江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题

，
故选：D. 3．A
【分析】根据两点间的距离公式计算出 AB ， AC ， BC 的长度即可判断
【详解】Q A(5, -1) ， B(1,1) ， C(2, 3) ，
\| AB |= (5 -1)2 + (-1 -1)2 = 2 5 ， | AC |= 5 ，| BC |= 5 ， \| AB |2 + | BC |2 =| AC |2 ，
【详解】 F
为椭圆 C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
>b
>
0) 的右焦点，P 为 C 上的动点，
由椭圆的性质，可得 PF min = a - c . Q过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 M，N 两点，
\ MN
=
2b2 a
.
Q MN 等于 PF 的最小值的 3 倍，
答案第31 页，共22 页
五、解答题
17．已知 n Î N* ，二项式 æ çè
x
+
1 24 x
ön ÷ø
.
(1)若该二项展开式的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，求展开式中 x2 的系数； (2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.
18．喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距 45km 的某地聘请代驾司机帮
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a5 = 2 ，则 S9 = （ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
5．青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平
放置在桌面上，瓷碗底座高为1.5cm ，碗口直径为 20cm ，碗深10cm .瓷碗的轴截面轮
江苏省镇江市 2022-2023 学年高二下学期 4 月期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 z（1＋i）＝2（i 为虚数单位），则在复平面内复数 z 对应的点位于（
）
A．第一象限
【详解】依题知，
1 x
>
0
，即
x
>
0
，
由求导公式： log¢a
x
=
1 x ln a
，
复合函数的求导法则：设u = g ( x) ，则 f ¢( g ( x)) = f ¢(u) × g¢( x)
得：
f
¢(x)
=
1 x
1 ln
2
´
æ çè
1 x
ö¢ ÷ø
=
x ln 2
´
æ çè
-
1 x2
ö ÷ø
=
-
1 x ln 2
(2)请比较 an 与 bn 的大小，并证明你的结论.
21．已知双曲线
E
：
x2 3
-
y2
= 1 的左、右顶点分别为
A1 ，
A2
.
(1)若过点T (0, -3) 的直线 l 交双曲线 E 于 A ， B 两点，求直线 l 的斜率范围；
(2)过原点的直线与双曲线 E 相交于 C ， D 两点（ C 在 x 轴的上方），直线 A2C ， A2D
1 2
C． 3 3
D． 3 2
8．求和： C110 + 2C120 + 3C130 + ××× + 9C190 +10C1100 = （ ）
A．512
B．1024
C．5120
D．10240
二、多选题 9．已知虚数 z1 = 3 + 4i ， z2 = 2 - i ，则（ ）
A． z1 - z2 = 5
1．D
参考答案：
【分析】根据复数的乘除法运算，求得 z ，再求其对应点即可判断.
【详解】∵
z (1+
i)
=
2
，∴
z
=
2 1+
i
=
2(1- i) (1+ i)(1-
i)
=1-
i
，
∴在复平面内复数 z 对应的点(1, -1)位于第四象限．
故选：D． 2．D 【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
答案第11 页，共22 页
\VABC 是直角三角形． 故选：A． 4．D 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式和等差数列的性质即可求出结果.
【详解】因为 S9
=
9(a1 + a9 ) 2
=
9 ´ 2a5 2
=
9a5 ，又 a5
= 2 ，所以 S9
= 18 .
故选：D. 5．B
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点 M (10,10) ，求得抛物线的方程， 利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
由抛物线的定义可得
y1
+
p 2
+
y2
+
p 2
= 12 ，解得
y1
+
y2
=
7
，
所以
NH
=
y1 + y2 2
=
7 2
，所以筷子的中点离桌面的距离为
7 2
+
3 2
=
5cm
.
故选：B.
答案第21 页，共22 页
6．B 【分析】根据题意，先求出从 3 名男同学和 2 名女同学候选人中，选一名班长和一名团支 部书记的方法总数，再求出没有一名女生当选的方法总数，即可得出答案. 【详解】从 3 名男同学和 2 名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，
半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 M 的中心为坐标原点，焦点 F1 ， F2 均在 x 轴上，
面积为 2π ，点 æççè1,
3 2
ö ÷÷ø
在椭圆
M
上.
(1)求椭圆 M 的标准方程；
(2)经过点 P (-1, 0) 的直线 l 与曲线 M 交于 A ， B 两点，VOAB 与椭圆 M 的面积比为 2 ，
助其返程.假设当地道路限速 50km/h .油价为每升 8 元，当汽车以 xkm/h 的速度行驶时，
油耗率为
æ ç è
3
+
x2 360
ö ÷ ø
L/h
.已知代驾司机按每小时
56
元收取代驾费，试确定最经济的车速，
使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.
19．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 π 与椭圆的长
四、双空题 16．某公司第 1 年年初向银行贷款 1000 万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为 10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润 300 万元，利润随即存入
银行，存款利息按复利计算，年利率也为 10%，则到第 n 年年初该项目总收益为_____
试卷第31 页，共33 页
_万元，到第______年的年初，可以一次性还清贷款.
5π
试卷第41 页，共33 页
求直线 l 的方程.
20．已知数列{an} 中， a1 = 2 ，点 (an+1, an ) 在直线 x - y - 4 = 0 上，数列{bn} 中， b1 = 3 ，
且对任意 n Î N* ，满足： bn+1 = 2bn - 2 .
(1)分别求数列{an} 和{bn} 的通项公式；
三、填空题
13．在 (1+ x)2 + (1+ x)3 + (1+ x)4 + ××× + (1+ x)9 + (1+ )x 10 展开式中， x2 项的系数为______.
