解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m > ∵抛物线C 的准线为2p y =-
，由||5PF =结合抛物线的定义得52
p
m += ① 又点P 在抛物线C 上，∴2
2m pm =(0)m >⇒2m p =② 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为2
4x y = [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >
∵抛物线C 的焦点为(0,)2
p
F ，由||5PF =
5=
即22
()252
p m m +-
=① 又点P 在抛物线C 上，∴2
2m pm =(0)m >⇒2m p =② 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为2
4x y =
（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点
N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n
又设点20
0(,)4
x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C
相切，由214y x =
得1'2y x =，∴001
'|2
x x k y x === ∴直线l 的方程为2
000()42
x x
y x x -=- 令1y =-得2
2
2x x x -=，∴Q 点的坐标为002
(,1)2x x --，
20000
2
(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=---u u u u r u u u r
∵点N 在以MQ 为直径的圆上，
∴22220
002(1)()(1)20(*)244
x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=u u u u r u u u r
要使方程(*)对0x 恒成立，必须有2
1020
n n n -=⎧⎨
+-=⎩解得1n =
∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1) 解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线
相切，由214y x =得1'2y x =，∴001
'|2
x x k y x === ∴直线l 的方程为000()2
x
y y x x -=- 7分
令1y =-得002(1)y x x -=
，∴Q 点的坐标为00
2(1)
(
,1)y x -- ∴以MQ 为直径的圆方程为：0000
2(1)
()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=③ 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =
将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=④
(1)(1)(2)0y y x x -+++=⑤
④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨
=⎩或0,
1.
x y =⎧⎨=-⎩
∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或
(0,1)-将(0,1)的坐标代入③式得，
左边=00
00
2(1)
2(1)()[]y y x x --+--
002(1)2(1)0y y =-+-==右边 将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=0000
2(1)
()[]2(1)y x y x ---
=-不恒等于0 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1) 21. 解: (1) 当k=1时, 2
()(1)x
f x x e x =--,
'()(1)2(2)x x x f x e x e x x e =+--=-.
当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
由表可知, f(x)的增区间(-∞,0), (ln2, +∞), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为
2ln 22ln 22-+-.
(2) '()(1)22(2)x
x
x
x
f x e x e kx xe kx x e k =+--=-=-.
当x<1时, f(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在[1, +∞)上有且只有一个零点.，若[0,]2
e k ∈, 当x ≥1时, '()0
f x ≥, f(x)在[1,+∞)上单调递增,
22(0)10,(2)420f f e k e e =-<=-≥->,
所以f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点.
若(,)2
e k ∈+∞, 则()[1,ln 2),(ln 2,)
f x k k +∞在上单调减在上单调增,
f(1)=-k<0, 1
212(1)(1)[(1)]k k f k ke
k k k e k +++=-+=-+.
令2
(),12t
g t e t t k =-=+>,
增 增
减
'()2,''()2,
2,''()0,'()[2,)t t g t e t g t e t g t g t =-=->∴>+∞Q 在上单增,
2'()'(2)40,()[2,).g t g e g t ∴>=->∴+∞在上单增 2()(2)40,(1)0g t g e f k >=->∴+>.
所以f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点. 综上得:f(x)在R 上有且只有一个零点. 22.解：（1）2)(x
b
a x f -='，根据题意2)1(=-='
b a f ，即2-=a b .
（2）由（Ⅰ）知，a x
a ax x f 222
)(-+-+=，
令x x f x g ln 2)()(-=x a x
a ax ln 2222
--+-+
=，[)1,x ∈+∞
则0)1(=g ，x x a a x g 2
2)(2
---='=2
)2)(1(x a a
x x a --
-
①当10<<a 时，12>-a
a
，
若21a x a
-<<
，则'
()0g x <，()g x 在[1,)+∞减函数，所以()(1)0g x g <=，即()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒不成立．
②1a ≥时，
21a
a
-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =，所以()2ln f x x ≥．
综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞.
（3）由（2）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x x
x ln 21
≥- 令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1
21
2ln
212121212-+>+---+n n n n n n ， 即121
2ln
2)1221(1221-+>+---+
n n n n ,
所以)1
21
121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n 上式中n=1，2，3，…，n ，然后n 个不等式相加得
11111ln(21)3521221
n
n n n ++++>++
-+…
23.解析：（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，11()1x f x x x -'=
-=-．
由()0f x '
=，得1x =.
∵ 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '
<，
∴ ()f x 在区间(01]，
上是增函数，在区间[1+)∞，上是减函数， ∴ )(x f 在1x =处取得最大值．
由题意知(1)010f a =-+=，解得1a =．
（2）法一、由题意得
2ln k
x x x <
+，
1x >Q ，故22ln k x x x >-在()1,x ∈+∞恒成立，
设
()2
2ln A x x x x =-，1x >，
()max
k A x ∴>，
()()()
'2ln 122ln 1A x x x x x =+-=+-Q ，
由（1）得，ln 1x x +≤，()'
0A x ∴≤，()A x 在()1,+∞单调递减， ()()11
A x A ∴<=-，1k ∴≥-，故实数k 的最小值为1-。

法二、由题意得
2ln k x x x <
+，
设
()2ln k
B x x x x =+
-，1x >，则()min 0B x >，
()()()2
2'
22211221x k k x x k B x x x x x --+--=--==Q ，
∴当10k +≤时，()'
0B x ≥，()B x 在()1,+∞递增，
故
()()110
B x B k >=+≥即1k ≥-，1k ∴=-； 8分
当10k +>时，
()
()()((2
'
2
2
1111x x x k B x x x -+⋅----+==
，
设1t +，1t >，则2
20t t k --=，
()
B x ∴在
()1,t 递减，在(),t +∞递增，
()()min
2ln 0k B x B t t t t ∴==+->，即222ln 0
t t
t t t -+->，即1ln 0t t -->，
由（1）得，1ln 0t t -->在1t >时恒成立，故1k >-符合。

综上，1k ≥-，故实数k 的最小值为1-。

10分 （3）由()()1ln h x f x x x =+-=．
不妨设120x x >>
，则要证明12
12ln ln x x x x ->-
只需证明，
12
ln ln x x >-，
12
ln x x ． 12分
(1)t t =>，则只需证明1
2ln (1)
t t t t ->>（*） 由（2）得，
1
2ln 0x x x -
->在1x >时恒成立，
故（*）式成立，原不等式恒成立．
24. 解：（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞.
由已知得，1
(1)()
1'()1a x x a f x ax a x x
-+=-+-=-. ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时， ①当11a -
<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1
0x a
<<-或1x >; ∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a
-=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ③当11a -
>时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
综上所述:
⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增
⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增 ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-
+∞上单调递增. (2)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.
设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-
+-，222221
ln (1)2
y x ax a x =-+-. 2121AB
y y k x x -=-22212121211
(ln ln )()(1)()
2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1
()(1)2
x x a x x a x x -=
-++--.
曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率
0()k f x '=12
(
)2
x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=
-⋅+-+， 依题意得：
211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2
x x a a x x +=-⋅+-+.
化简可得
2121ln ln x x x x --122
x x =+， 即21ln x x =2121
2()x x x x -+2
1
2
1
2(
1)1x x x x -=
+.
设
21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211
t t t t -==-++, 4ln 21t t +=+,令4
()ln 1
g t t t =+
+,214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增,显然有()2g t >恒成立. 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4
ln 21
t t +
=+成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数()
f x不存在“中值相依切线”。