14．双曲线 C ： x2 a2
-
y2 b2
=1（a
> 0 ，b
> 0 ）的焦点到渐近线的距离等于
2a ，则双曲
线 C 的渐近线方程为______. 15．今天是第一天星期一，则第 230 天是星期______.
2 5
+
11 5
i
，
所以
z1 z2
=
æ 2 ö2 çè 5 ÷ø
+
æ çè
11 5
ö2 ÷ø
=
5 = z2 ，故 B 对；
对于 C 选项， z22 = (2 - i)2 = 3 - 4i = z1 ，故 C 对；
C．函数 f ( x) 只有 1 个零点
D． y = -x 是函数 f ( x) 图像的一条切线
12．已知点 M (4, 0) ， N (0, 2) ，动点 P 在 eC ： x2 -14x + y2 - 4y + 44 = 0 上，则（ ）
A．直线 MN 与 eC 相交 B．线段 PN 的中点轨迹是一个圆 C．VPMN 的面积最大值为 6 5 D． P 在运动过程中，能且只能得到 4 个不同的 Rt△PMN
名女生当选的不同选举结果为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
7．已知 F
为椭圆 C： x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 的右焦点，P 为 C 上的动点，过 F 且垂直于
x 轴的直线与 C 交于 M，N 两点，若 MN 等于 PF 的最小值的 3 倍，则 C 的离心率为 （）
A．
1 3
B．
2b2 \a
= 3(a -c) .
Q椭圆中 a2 - b2 = c2 ，
( ) \2 a2 - c2 = 3a2 - 3ac ，即 2c2 - 3ac + a2 = 0 ，
则
2c2 a2
3ac - a2
+
a2 a2
=
0.
Qe
=
c a
，
\ 2e2
-
3e
+1
=
0
，解得
e
=
1 2
或
e
=
1
（舍）.
故选：B. 8．C 【分析】根据已知条件，结合组合数公式，以及倒序法，即可求解．
故 C110 + 2C120 + 3C130 + ¼+ 9C190 +10C1100 = 5´ 210 = 5120 ．
故选： C ． 9．BCD 【分析】利用复数的四则运算和复数的模长公式可判断 AB 选项；利用复数的乘法方法则
与共轭复数的定义可判断 C 选项；解方程 x2 - 4x + 5 = 0 可判断 D 选项.
C．数列 a1 ， a2 ， a3 ，…， a9 ， a10 的最大项为 a5
D． a1 + 2a2 + 3a3 + ××× + 9a9 +10a10 = -10
11．已知函数 f ( x) = 1+ x - x3 ，则（ ）
试卷第21 页，共33 页
A．函数 f ( x) 有两个极值点
B．函数 f ( x) 的所有极值的和为 2
【详解】令 An = C110 + 2C120 + 3C130 +¼+ 9C190 +10C1100 ，①
则 An = 10C1100 + 9C190 + ×× × + 2C120 + C110 ，即 An = 10C100 + 9C110 + ××× + 2C180 + C190 ，②
① + ②可得， 2An = 10C100 +10C110 + × ×× +10C1100 = 10´ 210 ，
共有：
C52A
2 2
=
20
种，
没有一名女生当选，共有 C32A22 = 6 种，
故至少有一名女生当选的不同选举结果为 20 - 6 = 14 种. 故选：B. 7．B
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得
PF min
= a-c，
MN
=
2b2 a
，再根据已知列式，
结合椭圆 a、、b c 的关系，求出离心率即可.
【详解】对于 A 选项，因为 z1 - z2 = (3 + 4i) - (2 - i) = 1+ 5i ，
答案第41 页，共22 页
所以 z1 - z2 = 12 + 52 = 26 ，故 A 错；
对于B选项，z1 z2=3 + 4i 2-i
=
(3 + 4i)(2 + i) (2-i)(2+i)
=
与圆 x2 + y2 = 3 分别交于 M ， N ，直线 CD 与直线 MN 的斜率分别为 k1 ， k2 ，求 k1 + k2 . 22．已知 f (x) = ex - mx . (1)讨论函数 f (x) 的单调性； (2)若函数 f (x) 恰有两个不同的零点，求 m 的取值范围.
试卷第51 页，共33 页
B．
z1 z2
=
z2
C． z1 = z22
D． z2 是方程 x2 - 4x + 5 = 0 的一个根
10．已知 ( 2 - )x 10 = a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 + ××× + a9x9 + a10x10 ，则（ ）
A． a1 = 5120
B． a0 + a1 + a2 + a3 + ××× + a9 + a10 = 1
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．函数
f
(x)
=log2
1 x
的导函数为（
）
A．
f
¢( x )
=
ln 2 x
B．
f
¢( x)
=
1 x ln
2
C．
f
¢( x )
=
-
ln 2 x
D．
f
¢(
x)
=
-
x
1 ln
2
3．已知 A(5, -1) ， B (1,1) ，C (2,3) ，则 VABC 是（ ）
设抛物线的方程为 x2 = 2 py( p > 0) ，其焦点为 F(0, p) ， 2
碗口直径为 20cm ，碗深10cm ，所以抛物线过点 M (10,10) ，
所以100 = 2 p ´10 ，解得 p = 5 ，所以抛物线的方程为 x2 = 10 y ，
设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，过 AB 中点 N 作 NH ^ x 轴，
廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为12cm 的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲 线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）
试卷第11 页，共33 页
A． 4.5cm
B． 5cm
C． 5.5cm
D． 6cm
6．从 3 名男同学和 2 名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，则至少有一